La trigonométrie est l'étude des relations entre les angles et les longueurs des côtés dans les triangles. Cette branche des mathématiques est essentielle pour comprendre et résoudre des problèmes liés aux mesures angulaires et aux longueurs dans divers contextes scientifiques.
Les fonctions trigonométriques sont particulièrement importantes dans les domaines de la physique, de l'astronomie, et de l'ingénierie.
Fonctions Trigonométriques de Base
Définitions
Considérons un angle \( \theta \) dans un triangle rectangle. Les fonctions trigonométriques de base sont définies comme suit :
Fonction | Définition | Formule |
---|---|---|
Sinus | Rapport entre la longueur du côté opposé à l'angle \( \theta \) et la longueur de l'hypoténuse. | \( \sin(\theta) = \frac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}} \) |
Cosinus | Rapport entre la longueur du côté adjacent à l'angle \( \theta \) et la longueur de l'hypoténuse. | \( \cos(\theta) = \frac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}} \) |
Tangente | Rapport entre la longueur du côté opposé à l'angle \( \theta \) et la longueur du côté adjacent. | \( \tan(\theta) = \frac{\text{opposé}}{\text{adjacent}} \) |
Table des Valeurs
Les valeurs des fonctions trigonométriques pour certains angles usuels sont :
Angle \( \theta \) | \( \sin(\theta) \) | \( \cos(\theta) \) | \( \tan(\theta) \) |
---|---|---|---|
0° | 0 | 1 | 0 |
30° | \(\frac{1}{2}\) | \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) | \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) |
45° | \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) | 1 |
60° | \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) | \(\frac{1}{2}\) | \(\sqrt{3}\) |
90° | 1 | 0 | undefined |
Identités Trigonométriques
Identités Fondamentales
Les identités trigonométriques de base sont des égalités qui sont vraies pour tous les angles pour lesquels les expressions sont définies. Elles sont souvent utilisées pour simplifier les expressions trigonométriques et résoudre des équations :
Identité | Formule |
---|---|
Identité de Pythagore | \( \sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1 \) |
Identité de la Tangente | \( \tan^2(\theta) + 1 = \sec^2(\theta) \) |
Identité de la Cotangente | \( 1 + \cot^2(\theta) = \csc^2(\theta) \) |
Formules de Somme et de Différence
Les formules pour les sommes et les différences d'angles permettent de simplifier les expressions trigonométriques complexes :
Formule 1 | Formule 2 |
---|---|
\( \sin(A + B) = \sin(A) \cos(B) + \cos(A) \sin(B) \) | \( \cos(A + B) = \cos(A) \cos(B) - \sin(A) \sin(B) \) |
\( \sin(A - B) = \sin(A) \cos(B) - \cos(A) \sin(B) \) | \( \cos(A - B) = \cos(A) \cos(B) + \sin(A) \sin(B) \) |
\( \tan(A + B) = \frac{\tan(A) + \tan(B)}{1 - \tan(A) \tan(B)} \) | \( \tan(A - B) = \frac{\tan(A) - \tan(B)}{1 + \tan(A) \tan(B)} \) |
Résolution de Triangles
Triangle Rectangle
Dans un triangle rectangle, les relations trigonométriques permettent de déterminer les longueurs des côtés ou les mesures des angles :
- Pour trouver le côté opposé à un angle \( \theta \) :
\( \text{opposé} = \text{hypoténuse} \times \sin(\theta) \)
- Pour trouver le côté adjacent à un angle \( \theta \) :
\( \text{adjacent} = \text{hypoténuse} \times \cos(\theta) \)
- Pour trouver l'hypoténuse :
\( \text{hypoténuse} = \frac{\text{opposé}}{\sin(\theta)} = \frac{\text{adjacent}}{\cos(\theta)} \)
Triangle Non-Rectangle
Pour les triangles non-rectangles, on utilise les lois des sinus et des cosinus :
- Loi des Sinus : \( \frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)} \)
- Loi des Cosinus : \( c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(C) \)
Exemples et Exercices
Exemple 1 : Calcul de Sinus et Cosinus
Calculons \( \sin(30^\circ) \) et \( \cos(30^\circ) \).
Solution :
\( \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} \)
\( \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
Exemple 2 : Résolution d'un Triangle Rectangle
Pour un triangle rectangle avec \( \angle A = 45^\circ \) et \( \text{hypoténuse} = 10 \), trouvez les longueurs des autres côtés.
Solution :
\( \text{opposé} = \text{adjacent} = \frac{10}{\sqrt{2}} = 5\sqrt{2} \)
Exercice 1 : Calculs de Fonction Trigonométrique
Calculez :
- \( \sin(45^\circ) \)
- \( \cos(60^\circ) \)
- \( \tan(30^\circ) \)
Exercice 2 : Résolution de Triangles
Résolvez les triangles suivants :
- Un triangle rectangle avec un angle de \( 60^\circ \) et une hypoténuse de 12 unités.
- Un triangle avec des côtés de 5, 7 et un angle de \( 60^\circ \) entre eux.
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