Dérivation et étude de fonction 2 Bac

La dérivation est un outil clé du calcul différentiel permettant d'analyser les variations des fonctions. Elle est utilisée pour déterminer les caractéristiques des fonctions telles que les points critiques, les tangentes, et pour résoudre des problèmes d'optimisation.

Dérivabilité d'une fonction en un point

On dit que la fonction f est dérivable en \(x_0\), si :

\[ \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = l = f'(x_0), \quad l \in \mathbb{R} \]

Le nombre réel \(f'(x_0)\) s'appelle le nombre dérivé de la fonction f au point \(x_0\).

Interprétation géométrique

Soit f une fonction dérivable en x0, donc la courbe (Cf) admet une tangente (Δ) au point A(x0, f(x0)) d'équation :

\[ (Δ) : y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0) \]

Dérivabilité à droite - dérivabilité à gauche

Dérivabilité à droite

On dit que la fonction f est dérivable à droite en x0 si :

\[ \lim_{x \to x_0^+} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = l^+ = f'_d(x_0), \quad l^+ \in \mathbb{R} \]

Dérivabilité à gauche

On dit que la fonction f est dérivable à gauche en x0 si :

\[ \lim_{x \to x_0^-} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = l^- = f'_g(x_0), \quad l^- \in \mathbb{R} \]

Si : f'd(x0) = f'g(x0) alors la fonction f est dérivable en x0.

Sinon : f'd(x0) ≠ f'g(x0), donc la fonction f n'est pas dérivable en x0.

Interprétation géométrique

La courbe (Cf) admet au point A(x0, f(x0)) deux demi-tangentes (T1) à droite et (T2) à gauche d'équations :

• \[(T_1) : y = f'_d(x_0)(x - x_0) + f(x_0)\]
• \[(T_2) : y = f'_g(x_0)(x - x_0) + f(x_0)\]

Tangente verticale

Si :

\[ \lim_{x \to x_0^+} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = +\infty \] ou \[ \lim_{x \to x_0^-} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = -\infty \]

alors la courbe \((C_f)\) admet au point \(A(x_0, f(x_0))\) une demi-tangente verticale dirigée vers les ordonnées positives.

Opérations sur les Fonctions Dérivables

1. Soit \( f \) et \( g \) deux fonctions dérivables sur un intervalle \( I \) et un nombre réel :

Alors :

• \((f + g)' = f' + g'\)
• \((f - g)' = f' - g'\)
• \((k \cdot f)' = k \cdot f'\) où \( k \) est une constante
• \((f \cdot g)' = f' \cdot g + f \cdot g'\)
• \(\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f' \cdot g - f \cdot g'}{g^2}\) où \( g \neq 0\)

2. Soit \( f \) une fonction dérivable sur un intervalle \( I \) (pour tout \( x \in I \)) :

Soit \( f \) et \( g \) deux fonctions dérivables respectivement sur deux intervalles \( I_1 \) et \( I_2 \) tels que :

• Alors : \( (g \circ f)'(x) = g'(f(x)) \cdot f'(x) \)

3. Dérivabilité et variations d'une fonction :

Pour une fonction \( f \) dérivable, la dérivée \( f' \) donne des informations sur les variations de \( f \).

Dérivabilité et Variations d'une Fonction

Dérivabilité et variations d'une fonction

Soit \( f \) une fonction dérivable sur un intervalle \( I \subset \mathbb{R} \).

Si \( f' > 0 \), alors \( f \) est croissante sur \( I \).

Si \( f' < 0 \), alors \( f \) est décroissante sur \( I \).

Dérivabilité et extremums d'une fonction

Soit \( x_0 \in I \) un extremum local de \( f \) si \( f(x_0) \) est un minimum ou un maximum local de \( f \) sur un intervalle ouvert \( I \) contenant \( x_0 \).

Donc, la fonction \( f \) atteint un point \( A(x_0; f(x_0)) \) où :

Si \( f' (x_0) = 0 \), alors \( x_0 \) est un extremum local.

Concavité et point d'inflexion

Si \( f''(x) > 0 \), alors \( f \) est concave vers le haut.

Si \( f''(x) < 0 \), alors \( f \) est concave vers le bas.

Un point d'inflexion est un point où la concavité change.

Éléments de symétrie d'une courbe

Le point \( A(x; f(x)) \) est un point de symétrie de la courbe \( \mathscr{C} \) et seulement si :

Si \( (x; f(x)) \in D_f \), alors \( (2a - x; f(2a - x)) \in D_f \).

Fonctions Usuelles et Leur Dérivée

Voici les dérivées de certaines fonctions usuelles :

Fonction	Dérivée
\( f(x) = x^n \)	\( f'(x) = nx^{n-1} \)
\( f(x) = \sin x \)	\( f'(x) = \cos x \)
\( f(x) = \cos x \)	\( f'(x) = -\sin x \)
\( f(x) = \tan x \)	\( f'(x) = \sec^2 x \)
\( f(x) = e^x \)	\( f'(x) = e^x \)
\( f(x) = \ln x \)	\( f'(x) = \frac{1}{x} \)

Règles de Dérivation

Règle de la Somme

La dérivée de la somme de deux fonctions est la somme des dérivées :

\( \frac{d}{dx}(f(x) + g(x)) = f'(x) + g'(x) \)

Règle du Produit

La dérivée du produit de deux fonctions est donnée par :

\( \frac{d}{dx}(f(x) \cdot g(x)) = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x) \)

Règle du Quotient

La dérivée du quotient de deux fonctions est donnée par :

\( \frac{d}{dx}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right) = \frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{[g(x)]^2} \)

Règle de la Chaîne

La dérivée d'une fonction composée \( f(g(x)) \) est donnée par :

\( \frac{d}{dx}[f(g(x))] = f'(g(x)) \cdot g'(x) \)

Explorez LexMath.com pour plus de ressources éducatives en mathématiques et améliorez vos compétences en dérivation et en étude de fonction.

Leçon précédente Leçon suivante