I. Multiples d'un nombre et Diviseurs d'un Nombre
Notation
Désignons par \( \mathbb{N} \) l'ensemble des nombres naturels.
\[ \mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, \ldots\} \]
Soit \( n \) un élément de \( \mathbb{N} \) (\( n \in \mathbb{N} \)), on appelle multiples de \( n \) l'ensemble des nombres de la forme \( m \times n \) où \( m \) est un élément de \( \mathbb{N} \).
\[ m \times n = \{0, n, 2n, \ldots\} \]
Multiples d'un nombre
Définition
On dit que le nombre \( a \) est multiple de \( b \) (\( b \neq 0 \)) s'il existe un nombre entier \( m \) tel que \[ a = b \times m \]
Exemple
6 est un multiple de 3 car \( 6 = 3 \times 2 \) et deux est un élément de \( \mathbb{N} \).
Diviseurs d'un Nombre
Définition
Soit \( m \) et \( n \) deux nombres naturels avec \( m \neq 0 \). Si \( m \) divise \( n \) alors on dit que \( m \) est un diviseur de \( n \).
Exemple
2 est un Diviseur de 6 car \( 6 = 3 \times 2 \) et deux est un élément de \( \mathbb{N} \).
II. Nombres pairs et impairs
Remarque
- \( 0 \) (Zéro) et \( 1 \) (Un) sont des nombres pairs.
- Si \( n \) est pair alors \( n+1 \) est impair et inversement si \( n \) est impair alors \( n+1 \) est pair.
- Si \( m \) divise \( n \) alors tout multiple de \( m \) divise aussi \( n \).
Exemple
On a : \(6 = 3 \times 2\). Donc c'est un nombre pair.
Application
Soit \(p = 2k\) et \(q = 2l\).
On a :
\( p + q = (2k) + (2l) = 2(k+l) \)
Donc la somme est paire car elle s'écrit sous la forme d'un multiple de deux.
Soit \(p\) et \(q\) deux entiers impaires.
On a :
\( pq = (2k+1)(2l+1) = 4kl+2k+2l+1 = 2(2kl+k+l)+1 \)
pour \(j = 2kl+k+l\), on a \(pq = 2j+1\)
Donc \(pq\) est impaire.
III. Critères de Divisibilité
Activité
Est-ce que le nombre 540 est divisible par 2, 3, 4, 5, 9 ?
- 540 est divisible par 2 car le chiffre des unités (0) est un nombre pair.
- 540 est divisible par 3 car \(5 + 4 + 0 = 9\) et 9 est divisible par 3.
- 540 est divisible par 4 car le nombre formé par les deux derniers chiffres (40) est divisible par 4.
- 540 est divisible par 5 car le chiffre des unités est 0.
- 540 est divisible par 9 car \(5 + 4 + 0 = 9\) et 9 est divisible par 9.
Critères
Un nombre naturel \(n\) est divisible par :
- 2 si le chiffre des unités est un nombre pair.
- 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3.
- 4 si le nombre formé par les deux derniers chiffres est divisible par 4.
- 5 si le chiffre des unités est 0 ou 5.
- 9 si la somme de ses chiffres est divisible par 9.
Ⅳ. Les Nombres Premiers
Définition
Un nombre premier est un entier naturel \( p > 1 \) qui admet exactement deux diviseurs distincts : 1 et lui-même.
Exemple
2 est un nombre premier car \( 2 \div 1 = 2 \) et \( 2 \div 2 = 1 \).
Théorème
Si \( n \) est un nombre entier pair alors \( n \) n'est pas premier sauf si \( n = 2 \).
Exemple
Les nombres premiers inférieurs à 20 sont : \( 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 \).
Remarque
Il existe une infinité de nombres premiers.
Ⅴ. Décomposition en Facteurs Premiers
Définition
La décomposition d'un nombre entier positif en un produit de facteurs premiers s'appelle la décomposition en facteurs premiers.
Exemple
\( 30 = 2 \times 3 \times 5 \)
\( (30 = 6 \times 5) \) n'est pas une décomposition en facteurs premiers car \( 6 \) n'est pas premier.
Théorème
Tout nombre \( N > 1 \), non divisé par \( 1 \) et lui-même, peut être écrit comme un produit de nombres premiers distincts :
\( N = p_1^{a_1} \times p_2^{a_2} \times \ldots \times p_k^{a_k} \)
où chaque \( p_i \) est un nombre premier différent et les \( a_i \) sont des entiers naturels non nuls appelés les exposants des facteurs premiers.
Exemple
\( 1980 = 2^2 \times 3^2 \times 5 \times 11 \)
Ⅵ. Plus Grand Commun Diviseur (PGCD)
Définition
Le plus grand commun diviseur (PGCD) de deux nombres \(a\) et \(b\) est le plus grand nombre qui divise à la fois \(a\) et \(b\).
Exemple
Pour trouver le PGCD de 120 et 42 :
- Les diviseurs de 120 sont : \(1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120\).
- Les diviseurs de 42 sont : \(1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42\).
- Le plus grand commun diviseur est \(6\).
Théorème
Le PGCD de deux nombres \(a\) et \(b\) est le produit des facteurs premiers communs à \(a\) et \(b\) avec les plus petits exposants trouvés dans la décomposition en facteurs premiers de \(a\) et \(b\).
Exemple
Pour déterminer le PGCD de 1980 et 42 :
\(1980 = 2^2 \times 3 \times 5 \times 11\)
\(42 = 2 \times 3 \times 7\)
Les facteurs premiers communs sont \(2\) et \(3\) avec les plus petits exposants :
\(PGCD(1980, 42) = 2 \times 3 = 6\)
Ⅶ. Plus Petit Commun Multiple (PPCM) et Plus Grand Commun Diviseur (PGCD)
Définition
Le PPCM de deux nombres \(a\) et \(b\) est le plus petit nombre qui est un multiple de \(a\) et \(b\).
Le PGCD de deux nombres \(a\) et \(b\) est le plus grand nombre qui divise à la fois \(a\) et \(b\).
Formule
\(PPCM(a, b) \times PGCD(a, b) = a \times b\)
Exemple
Pour trouver le PPCM et le PGCD de \(60\) et \(90\) :
- Décomposition en facteurs premiers :
- \[60 = 2^2 \times 3 \times 5\]
- \[90 = 2 \times 3^2 \times 5\]
- PGCD(60, 90) = \(2^1 \times 3^1 \times 5^1 = 30\)
- PPCM(60, 90) = \(2^2 \times 3^2 \times 5^1 = 180\)
Théorème
Le PPCM de deux nombres \(a\) et \(b\) est le produit des facteurs communs et non communs avec les plus grands exposants trouvés dans la décomposition en facteurs premiers de \(a\) et \(b\).
Ⅷ. Division Euclidienne dans \( \mathbb{N} \)
Définition
Soient \(a\) et \(b\) deux entiers naturels (\(b \neq 0\)). Il existe un couple unique \((q, r)\) d'entiers naturels tels que :
\(a = bq + r\) et \(0 \leq r < b\)
où \(q\) est le quotient et \(r\) est le reste.
Exemple
Diviser \(365\) par \(25\) :
On cherche \(q\) tel que :
\[365 = 25q + r\] et \[0 \leq r < 25\]
En estimant \(q\), on trouve :
\[365 = (14 \times 25) + 15\]
Donc, \(q = 14\) et \(r = 15\).
Remarque: Algorithme d'Euclide
Pour trouver le PGCD de \(365\) et \(250\) :
\[365 = 250 \times 1 + 115\]
\[250 = 115 \times 2 + 20\]
\[115 = 20 \times 5 + 15\]
\[20 = 15 \times 1 + 5\]
\[15 = 5 \times 3 + 0\]
Le PGCD est donc \(5\).
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