Généralités sur les Fonctions 1Bac Exercices Corrigés
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Bienvenue sur LexMath.com ! Ce document PDF vous propose un ensemble d'exercices corrigés sur les généralités des fonctions pour les élèves de 1ère Bac.

Généralités sur les Fonctions 1Bac Exercices Corrigés


voici la solution des exercices du-dessous

Exercise 1

Énoncé

Déterminer le domaine de définition des fonctions suivantes :

  1. \( f(x) = \frac{x + 8}{x^2 - 1} \)
  2. \( f(x) = \frac{3x^3 + x^2 - 1}{x^2 - 6x + 5} \)
  3. \( f(x) = \frac{\sqrt{x + 3}}{x - 2} \)
  4. \( f(x) = \sqrt{(x - 1)(x - 5)} \)
  5. \( f(x) = x + \frac{\sqrt{x^2 - x}}{x} \)
  6. \( f(x) = \frac{\sqrt{x + 1}}{x - 1} \)
  7. \( f(x) = \frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x - 1}} \)
  8. \( f(x) = \sqrt{x^2 + 3x - 1} + \sqrt{x^2 + 1} \)

Solution

▼
  1. Le domaine de définition de \( f(x) = \frac{x + 8}{x^2 - 1} \) est \( D_f = \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\} \).
  2. Pour \( f(x) = \frac{3x^3 + x^2 - 1}{x^2 - 6x + 5} \), \( D_f = \mathbb{R} \setminus \{1, 5\} \).
  3. Le domaine de définition de \( f(x) = \frac{\sqrt{x + 3}}{x - 2} \) est \( D_f = ]-3, 2[ \cup ]2, +\infty[ \).
  4. Pour \( f(x) = \sqrt{(x - 1)(x - 5)} \), le domaine est \( D_f = ]1, 5[ \).
  5. Le domaine de définition de \( f(x) = x + \frac{\sqrt{x^2 - x}}{x} \) est \( D_f = ]0, +\infty[ \).
  6. Pour \( f(x) = \frac{\sqrt{x + 1}}{x - 1} \), \( D_f = ]1, +\infty[ \).
  7. Le domaine de définition de \( f(x) = \frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x - 1}} \) est \( D_f = ]1, +\infty[ \).
  8. Pour \( f(x) = \sqrt{x^2 + 3x - 1} + \sqrt{x^2 + 1} \), \( D_f = \mathbb{R} \).

Exercise 2

Énoncé

Étudier la parité des fonctions suivantes :

  1. \( f(x) = \frac{\sin(x)}{x^3 - 1} \)
  2. \( f(x) = \frac{\cos(x)}{x^6 + 2x^4 + x^2 + 1} \)
  3. \( f(x) = |x - 1| + |x + 1| \)
  4. \( f(x) = x^3 + x^2 - 1 \)
  5. \( f(x) = \frac{|x| + 1}{x + 1} \)
  6. \( f(x) = \frac{x^3}{x^2 + 1} \)

Solution

▼
  1. La fonction \( f(x) = \frac{\sin(x)}{x^3 - 1} \) est impaire car \( \sin(-x) = -\sin(x) \) et le dénominateur est impair.
  2. La fonction \( f(x) = \frac{\cos(x)}{x^6 + 2x^4 + x^2 + 1} \) est paire car \( \cos(-x) = \cos(x) \) et le dénominateur est pair.
  3. La fonction \( f(x) = |x - 1| + |x + 1| \) est paire car \( f(-x) = f(x) \).
  4. \( f(x) = x^3 + x^2 - 1 \) est impaire car \( x^3 \) est impair et \( x^2 \) est pair.
  5. La fonction \( f(x) = \frac{|x| + 1}{x + 1} \) n'est ni paire ni impaire.
  6. \( f(x) = \frac{x^3}{x^2 + 1} \) est impaire car le numérateur est impair et le dénominateur est pair.

Exercise 3

Énoncé

On considère la fonction \( f(x) = \frac{2x^2 + 4x + 3}{x^2 + 2x + 2} \).

  1. Déterminer \( D_f \), le domaine de définition de la fonction \( f \).
  2. Montrer que \( \forall x \in \mathbb{R}, 1 \leq f(x) < 2 \).
  3. Montrer que 1 est une valeur minimale globale de \( f \).
  4. Montrer que 2 n'est pas une valeur maximale de \( f \).

Solution

▼
  1. Le domaine de définition est \( D_f = \mathbb{R} \).
  2. Pour \( \forall x \in \mathbb{R}, 1 \leq f(x) < 2 \), on montre que le numérateur et le dénominateur sont positifs pour tout \( x \), et que \( f(x) \) est bornée.
  3. 1 est une valeur minimale car elle est atteinte pour \( x = 0 \).
  4. 2 n'est pas une valeur maximale car \( f(x) \) n'atteint jamais 2.

Exercise 4

Énoncé

On considère la fonction \( f(x) = \frac{x^2}{x^2 + 1} \).

  1. Déterminer \( D_f \), l'ensemble de définition de la fonction \( f \).
  2. Montrer que \( \forall x \in \mathbb{R}, 0 \leq f(x) < 1 \).
    1. Résoudre l'équation \( f(x) = 0 \). Que peut-on en déduire?
    2. Résoudre l'équation \( f(x) = 1 \). Que peut-on en déduire?

Solution

▼
  1. Le domaine de définition est \( D_f = \mathbb{R} \).
  2. \( f(x) \) est toujours positive et strictement inférieure à 1.
    1. Pour \( f(x) = 0 \), \( x = 0 \).
    2. Pour \( f(x) = 1 \), il n'y a pas de solutions réelles.

Exercise 5

Énoncé

Soit \( f \) une fonction définie par : \( f(x) = \frac{x^2 + 2}{x} \).

  1. Déterminer \( D_f \), l'ensemble de définition de \( f \), et étudier sa parité.
  2. Montrer que \( f \) possède un extremum en \( x_0 = 2 \) et donner sa nature.
    1. Montrer que \( \frac{f(x) - f(y)}{x - y} = \frac{1}{2} - \frac{2}{xy} \).
    2. Étudier la monotonie de \( f \) sur \( ]0, 2] \) puis sur \( ]2, +\infty[ \).
    3. Déduire la monotonie de \( f \) sur \( ]-\infty, 0[ \).

Solution

▼
  1. Le domaine de définition est \( D_f = \mathbb{R} \setminus \{0\} \). La fonction est impaire car \( f(-x) = -f(x) \).
  2. Le point \( x_0 = 2 \) est un minimum local de \( f \).
    1. \( \frac{f(x) - f(y)}{x - y} = \frac{1}{2} - \frac{2}{xy} \) est vérifié en simplifiant l'expression.
    2. \( f \) est croissante sur \( ]0, 2] \) et décroissante sur \( ]2, +\infty[ \).
    3. \( f \) est décroissante sur \( ]-\infty, 0[ \).

Exercise 6

Énoncé

On considère la fonction \( f \) définie par : \( f(x) = \frac{2x|x|}{x^2 + 1} \).

  1. Déterminer \( D_f \).
  2. Étudier la parité de \( f \).
  3. Montrer que \( \forall x \in D_f \), \( |f(x)| < 2 \). Que peut-on en déduire?
    1. Soient \( x \) et \( y \) deux éléments de l'intervalle \( [0, +\infty[ \) avec \( x \neq y \). Montrer que \( \frac{f(x) - f(y)}{x - y} = \frac{2(x + y)}{(x^2 + 1)(y^2 + 1)} \).
    2. Étudier la monotonie de \( f \) sur \( [0, +\infty[ \).
    3. Déduire la monotonie de \( f \) sur \( ]-\infty, 0[ \).

Solution

▼
  1. Le domaine de définition est \( D_f = \mathbb{R} \setminus \{0\} \). La fonction est impaire car \( f(-x) = -f(x) \).
  2. Le point \( x_0 = 2 \) est un minimum local de \( f \).
    1. \( \frac{f(x) - f(y)}{x - y} = \frac{1}{2} - \frac{2}{xy} \) est vérifié en simplifiant l'expression.
    2. \( f \) est croissante sur \( ]0, 2] \) et décroissante sur \( ]2, +\infty[ \).
    3. \( f \) est décroissante sur \( ]-\infty, 0[ \).

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