Arithmétique dans N Tronc Commun Exercices Corrigés Pdf

EXERCICE 1:

1. Montrer que la somme de deux nombres pairs est un nombre pair.

2. Montrer que le produit de deux nombres impairs est un nombre impair.

3. Soient \( a \) et \( b \) deux entiers naturels tels que \( a \geq b \), montrer que \( a + b \) et \( a - b \) ont la même parité.

Solution de l'EXERCICE 1:

1. Montrer que la somme de deux nombres pairs est un nombre pair:

Soient \( a = 2m \) et \( b = 2n \) où \( m \) et \( n \) sont des entiers naturels. La somme \( a + b = 2m + 2n = 2(m + n) \) est divisible par 2, donc c'est un nombre pair.

2. Montrer que le produit de deux nombres impairs est un nombre impair:

Soient \( a = 2m + 1 \) et \( b = 2n + 1 \) où \( m \) et \( n \) sont des entiers naturels. Le produit \( a \times b = (2m + 1)(2n + 1) = 4mn + 2m + 2n + 1 \) est de la forme \( 2k + 1 \), donc c'est un nombre impair.

3. Montrer que \( a + b \) et \( a - b \) ont la même parité:

Soient \( a \) et \( b \) deux entiers tels que \( a \geq b \). On a deux cas:

• Si \( a \) et \( b \) sont tous deux pairs ou tous deux impairs, alors \( a - b \) est pair et \( a + b \) est également pair.
• Si l'un est pair et l'autre impair, alors \( a - b \) est impair et \( a + b \) est aussi impair.

Donc, dans tous les cas, \( a + b \) et \( a - b \) ont la même parité.

EXERCICE 2:

Soit \( n \) un entier naturel.

Étudier la parité des nombres suivants :

• \( a = 6n + 8 \)
• \( b = 2n + 3 + 1 \)
• \( c = n^3 - n \)
• \( d = n^2 + 3n + 6 \)
• \( e = 4n^2 + 4n + 1 \)
• \( f = 5n^2 + n \)

Solution de l'EXERCICE 2:

Étude de la parité :

• \( a = 6n + 8 \) : \( 6n \) est pair car \( 6 \) est un multiple de \( 2 \), et \( 8 \) est pair. Donc, la somme \( 6n + 8 \) est pair.
• \( b = 2n + 3 + 1 \) : \( 2n \) est pair, et \( 3 + 1 = 4 \) est pair. Donc, la somme \( 2n + 4 \) est pair.
• \( c = n^3 - n \) : La parité de \( n^3 \) et de \( n \) est la même. Donc, leur différence \( n^3 - n \) est pair.
• \( d = n^2 + 3n + 6 \) : Si \( n \) est pair, \( n^2 \) et \( 3n \) sont pairs, donc \( d \) est pair. Si \( n \) est impair, \( n^2 \) et \( 3n \) sont impairs, donc \( d \) est pair.
• \( e = 4n^2 + 4n + 1 \) : \( 4n^2 \) et \( 4n \) sont pairs, donc \( e = 4n^2 + 4n + 1 \) est impair.
• \( f = 5n^2 + n \) : La parité dépend de \( n \). Si \( n \) est pair, \( f \) est pair, et si \( n \) est impair, \( f \) est impair.

EXERCICE 3:

Soit \( a \) et \( b \) deux entiers naturels. On définit les entiers \( x \) et \( y \) par :

• \( x = 3a + 5b \)
• \( y = 7a + 2b \)

Montrer que si \( a \) et \( b \) sont pairs, alors \( x \) et \( y \) sont pairs.

Montrer que si \( a \) est impair et \( b \) est pair, alors \( x \) est impair et \( y \) est impair.

Solution de l'EXERCICE 3:

• Cas où \( a \) et \( b \) sont pairs :

Soient \( a = 2m \) et \( b = 2n \), où \( m \) et \( n \) sont des entiers. Alors,

\( x = 3(2m) + 5(2n) = 6m + 10n = 2(3m + 5n) \), qui est pair.

\( y = 7(2m) + 2(2n) = 14m + 4n = 2(7m + 2n) \), qui est pair.

Donc, \( x \) et \( y \) sont tous deux pairs.

• Cas où \( a \) est impair et \( b \) est pair :

Soit \( a = 2m + 1 \) et \( b = 2n \). Alors,

\( x = 3(2m + 1) + 5(2n) = 6m + 3 + 10n = 2(3m + 5n) + 3 \), qui est impair.

\( y = 7(2m + 1) + 2(2n) = 14m + 7 + 4n = 2(7m + 2n) + 7 \), qui est impair.

Donc, \( x \) et \( y \) sont tous deux impairs.

EXERCICE 4:

Soit \( n \) un entier naturel.

Montrer que \( n^2 + n \) est un nombre pair.

Montrer que \( n^3 - n \) est un nombre pair.

Montrer que \( n^3 + 2n^2 + n \) est un nombre impair si \( n \) est impair.

Solution de l'EXERCICE 4:

• Montrer que \( n^2 + n \) est un nombre pair :

Le terme \( n^2 + n \) peut être factorisé : \( n^2 + n = n(n + 1) \). Puisque \( n \) et \( n + 1 \) sont deux entiers consécutifs, l'un des deux est forcément pair, donc le produit \( n(n + 1) \) est pair.

• Montrer que \( n^3 - n \) est un nombre pair :

Le terme \( n^3 - n \) peut être factorisé : \( n^3 - n = n(n^2 - 1) = n(n - 1)(n + 1) \). Les termes \( n - 1 \), \( n \), et \( n + 1 \) sont trois entiers consécutifs, donc l'un d'eux est pair. Par conséquent, le produit \( n(n - 1)(n + 1) \) est pair.

• Montrer que \( n^3 + 2n^2 + n \) est un nombre impair si \( n \) est impair :

Si \( n \) est impair, alors \( n^3 \), \( 2n^2 \) et \( n \) sont de parités respectives impair, pair, et impair. La somme de deux nombres impairs et d'un nombre pair est impair. Donc, \( n^3 + 2n^2 + n \) est impair.

EXERCICE 5:

Soit \( p \) un nombre premier et \( a \) un entier quelconque. Montrer que si \( p \) divise \( a \times b \), alors \( p \) divise \( a \) ou \( p \) divise \( b \).

Solution de l'EXERCICE 5:

Soit \( p \) un nombre premier et \( a \times b \) un produit de deux entiers.

Supposons que \( p \) divise \( a \times b \), c'est-à-dire qu'il existe un entier \( k \) tel que \( a \times b = p \times k \).

Comme \( p \) est un nombre premier, il ne peut pas être factorisé en d'autres entiers, donc il doit diviser soit \( a \) soit \( b \).

Si \( p \) divise \( a \), alors il existe un entier \( m \) tel que \( a = p \times m \) et donc \( p \) divise \( a \).

Sinon, si \( p \) ne divise pas \( a \), alors \( p \) doit nécessairement diviser \( b \), car sinon \( p \) ne pourrait pas diviser \( a \times b \).

En conclusion, si \( p \) divise \( a \times b \), alors \( p \) divise \( a \) ou \( p \) divise \( b \).

EXERCICE 6:

Soit \( a \) et \( b \) deux entiers naturels tels que \( \text{pgcd}(a, b) = 1 \).

Montrer que \( a \) et \( b \) sont premiers entre eux.

Montrer que \( a^2 \) et \( b^2 \) sont également premiers entre eux.

Solution de l'EXERCICE 6:

• Montrer que \( a \) et \( b \) sont premiers entre eux :

Par définition, si \( \text{pgcd}(a, b) = 1 \), cela signifie que \( a \) et \( b \) n'ont aucun diviseur commun autre que 1. Donc, \( a \) et \( b \) sont premiers entre eux.

• Montrer que \( a^2 \) et \( b^2 \) sont également premiers entre eux :

Si \( a \) et \( b \) sont premiers entre eux, alors leurs carrés \( a^2 \) et \( b^2 \) n'ont également aucun diviseur commun autre que 1. En effet, si un nombre premier \( p \) divisait \( a^2 \), alors \( p \) diviserait également \( a \), ce qui contredirait le fait que \( a \) et \( b \) sont premiers entre eux. Par conséquent, \( a^2 \) et \( b^2 \) sont aussi premiers entre eux.

EXERCICE 7:

Soit \( n \) un entier naturel.

Montrer que si \( n \) est pair, alors \( n^2 \) est pair.

Montrer que si \( n \) est impair, alors \( n^2 \) est impair.

Solution de l'EXERCICE 7:

• Montrer que si \( n \) est pair, alors \( n^2 \) est pair :

Si \( n \) est pair, alors \( n = 2k \) pour un certain entier \( k \). Donc, \( n^2 = (2k)^2 = 4k^2 \), qui est divisible par 2, donc \( n^2 \) est pair.

• Montrer que si \( n \) est impair, alors \( n^2 \) est impair :

Si \( n \) est impair, alors \( n = 2k + 1 \) pour un certain entier \( k \). Donc, \( n^2 = (2k + 1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 \), qui est de la forme \( 2m + 1 \), donc \( n^2 \) est impair.

EXERCICE 8:

Montrer que le produit de deux nombres consécutifs est toujours pair.

Montrer que la somme de deux nombres consécutifs est impaire.

Solution de l'EXERCICE 8:

• Montrer que le produit de deux nombres consécutifs est toujours pair :

Soient \( n \) et \( n + 1 \) deux nombres consécutifs. L'un des deux est pair, donc leur produit \( n(n + 1) \) est pair.

• Montrer que la somme de deux nombres consécutifs est impaire :

La somme de deux nombres consécutifs \( n + (n + 1) = 2n + 1 \) est impaire car elle est de la forme \( 2m + 1 \).

EXERCICE 9:

Soit \( n \) un entier naturel non nul.

Montrer que \( n \) est divisible par 3 si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par 3.

Solution de l'EXERCICE 9:

Soit \( n \) un entier naturel. Écrivons \( n \) sous la forme \( n = a_k \times 10^k + a_{k-1} \times 10^{k-1} + \dots + a_1 \times 10 + a_0 \), où \( a_k, a_{k-1}, \dots, a_0 \) sont les chiffres de \( n \).

Remarquons que \( 10^i \equiv 1 \ (\text{mod} \ 3) \) pour tout \( i \geq 0 \). Par conséquent,

\( n \equiv a_k + a_{k-1} + \dots + a_1 + a_0 \ (\text{mod} \ 3) \).

Donc, \( n \) est divisible par 3 si et seulement si la somme de ses chiffres \( a_k + a_{k-1} + \dots + a_1 + a_0 \) est divisible par 3.

EXERCICE 10:

Montrer que si \( n \) est un entier pair, alors \( n! \) est divisible par 2.

Montrer que si \( n \) est un entier impair, alors \( n! \) est divisible par \( n \).

Solution de l'EXERCICE 10:

• Montrer que si \( n \) est un entier pair, alors \( n! \) est divisible par 2 :

Si \( n \) est pair, alors \( n = 2k \) pour un certain entier \( k \). Ainsi, \( n! = 2k \times (2k - 1) \times \dots \times 2 \times 1 \). Comme \( n! \) contient le facteur 2, il est donc divisible par 2.

• Montrer que si \( n \) est un entier impair, alors \( n! \) est divisible par \( n \) :

Si \( n \) est impair, alors \( n \) est l'un des facteurs dans le produit \( n! = n \times (n - 1) \times \dots \times 2 \times 1 \). Donc, \( n! \) est divisible par \( n \).

EXERCICE 11:

Soit \( n \) un entier naturel. Montrer que si \( n \) est impair, alors \( n^2 \) est impair.

Montrer que si \( n \) est pair, alors \( n^2 \) est pair.

Solution de l'EXERCICE 11:

• Montrer que si \( n \) est impair, alors \( n^2 \) est impair :

Si \( n \) est impair, alors \( n = 2k + 1 \) pour un certain entier \( k \). Alors \( n^2 = (2k + 1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 \), qui est de la forme \( 2m + 1 \), donc \( n^2 \) est impair.

• Montrer que si \( n \) est pair, alors \( n^2 \) est pair :

Si \( n \) est pair, alors \( n = 2k \) pour un certain entier \( k \). Donc, \( n^2 = (2k)^2 = 4k^2 \), qui est divisible par 2, donc \( n^2 \) est pair.

EXERCICE 12:

Soit \( p \) un nombre premier. Montrer que si \( p \) divise \( a \times b \), alors \( p \) divise \( a \) ou \( p \) divise \( b \).

Solution de l'EXERCICE 12:

Soit \( p \) un nombre premier et \( a \times b \) un produit de deux entiers.

Supposons que \( p \) divise \( a \times b \), c'est-à-dire qu'il existe un entier \( k \) tel que \( a \times b = p \times k \).

Comme \( p \) est un nombre premier, il ne peut pas être factorisé en d'autres entiers, donc il doit diviser soit \( a \) soit \( b \).

Si \( p \) divise \( a \), alors il existe un entier \( m \) tel que \( a = p \times m \) et donc \( p \) divise \( a \).

Sinon, si \( p \) ne divise pas \( a \), alors \( p \) doit nécessairement diviser \( b \), car sinon \( p \) ne pourrait pas diviser \( a \times b \).

En conclusion, si \( p \) divise \( a \times b \), alors \( p \) divise \( a \) ou \( p \) divise \( b \).

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