Généralités sur les fonctions Cours 1ère Bac

Les fonctions sont l'un des concepts fondamentaux en mathématiques. Une fonction établit une relation entre deux ensembles, appelés l'ensemble de départ et l'ensemble d'arrivée, de sorte qu'à chaque élément de l'ensemble de départ est associé un seul élément de l'ensemble d'arrivée. En d'autres termes, une fonction associe à chaque élément \( x \) de son domaine un unique élément \( f(x) \).

1. Définitions et Notations

Définition :

Soient \( A \) et \( B \) deux ensembles. Une fonction \( f \) de \( A \) vers \( B \) est une relation qui associe à chaque élément \( x \in A \) un unique élément \( y \in B \), noté \( y = f(x) \). On écrit :

\[ f : A \to B, \; x \mapsto f(x) \]

Note :

L'ensemble \( A \) est appelé le domaine de la fonction \( f \), noté \( \text{Dom}(f) \), et l'ensemble \( B \) est appelé le codomaine.

2. Types de Fonctions

Il existe plusieurs types de fonctions en mathématiques, chacun ayant des propriétés et des applications spécifiques. Voici quelques-uns des types les plus courants :

Définition : Fonction Injective

Une fonction \( f : A \to B \) est dite injective si, pour tous \( x_1, x_2 \in A \), \( f(x_1) = f(x_2) \) implique \( x_1 = x_2 \). En d'autres termes, deux éléments distincts de \( A \) ont des images distinctes dans \( B \).

Définition : Fonction Surjective

Une fonction \( f : A \to B \) est dite surjective si, pour tout \( y \in B \), il existe au moins un \( x \in A \) tel que \( f(x) = y \). En d'autres termes, chaque élément de \( B \) est l'image d'au moins un élément de \( A \).

Définition : Fonction Bijective

Une fonction \( f : A \to B \) est dite bijective si elle est à la fois injective et surjective. Autrement dit, chaque élément de \( B \) est l'image d'un unique élément de \( A \).

Exemple :

Considérons la fonction \( f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) définie par \( f(x) = 2x + 1 \). Cette fonction est bijective car elle est à la fois injective et surjective.

3. Propriétés des Fonctions

Théorème 1 : Propriété de l'Injectivité

Si une fonction \( f : A \to B \) est injective, alors il existe une fonction réciproque \( f^{-1} : f(A) \to A \) telle que pour tout \( y \in f(A) \), \( f(f^{-1}(y)) = y \).

Preuve :

Par définition, pour tout \( y \in f(A) \), il existe un unique \( x \in A \) tel que \( f(x) = y \). La fonction réciproque \( f^{-1} \) associe à chaque \( y \in f(A) \) cet unique \( x \in A \). Ainsi, \( f(f^{-1}(y)) = y \).

Théorème 2 : Propriété de la Surjectivité

Si une fonction \( f : A \to B \) est surjective, alors l'image de \( f \) est égale à son codomaine \( B \), c'est-à-dire \( f(A) = B \).

Preuve :

Par définition de la surjectivité, pour tout \( y \in B \), il existe au moins un \( x \in A \) tel que \( f(x) = y \). Ainsi, chaque élément de \( B \) est couvert par l'image de \( f \), d'où \( f(A) = B \).

4. Composition de Fonctions

Définition :

Soient \( f : A \to B \) et \( g : B \to C \) deux fonctions. La composition de \( f \) et \( g \), notée \( g \circ f \), est la fonction de \( A \) vers \( C \) définie par :

\[ (g \circ f)(x) = g(f(x)), \; \forall x \in A \]

Exemple :

Soit \( f(x) = 2x \) et \( g(x) = x + 3 \). La composition \( (g \circ f)(x) = g(f(x)) = 2x + 3 \).

5. Fonctions Inverses

Définition :

Une fonction \( f : A \to B \) est dite inversible s'il existe une fonction \( g : B \to A \) telle que :

\[ g(f(x)) = x, \; \forall x \in A, \; \text{et} \; f(g(y)) = y, \; \forall y \in B \]

Dans ce cas, \( g \) est appelée la fonction réciproque de \( f \) et est notée \( f^{-1} \).

Exemple :

La fonction \( f(x) = 2x + 1 \) est inversible, et sa fonction réciproque est \( f^{-1}(x) = \frac{x - 1}{2} \).

6. Représentation Graphique des Fonctions

La représentation graphique d'une fonction est un outil essentiel pour visualiser son comportement. Le graphe d'une fonction \( f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) est l'ensemble des points \( (x, f(x)) \) dans le plan cartésien.

Note

Pour tracer le graphe d'une fonction, il est souvent utile de déterminer son domaine, ses asymptotes, ses points d'intersection avec les axes, et son comportement aux bornes de son domaine.

7. Exercices Pratiques

Voici quelques exercices pour appliquer les concepts étudiés :

Exercice	Énoncé
Exercice 1	Soit \( f(x) = x^2 - 4x + 5 \). Déterminer si \( f \) est injective, surjective, ou bijective.
Exercice 2	Trouver la fonction réciproque de \( f(x) = \frac{x - 2}{3} \).
Exercice 3	Soient \( f(x) = x^2 \) et \( g(x) = \sqrt{x} \). Calculer \( (g \circ f)(x) \) et \( (f \circ g)(x) \).
Exercice 4	Tracer le graphe de la fonction \( f(x) = \frac{1}{x} \) et déterminer ses asymptotes.
Exercice 5	Déterminer si la fonction \( f(x) = e^x \) est bijective. Justifier votre réponse.

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