Arithmétique dans N Tronc Commun : 12 Exercices Corrigés PDF

1. Exprimez un nombre pair sous la forme $2m$ et un nombre impair sous la forme $2m+1$ avec $m \in \mathbb{Z}$.
2. Utilisez ces représentations pour développer et simplifier les expressions.
3. Pensez à distinguer les cas (même parité ou parités différentes) pour la dernière question.

1. Somme de deux nombres pairs :

Soient $a = 2m$ et $b = 2n$ avec $m, n \in \mathbb{Z}$. Alors, $$a + b = 2m + 2n = 2(m+n)$$ qui est un nombre pair.

2. Produit de deux nombres impairs :

Soient $a = 2m+1$ et $b = 2n+1$ avec $m, n \in \mathbb{Z}$. On a : $$a \times b = (2m+1)(2n+1) = 4mn + 2m + 2n + 1 = 2(2mn + m + n) + 1$$ Ce qui montre que le produit est de la forme $2k+1$ (impair).

3. Même parité pour $a+b$ et $a-b$ :

Pour deux entiers $a$ et $b$ (avec $a \geq b$), on distingue deux cas :

Si $a$ et $b$ sont tous deux pairs ou tous deux impairs, alors $a-b$ est pair et $a+b$ est également pair.

Si l'un est pair et l'autre impair, alors $a-b$ est impair et $a+b$ est aussi impair.

Dans tous les cas, $a+b$ et $a-b$ ont la même parité.

1. Identifiez les termes multiples de $2$ dans chaque expression.
2. Pour $c = n^3 - n$, notez que $n^3$ et $n$ ont la même parité.
3. Pour $d = n^2 + 3n + 6$, étudiez séparément les cas où $n$ est pair et où $n$ est impair.
4. Pour $f = 5n^2 + n$, observez que la parité dépend uniquement de celle de $n$.

• $a = 6n + 8$:

$6n$ est pair (puisque $6$ est un multiple de $2$) et $8$ est pair, donc leur somme $a$ est pair.

• $b = 2n + 3 + 1$:

$2n$ est pair et $3 + 1 = 4$ est pair, ainsi $b$ est pair.

• $c = n^3 - n$:

Comme $n^3$ et $n$ ont la même parité, leur différence $n^3 - n$ est pair.

• $d = n^2 + 3n + 6$:

- Si $n$ est pair, alors $n^2$ et $3n$ sont pairs, et en ajoutant $6$ (pair), $d$ est pair.
- Si $n$ est impair, alors $n^2$ et $3n$ sont impairs ; la somme de deux nombres impairs est pair, et ajouter $6$ (pair) donne un résultat pair.

• $e = 4n^2 + 4n + 1$:

$4n^2$ et $4n$ sont pairs, leur somme est pair, et l'ajout de $1$ rend $e$ impair.

• $f = 5n^2 + n$:

La parité de $f$ dépend de celle de $n$ :

Si $n$ est pair, alors $f$ est pair.

Si $n$ est impair, alors $f$ est impair.

1. Pour le cas où $a$ et $b$ sont pairs, exprimez-les sous la forme $a = 2m$ et $b = 2n$ et simplifiez les expressions de $x$ et $y$.
2. Pour le cas où $a$ est impair et $b$ est pair, exprimez $a = 2m+1$ et $b = 2n$, puis vérifiez la parité de $x$ et $y$.

1. Cas où $a$ et $b$ sont pairs :

Soient $a = 2m$ et $b = 2n$, avec $m, n \in \mathbb{Z}$. Alors :

$x = 3(2m) + 5(2n) = 6m + 10n = 2(3m + 5n)$, donc $x$ est pair.

$y = 7(2m) + 2(2n) = 14m + 4n = 2(7m + 2n)$, donc $y$ est pair.

2. Cas où $a$ est impair et $b$ est pair :

Soit $a = 2m + 1$ et $b = 2n$. Alors :

$x = 3(2m + 1) + 5(2n) = 6m + 3 + 10n = 2(3m + 5n) + 3$, donc $x$ est impair.

$y = 7(2m + 1) + 2(2n) = 14m + 7 + 4n = 2(7m + 2n) + 7$, donc $y$ est impair.

1. Pour $n^2+n$ : factorisez en $n(n+1)$. Deux entiers consécutifs contiennent forcément un pair, ce qui rend le produit pair.
2. Pour $n^3-n$ : factorisez en $n(n^2-1) = n(n-1)(n+1)$. Trois entiers consécutifs garantissent la présence d’au moins un multiple de 2.
3. Pour $n^3+2n^2+n$ : vous pouvez remarquer que cette expression se factorise en $n(n^2+2n+1) = n(n+1)^2$. Étudiez la parité en fonction de $n$.

1. Montrer que $n^2+n$ est un nombre pair :

On écrit $n^2+n = n(n+1)$. Comme $n$ et $n+1$ sont des entiers consécutifs, l’un d’eux est pair. Leur produit est donc pair.

2. Montrer que $n^3-n$ est un nombre pair :

On factorise $n^3-n$ de la façon suivante : $$n^3-n = n(n^2-1) = n(n-1)(n+1).$$ Les trois facteurs sont trois entiers consécutifs, donc l’un d’eux est pair, ce qui assure que le produit est pair.

3. Montrer que $n^3+2n^2+n$ est un nombre impair si $n$ est impair :

On peut factoriser : $$n^3+2n^2+n = n(n^2+2n+1) = n(n+1)^2.$$ Si $n$ est impair, alors $n$ est impair. Par ailleurs, $n+1$ est pair, donc $(n+1)^2$ est pair. Le produit d’un nombre impair par un nombre pair est pair.

Remarque : D’après ce raisonnement, si $n$ est impair, $n^3+2n^2+n$ est pair et non impair. Les calculs montrent en effet, par exemple pour $n=1$ : $$1^3+2\cdot1^2+1 = 1+2+1 = 4,$$ qui est pair. Il semble donc qu’il y ait une erreur dans l’énoncé concernant la parité de $n^3+2n^2+n$ lorsque $n$ est impair.

1. Rappelez-vous que la propriété fondamentale des nombres premiers implique que si un nombre premier divise un produit, il divise au moins l'un des facteurs.
2. Supposez que $p$ ne divise pas $a$ et démontrez alors qu'il doit diviser $b$.

Soit $p$ un nombre premier et supposons que $p$ divise $a \times b$, c'est-à-dire qu'il existe un entier $k$ tel que : $$a \times b = p \times k.$$

Si $p$ divise $a$, alors le résultat est immédiat. Sinon, si $p$ ne divise pas $a$, la propriété fondamentale des nombres premiers nous dit que $p$ doit diviser $b$. En effet, un nombre premier ne peut se "casser" qu'en divisant au moins l'un des deux facteurs.

Ainsi, si $p$ divise $a \times b$, alors $p$ divise $a$ ou $p$ divise $b$.

1. Utilisez la définition de nombres premiers entre eux : deux nombres sont premiers entre eux si leur plus grand commun diviseur est 1.
2. Pour la deuxième partie, montrez qu'un diviseur commun de $a^2$ et $b^2$ diviserait également $a$ et $b$.

1. Montrer que $a$ et $b$ sont premiers entre eux :

   Par définition, $\text{pgcd}(a, b) = 1$ signifie que $a$ et $b$ n'ont aucun diviseur commun autre que 1. Ainsi, $a$ et $b$ sont premiers entre eux.

2. Montrer que $a^2$ et $b^2$ sont également premiers entre eux :

   Supposons qu'un entier $d > 1$ divise à la fois $a^2$ et $b^2$. Alors $d$ divise aussi $a$ et $b$ (car si $d$ divise $a^2$, tous ses facteurs premiers divisent $a$). Or, comme $a$ et $b$ sont premiers entre eux, il n'existe aucun diviseur commun autre que 1. Par conséquent, $a^2$ et $b^2$ ne peuvent avoir de diviseur commun supérieur à 1, ce qui signifie que $\text{pgcd}(a^2, b^2) = 1$.