Fonctions Logarithmes: Cours pour 2 Bac Scientifique

Les logarithmes permettent de résoudre les équations exponentielles et sont essentiels dans divers domaines des mathématiques et des sciences.

La fonction logarithme népérienne

Définition

La fonction logarithme népérien est la primitive de la fonction \( x \mapsto \frac{1}{x} \) sur l'intervalle \( ]0; +\infty[ \) qui s'annule en \( 1 \) et note \( \ln \).

Propriétés et Conséquences

1. L'ensemble de définition de \( \ln \) est : \( D_n = ]0; +\infty[ \).
2. \( \ln(1) = 0 \) et \( e^0 = 1 \).
3. Soit \( f(x) = \ln(x) \) alors \( f'(x) = \frac{1}{x} \).
4. La fonction \( \ln \) est continue et strictement croissante sur \( ]0; +\infty[ \).
5. La fonction \( \ln \) est définie par : \[ \ln x = \int_1^x \frac{1}{t} \, dt \quad \text{pour } x > 0. \]

Propriétés algébriques

Pour tout \( a \in ]0; +\infty[ \) et pour tout \( b \in ]0; +\infty[ \), on a :

\( \ln(ab) = \ln(a) + \ln(b) \)

\( \ln\left(\frac{1}{b}\right) = -\ln(b) \) et \( \ln\left(\frac{a}{b}\right) = \ln(a) - \ln(b) \)

\( \ln(a^n) = n \ln(a) \) (où \( n \in \mathbb{N}^* \)) et \( \ln(a^r) = r \ln(a) \) (où \( r \in \mathbb{Q} \))

\( \ln\left(\sqrt{a}\right) = \frac{1}{2} \ln(a) \) et \( \ln(e^r) = r \) (où \( r \in \mathbb{Q} \))

Les Limites Usuelles

Règles

On a les limites suivantes :

1. \( \lim_{x \to -\infty} x = -\infty \) et \( \lim_{x \to +\infty} x = +\infty \)
2. \( \lim_{x \to 0} \frac{1}{x} = +\infty \)
3. \( \lim_{x \to 0} x^n = 0 \) (où \( n \in \mathbb{N}^* \))
4. \( \lim_{x \to 0} (x + 1) = 1 \) et \( \lim_{x \to 1} \ln(x) = 0 \)

Étude de la Fonction \( \ln \)

Tableau de Variations

\( x \)	\( \ln(x) \)	Variation
0	-∞	+
1	0	+
+\infty	+\infty	+

La courbe de la fonction ln

Voici une illustration de la courbe de la fonction logarithme en base 10 :

La Dérivée de la Fonction Composée \( \ln(u) \)

Proposition

Si \( u \) est une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle \( I \), alors la fonction \( x \mapsto \ln(u(x)) \) est dérivable sur \( I \) et on a :

\( \forall x \in I : \left( \ln(u(x)) \right)' = \frac{u'(x)}{u(x)} \)

La Primitive de la Fonction \( \frac{1}{u} \)

Proposition

Soit \( u \) une fonction dérivable et non nulle sur un intervalle \( I \). La fonction \( x \mapsto \frac{1}{u(x)} \) admet une primitive de la forme :

\( \int \frac{1}{u(x)} \, dx = \ln |u(x)| + C \)

La Fonction Logarithme de Base \( a \in R_+^* \)

Définition

La fonction logarithme de base \( a \) est la fonction définie par :

\( \forall x \in [0; +\infty[, \quad \log_a(x) = \frac{\ln x}{\ln a} \)

Propriétés et Conséquences

1. \( D_{\log_a} = ]0; +\infty[ \) et \( \log_a(1) = 0 \)
2. Pour tout \( x > 0 \) : \( \log_a(a) = 1 \)
3. \( \forall x > 0 : ( \forall y > 0 ) \) on a : \[ \log_a(xy) = \log_a(x) + \log_a(y) \]
4. \( \forall x > 0 : ( \forall y > 0 ) \) on a : \[ \log_a\left(\frac{x}{y}\right) = \log_a(x) - \log_a(y) \]
5. \( \forall x > 0 : \log_a(x^r) = r \cdot \log_a(x) \) pour tout \( r \in \mathbb{Q} \)

Propriétés Algébriques

1. \( \log_a(xy) = \log_a(x) + \log_a(y) \)
2. \( \log_a\left(\frac{x}{y}\right) = \log_a(x) - \log_a(y) \)
3. \( \log_a(x^r) = r \cdot \log_a(x) \) pour tout \( r \in \mathbb{Q} \)

Dérivée et Variations de \( \log_a \)

1) Dérivée de la fonction \( \log_a \)

La fonction \( \log_a \) est dérivable sur \( ]0; +\infty[ \) et on a :

\( \forall x > 0 : \left( \log_a(x) \right)' = \frac{1}{x \ln a} \)

2) Variations

Si \( a > 1 \) alors la fonction \( \log_a \) est strictement croissante sur \( ]0; +\infty[ \) et :

Si \( 0 < a < 1 \) alors la fonction \( \log_a \) est strictement décroissante sur \( ]0; +\infty[ \).

Logarithme Décimal

1. La fonction logarithme décimal, notée \( \log \) et définie par : \[ \log(x) = \log_{10}(x) = \frac{\ln x}{\ln 10} \]
2. La fonction \( \log \) est continue et strictement croissante sur \( ]0; +\infty[ \).
3. On a : \[ \log(1) = 0 \quad \text{et} \quad \log(10) = 1 \quad \text{et} \quad \log(e) = \frac{1}{\ln(10)} \]

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