Généralités sur les Fonctions 1Bac Exercices Corrigés

Bienvenue sur LexMath.com ! Ce document PDF vous propose un ensemble d'exercices corrigés sur les généralités des fonctions pour les élèves de 1ère Bac.

voici la solution des exercices du-dessous

Exercise 1

Déterminer le domaine de définition des fonctions suivantes :

1. \( f(x) = \frac{x + 8}{x^2 - 1} \)
2. \( f(x) = \frac{3x^3 + x^2 - 1}{x^2 - 6x + 5} \)
3. \( f(x) = \frac{\sqrt{x + 3}}{x - 2} \)
4. \( f(x) = \sqrt{(x - 1)(x - 5)} \)
5. \( f(x) = x + \frac{\sqrt{x^2 - x}}{x} \)
6. \( f(x) = \frac{\sqrt{x + 1}}{x - 1} \)
7. \( f(x) = \frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x - 1}} \)
8. \( f(x) = \sqrt{x^2 + 3x - 1} + \sqrt{x^2 + 1} \)

Solution ▼

1. Le domaine de définition de \( f(x) = \frac{x + 8}{x^2 - 1} \) est \( D_f = \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\} \).
2. Pour \( f(x) = \frac{3x^3 + x^2 - 1}{x^2 - 6x + 5} \), \( D_f = \mathbb{R} \setminus \{1, 5\} \).
3. Le domaine de définition de \( f(x) = \frac{\sqrt{x + 3}}{x - 2} \) est \( D_f = ]-3, 2[ \cup ]2, +\infty[ \).
4. Pour \( f(x) = \sqrt{(x - 1)(x - 5)} \), le domaine est \( D_f = ]1, 5[ \).
5. Le domaine de définition de \( f(x) = x + \frac{\sqrt{x^2 - x}}{x} \) est \( D_f = ]0, +\infty[ \).
6. Pour \( f(x) = \frac{\sqrt{x + 1}}{x - 1} \), \( D_f = ]1, +\infty[ \).
7. Le domaine de définition de \( f(x) = \frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x - 1}} \) est \( D_f = ]1, +\infty[ \).
8. Pour \( f(x) = \sqrt{x^2 + 3x - 1} + \sqrt{x^2 + 1} \), \( D_f = \mathbb{R} \).

Exercise 2

Étudier la parité des fonctions suivantes :

1. \( f(x) = \frac{\sin(x)}{x^3 - 1} \)
2. \( f(x) = \frac{\cos(x)}{x^6 + 2x^4 + x^2 + 1} \)
3. \( f(x) = |x - 1| + |x + 1| \)
4. \( f(x) = x^3 + x^2 - 1 \)
5. \( f(x) = \frac{|x| + 1}{x + 1} \)
6. \( f(x) = \frac{x^3}{x^2 + 1} \)

Solution ▼

1. La fonction \( f(x) = \frac{\sin(x)}{x^3 - 1} \) est impaire car \( \sin(-x) = -\sin(x) \) et le dénominateur est impair.
2. La fonction \( f(x) = \frac{\cos(x)}{x^6 + 2x^4 + x^2 + 1} \) est paire car \( \cos(-x) = \cos(x) \) et le dénominateur est pair.
3. La fonction \( f(x) = |x - 1| + |x + 1| \) est paire car \( f(-x) = f(x) \).
4. \( f(x) = x^3 + x^2 - 1 \) est impaire car \( x^3 \) est impair et \( x^2 \) est pair.
5. La fonction \( f(x) = \frac{|x| + 1}{x + 1} \) n'est ni paire ni impaire.
6. \( f(x) = \frac{x^3}{x^2 + 1} \) est impaire car le numérateur est impair et le dénominateur est pair.

Exercise 3

On considère la fonction \( f(x) = \frac{2x^2 + 4x + 3}{x^2 + 2x + 2} \).

1. Déterminer \( D_f \), le domaine de définition de la fonction \( f \).
2. Montrer que \( \forall x \in \mathbb{R}, 1 \leq f(x) < 2 \).
3. Montrer que 1 est une valeur minimale globale de \( f \).
4. Montrer que 2 n'est pas une valeur maximale de \( f \).

Solution ▼

1. Le domaine de définition est \( D_f = \mathbb{R} \).
2. Pour \( \forall x \in \mathbb{R}, 1 \leq f(x) < 2 \), on montre que le numérateur et le dénominateur sont positifs pour tout \( x \), et que \( f(x) \) est bornée.
3. 1 est une valeur minimale car elle est atteinte pour \( x = 0 \).
4. 2 n'est pas une valeur maximale car \( f(x) \) n'atteint jamais 2.

Exercise 4

On considère la fonction \( f(x) = \frac{x^2}{x^2 + 1} \).

1. Déterminer \( D_f \), l'ensemble de définition de la fonction \( f \).
2. Montrer que \( \forall x \in \mathbb{R}, 0 \leq f(x) < 1 \).
3. 1. Résoudre l'équation \( f(x) = 0 \). Que peut-on en déduire?
   2. Résoudre l'équation \( f(x) = 1 \). Que peut-on en déduire?

Solution ▼

1. Le domaine de définition est \( D_f = \mathbb{R} \).
2. \( f(x) \) est toujours positive et strictement inférieure à 1.
3. 1. Pour \( f(x) = 0 \), \( x = 0 \).
   2. Pour \( f(x) = 1 \), il n'y a pas de solutions réelles.

Exercise 5

Soit \( f \) une fonction définie par : \( f(x) = \frac{x^2 + 2}{x} \).

1. Déterminer \( D_f \), l'ensemble de définition de \( f \), et étudier sa parité.
2. Montrer que \( f \) possède un extremum en \( x_0 = 2 \) et donner sa nature.
3. 1. Montrer que \( \frac{f(x) - f(y)}{x - y} = \frac{1}{2} - \frac{2}{xy} \).
   2. Étudier la monotonie de \( f \) sur \( ]0, 2] \) puis sur \( ]2, +\infty[ \).
   3. Déduire la monotonie de \( f \) sur \( ]-\infty, 0[ \).

Solution ▼

1. Le domaine de définition est \( D_f = \mathbb{R} \setminus \{0\} \). La fonction est impaire car \( f(-x) = -f(x) \).
2. Le point \( x_0 = 2 \) est un minimum local de \( f \).
3. 1. \( \frac{f(x) - f(y)}{x - y} = \frac{1}{2} - \frac{2}{xy} \) est vérifié en simplifiant l'expression.
   2. \( f \) est croissante sur \( ]0, 2] \) et décroissante sur \( ]2, +\infty[ \).
   3. \( f \) est décroissante sur \( ]-\infty, 0[ \).

Exercise 6

On considère la fonction \( f \) définie par : \( f(x) = \frac{2x|x|}{x^2 + 1} \).

1. Déterminer \( D_f \).
2. Étudier la parité de \( f \).
3. Montrer que \( \forall x \in D_f \), \( |f(x)| < 2 \). Que peut-on en déduire?
4. 1. Soient \( x \) et \( y \) deux éléments de l'intervalle \( [0, +\infty[ \) avec \( x \neq y \). Montrer que \( \frac{f(x) - f(y)}{x - y} = \frac{2(x + y)}{(x^2 + 1)(y^2 + 1)} \).
   2. Étudier la monotonie de \( f \) sur \( [0, +\infty[ \).
   3. Déduire la monotonie de \( f \) sur \( ]-\infty, 0[ \).

Solution ▼

1. Le domaine de définition est \( D_f = \mathbb{R} \setminus \{0\} \). La fonction est impaire car \( f(-x) = -f(x) \).
2. Le point \( x_0 = 2 \) est un minimum local de \( f \).
3. 1. \( \frac{f(x) - f(y)}{x - y} = \frac{1}{2} - \frac{2}{xy} \) est vérifié en simplifiant l'expression.
   2. \( f \) est croissante sur \( ]0, 2] \) et décroissante sur \( ]2, +\infty[ \).
   3. \( f \) est décroissante sur \( ]-\infty, 0[ \).

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