Les équations, inéquations, et systèmes d'équations sont des outils fondamentaux en mathématiques. Ils permettent de modéliser des situations réelles et de trouver des solutions à des problèmes variés.
I. Équation du premier degré à une inconnue
Rappel
Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les équations suivantes :
\[ (1) \quad 2x + 3 = 0 \] Donc : \[ 2x = -3 \quad \Rightarrow \quad x = -\frac{3}{2} \]Solution de l'équation : \(x = -\frac{3}{2}\)
\[ (2) \quad 3x - 4 = 2 \] Donc : \[ 3x = 6 \quad \Rightarrow \quad x = 2 \]Solution de l'équation : \(x = 2\)
\[ (3) \quad 4x + 1 = 3 \] Donc : \[ 4x = 2 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{1}{2} \]Solution de l'équation : \(x = \frac{1}{2}\)
\[ (4) \quad \frac{3}{4}x - \frac{1}{2} = 0 \] Donc : \[ \frac{3}{4}x = \frac{1}{2} \quad \Rightarrow \quad x = \frac{2}{3} \]Solution de l'équation : \(x = \frac{2}{3}\)
II. Inéquation du premier degré à une inconnue
Rappel : Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les inéquations suivantes :
\[ (1) \quad 3x - 4 < 0 \] Donc : \[ 3x < 4 \quad \Rightarrow \quad x < \frac{4}{3} \] \[ (2) \quad 4x - 2 \geq 0 \] Donc : \[ 4x \geq 2 \quad \Rightarrow \quad x \geq \frac{1}{2} \] \[ (3) \quad \frac{1}{3} x + 2 > 0 \] Donc : \[ \frac{1}{3} x > -2 \quad \Rightarrow \quad x > -6 \] \[ (4) \quad x + 1 \leq 2 \] Donc : \[ x \leq 1 \]Solution de l'inéquation : \begin{align*} (5) & \quad \left\{ x \in \mathbb{R} \; | \; x < \frac{4}{3} \; \text{et} \; x \geq \frac{1}{2} \; \text{et} \; x > -6 \; \text{et} \; x \leq 1 \right\} \\ & \quad \text{donc la solution de l'inéquation est } \left( -6, 1 \right] \end{align*}
III. Équation du Second Degré
Forme Canonique
Soit \(a, b, c\) des nombres réels, avec \(a \neq 0\), l'équation du second degré s'écrit :
\[ ax^2 + bx + c = 0 \]Le discriminant est donné par :
\[ \Delta = b^2 - 4ac \]D'après le discriminant, nous avons les cas suivants :
\[ (1) \quad \Delta > 0 \quad \Rightarrow \quad \text{2 solutions distinctes} \] \[ (2) \quad \Delta = 0 \quad \Rightarrow \quad \text{1 solution double} \] \[ (3) \quad \Delta < 0 \quad \Rightarrow \quad \text{pas de solution réelle} \]Solutions
Les solutions de l'équation sont données par :
\[ x_1, x_2 = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \]Dans le cas où le discriminant est nul :
\[ x = \frac{-b}{2a} \]Somme et Produit des Solutions
Pour une équation de la forme \(ax^2 + bx + c = 0\), les propriétés suivantes s'appliquent :
\[ \text{Somme des solutions} : S = -\frac{b}{a} \] \[ \text{Produit des solutions} : P = \frac{c}{a} \]Ⅳ. Inéquation du Second Degré
1. Factorisation
Soit \(a \neq 0\), alors :
\[ \text{Si } a > 0, \text{ alors } P(x) = a(x - x_1)(x - x_2) \] \[ \text{Si } a < 0, \text{ alors } P(x) = -a(x - x_1)(x - x_2) \] \[ \text{Si } \Delta = 0, \text{ alors } P(x) = a(x - x_1)^2 \] \[ \text{Si } \Delta < 0, \text{ alors on ne peut pas factoriser.} \]Exemple
Considérons un exemple :
\[ P(x) = x^2 - 2x + 1 \] \[ \Delta = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 0 \] \[ \Rightarrow P(x) = (x - 1)^2 \]2. Propriétés
Pour \(a < 0\), on a :
\[ P(x) = -a \quad \text{donne } b^2 - 4ac < 0 \rightarrow \text{pas de solution réelle} \] \[ P(x) = 0 \quad \text{si } \Delta = 0 \]3. Tableau de signes
Voici un tableau représentant les signes de l'inéquation :
\[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline a & \Delta & \text{Signes} & \text{Solution} \\ \hline < 0 & < 0 & \text{Pas de solution} & \\ \hline > 0 & = 0 & \text{Une solution double} & x = -\frac{b}{2a} \\ \hline > 0 & > 0 & \text{Deux solutions distinctes} & x_1, x_2 \\ \hline \end{array} \]Ⅴ. Système d'Équations Linéaires
1. Formulation du Système
Considérons le système suivant :
\[ \begin{cases} 3x + 2y = 4 \\ 5x + 3y = 1 \end{cases} \]2. Calcul du Discriminant
Pour résoudre le système, nous calculons le discriminant :
\[ \Delta = a_1 \cdot b_2 - a_2 \cdot b_1 \] \[ \Delta = 3 \cdot 3 - 5 \cdot 2 = 9 - 10 = -1 \]3. Solutions
Les solutions du système sont données par :
\[ x = \frac{\Delta_x}{\Delta}, \quad y = \frac{\Delta_y}{\Delta} \]Avec :
\[ \Delta_x = \begin{vmatrix} 4 & 2 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = 4 \cdot 3 - 2 \cdot 1 = 12 - 2 = 10 \] \[ \Delta_y = \begin{vmatrix} 3 & 4 \\ 5 & 1 \end{vmatrix} = 3 \cdot 1 - 4 \cdot 5 = 3 - 20 = -17 \]4. Calcul Final des Solutions
En substituant dans les formules des solutions :
\[ x = \frac{10}{-1} = -10 \] \[ y = \frac{-17}{-1} = 17 \]5. Ensemble des Solutions
Nous avons donc :
\[ S = \{(x, y) | x = -10, y = 17\} \]Restez connecté avec LexMath.com pour plus de ressources éducatives en mathématiques et pour améliorer vos compétences.
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