Arithmétique dans N Tronc Commun : 12 Exercices Corrigés PDF

1. Exprimez un nombre pair sous la forme \( 2m \) et un nombre impair sous la forme \( 2m+1 \) avec \( m \in \mathbb{Z} \).
2. Utilisez ces représentations pour développer et simplifier les expressions.
3. Pensez à distinguer les cas (même parité ou parités différentes) pour la dernière question.

1. Somme de deux nombres pairs :

Soient \( a = 2m \) et \( b = 2n \) avec \( m, n \in \mathbb{Z} \). Alors, \[ a + b = 2m + 2n = 2(m+n) \] qui est un nombre pair.

2. Produit de deux nombres impairs :

Soient \( a = 2m+1 \) et \( b = 2n+1 \) avec \( m, n \in \mathbb{Z} \). On a : \[ a \times b = (2m+1)(2n+1) = 4mn + 2m + 2n + 1 = 2(2mn + m + n) + 1 \] Ce qui montre que le produit est de la forme \( 2k+1 \) (impair).

3. Même parité pour \( a+b \) et \( a-b \) :

Pour deux entiers \( a \) et \( b \) (avec \( a \geq b \)), on distingue deux cas :

Si \( a \) et \( b \) sont tous deux pairs ou tous deux impairs, alors \( a-b \) est pair et \( a+b \) est également pair.

Si l'un est pair et l'autre impair, alors \( a-b \) est impair et \( a+b \) est aussi impair.

Dans tous les cas, \( a+b \) et \( a-b \) ont la même parité.

1. Identifiez les termes multiples de \(2\) dans chaque expression.
2. Pour \( c = n^3 - n \), notez que \( n^3 \) et \( n \) ont la même parité.
3. Pour \( d = n^2 + 3n + 6 \), étudiez séparément les cas où \( n \) est pair et où \( n \) est impair.
4. Pour \( f = 5n^2 + n \), observez que la parité dépend uniquement de celle de \( n \).

• \( a = 6n + 8 \):

\( 6n \) est pair (puisque \(6\) est un multiple de \(2\)) et \(8\) est pair, donc leur somme \( a \) est pair.

• \( b = 2n + 3 + 1 \):

\( 2n \) est pair et \( 3 + 1 = 4 \) est pair, ainsi \( b \) est pair.

• \( c = n^3 - n \):

Comme \( n^3 \) et \( n \) ont la même parité, leur différence \( n^3 - n \) est pair.

• \( d = n^2 + 3n + 6 \):

- Si \( n \) est pair, alors \( n^2 \) et \( 3n \) sont pairs, et en ajoutant \(6\) (pair), \( d \) est pair.
- Si \( n \) est impair, alors \( n^2 \) et \( 3n \) sont impairs ; la somme de deux nombres impairs est pair, et ajouter \(6\) (pair) donne un résultat pair.

• \( e = 4n^2 + 4n + 1 \):

\( 4n^2 \) et \( 4n \) sont pairs, leur somme est pair, et l'ajout de \(1\) rend \( e \) impair.

• \( f = 5n^2 + n \):

La parité de \( f \) dépend de celle de \( n \) :

Si \( n \) est pair, alors \( f \) est pair.

Si \( n \) est impair, alors \( f \) est impair.

1. Pour le cas où \( a \) et \( b \) sont pairs, exprimez-les sous la forme \( a = 2m \) et \( b = 2n \) et simplifiez les expressions de \( x \) et \( y \).
2. Pour le cas où \( a \) est impair et \( b \) est pair, exprimez \( a = 2m+1 \) et \( b = 2n \), puis vérifiez la parité de \( x \) et \( y \).

1. Cas où \( a \) et \( b \) sont pairs :

Soient \( a = 2m \) et \( b = 2n \), avec \( m, n \in \mathbb{Z} \). Alors :

\( x = 3(2m) + 5(2n) = 6m + 10n = 2(3m + 5n) \), donc \( x \) est pair.

\( y = 7(2m) + 2(2n) = 14m + 4n = 2(7m + 2n) \), donc \( y \) est pair.

2. Cas où \( a \) est impair et \( b \) est pair :

Soit \( a = 2m + 1 \) et \( b = 2n \). Alors :

\( x = 3(2m + 1) + 5(2n) = 6m + 3 + 10n = 2(3m + 5n) + 3 \), donc \( x \) est impair.

\( y = 7(2m + 1) + 2(2n) = 14m + 7 + 4n = 2(7m + 2n) + 7 \), donc \( y \) est impair.

1. Pour \( n^2+n \) : factorisez en \( n(n+1) \). Deux entiers consécutifs contiennent forcément un pair, ce qui rend le produit pair.
2. Pour \( n^3-n \) : factorisez en \( n(n^2-1) = n(n-1)(n+1) \). Trois entiers consécutifs garantissent la présence d’au moins un multiple de 2.
3. Pour \( n^3+2n^2+n \) : vous pouvez remarquer que cette expression se factorise en \( n(n^2+2n+1) = n(n+1)^2 \). Étudiez la parité en fonction de \( n \).

1. Montrer que \( n^2+n \) est un nombre pair :

On écrit \( n^2+n = n(n+1) \). Comme \( n \) et \( n+1 \) sont des entiers consécutifs, l’un d’eux est pair. Leur produit est donc pair.

2. Montrer que \( n^3-n \) est un nombre pair :

On factorise \( n^3-n \) de la façon suivante : \[ n^3-n = n(n^2-1) = n(n-1)(n+1). \] Les trois facteurs sont trois entiers consécutifs, donc l’un d’eux est pair, ce qui assure que le produit est pair.

3. Montrer que \( n^3+2n^2+n \) est un nombre impair si \( n \) est impair :

On peut factoriser : \[ n^3+2n^2+n = n(n^2+2n+1) = n(n+1)^2. \] Si \( n \) est impair, alors \( n \) est impair. Par ailleurs, \( n+1 \) est pair, donc \( (n+1)^2 \) est pair. Le produit d’un nombre impair par un nombre pair est pair.

Remarque : D’après ce raisonnement, si \( n \) est impair, \( n^3+2n^2+n \) est pair et non impair. Les calculs montrent en effet, par exemple pour \( n=1 \) : \[ 1^3+2\cdot1^2+1 = 1+2+1 = 4, \] qui est pair. Il semble donc qu’il y ait une erreur dans l’énoncé concernant la parité de \( n^3+2n^2+n \) lorsque \( n \) est impair.

1. Rappelez-vous que la propriété fondamentale des nombres premiers implique que si un nombre premier divise un produit, il divise au moins l'un des facteurs.
2. Supposez que \( p \) ne divise pas \( a \) et démontrez alors qu'il doit diviser \( b \).

Soit \( p \) un nombre premier et supposons que \( p \) divise \( a \times b \), c'est-à-dire qu'il existe un entier \( k \) tel que : \[ a \times b = p \times k. \]

Si \( p \) divise \( a \), alors le résultat est immédiat. Sinon, si \( p \) ne divise pas \( a \), la propriété fondamentale des nombres premiers nous dit que \( p \) doit diviser \( b \). En effet, un nombre premier ne peut se "casser" qu'en divisant au moins l'un des deux facteurs.

Ainsi, si \( p \) divise \( a \times b \), alors \( p \) divise \( a \) ou \( p \) divise \( b \).

1. Utilisez la définition de nombres premiers entre eux : deux nombres sont premiers entre eux si leur plus grand commun diviseur est 1.
2. Pour la deuxième partie, montrez qu'un diviseur commun de \( a^2 \) et \( b^2 \) diviserait également \( a \) et \( b \).

1. Montrer que \( a \) et \( b \) sont premiers entre eux :

   Par définition, \( \text{pgcd}(a, b) = 1 \) signifie que \( a \) et \( b \) n'ont aucun diviseur commun autre que 1. Ainsi, \( a \) et \( b \) sont premiers entre eux.

2. Montrer que \( a^2 \) et \( b^2 \) sont également premiers entre eux :

   Supposons qu'un entier \( d > 1 \) divise à la fois \( a^2 \) et \( b^2 \). Alors \( d \) divise aussi \( a \) et \( b \) (car si \( d \) divise \( a^2 \), tous ses facteurs premiers divisent \( a \)). Or, comme \( a \) et \( b \) sont premiers entre eux, il n'existe aucun diviseur commun autre que 1. Par conséquent, \( a^2 \) et \( b^2 \) ne peuvent avoir de diviseur commun supérieur à 1, ce qui signifie que \( \text{pgcd}(a^2, b^2) = 1 \).