La Droite dans le Plan Tronc Commun

La droite est une figure géométrique fondamentale qui est infinie dans les deux directions. Elle peut être définie de différentes manières dans le plan euclidien en utilisant un système de coordonnées cartésiennes.

Dans ce cours, nous allons explorer différentes façons de représenter une droite, déterminer sa position relative par rapport à d'autres droites, et appliquer ces concepts dans divers contextes.

I. Définition du Plan - Coordonnées

Définition

Soit O, I, J trois points distincts du plan. On dit que le triplet (O, I, J) forme un repère de plan dans lequel O est l'origine, I et J sont les axes des ordonnées.

Le repère (O, I, J) est orthonormé si plus OJ est l'axe des ordonnées.

Coordonnées du Milieu d'un Segment

Propriété

Soit [A, B] un segment dans le repère (O,I,J). Les coordonnées du milieu du segment [AB] sont données par :

\( M\left(\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}\right) \)

Exemple

Soit A(4; 3) et B(2; 1). Les coordonnées du milieu du segment [AB] sont :

\( M\left(\frac{4 + 2}{2}, \frac{3 + 1}{2}\right) = M(3; 2) \)

Coordonnées d'un Vecteur - égalité de Deux Vecteurs

Définition

Soit \( O(I, J) \) un repère orthonormé. Si le point M a pour coordonnées \( (m_1, m_2) \), alors le vecteur \( \overrightarrow{OM} \) a pour coordonnées \( (m_1, m_2) \).

Propriété (1)

Soit \( A(5; 3) \) et \( B(2; 1) \). Alors les coordonnées du vecteur \( \overrightarrow{AB} \) sont :

\( \overrightarrow{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A) = (2 - 5, 1 - 3) = (-3, -2) \)

Exemple

Pour \( A(5; 3) \) et \( B(2; 1) \), nous avons :

\( \overrightarrow{AB} = (-3, -2) \)

Propriété (2)

Soit \( O(I, J) \) un repère orthonormé. On considère les vecteurs \( \overrightarrow{u}(m_i, j) \) et \( \overrightarrow{v}(n_i, j) \). On a :

\( \overrightarrow{u} = \overrightarrow{v} \) si et seulement si \( y_u = y_v \)

Propriété (3)

Soit \( O(I, J) \) un repère orthonormé. On considère les points \( A(m_A, y_A) \) et \( B(n_B, y_B) \). Alors :

\( \overrightarrow{AB} = (n_B - m_A, y_B - y_A) \)

4. Colinéarité de Deux Vecteurs

Définition

Soit \( I(m_i, y_i) \) et \( \overrightarrow{v}(n_i, j_f) \) deux vecteurs. Le nombre \( r \) est appelé le déterminant de \( \overrightarrow{u} \) et \( \overrightarrow{v} \) dans cet ordre. On le note :

\( \text{det}(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}) = \begin{vmatrix} m_i & n_i \\ y_i & j_f \end{vmatrix} \)

Propriétés

Soit \( \overrightarrow{u}(m_i, y_i) \) et \( \overrightarrow{v}(n_i, j_f) \) deux vecteurs.

Les vecteurs \( \overrightarrow{u} \) et \( \overrightarrow{v} \) sont colinéaires si et seulement si : \( \text{det}(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}) \neq 0\)

Exemple :

Soit \( \overrightarrow{u}(3, 1) \) et \( \overrightarrow{v}(7, 4) \). On a :

\( \text{det}(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}) = 3 \times 4 - 1 \times 7 = 12 - 7 = 5 \neq 0 \)

Alors les vecteurs \( \overrightarrow{u} \) et \( \overrightarrow{v} \) ne sont pas colinéaires.

Norme d'un Vecteur

Propriétés

Soit \( \overrightarrow{u}(m_i, y_i) \) un vecteur dans un repère orthonormé \( (O, I) \).

La norme de \( \overrightarrow{u} \) est donnée par :

\( ||\overrightarrow{u}|| = \sqrt{m_i^2 + y_i^2} \)

Exemple

Soit \( \overrightarrow{u} = (2, -\sqrt{5}) \).

Calculons la norme :

\( ||\overrightarrow{u}|| = \sqrt{(2)^2 + (-\sqrt{5})^2} = \sqrt{4 + 5} = \sqrt{9} = 3 \)

II. La Droite dans un Plan

Vecteurs Directeurs d'une Droite

Définition

Soit \( (O) \) une droite dans le plan. Un vecteur directeur de \( (O) \) est un vecteur non nul \( \overrightarrow{u} \) qui possède la même direction que la droite \( (O) \).

Remarque

tout droite possède une infinité de vecteurs directeurs

Représentation paramétrique d'un droite

Soit \( A(m_i, n_i) \) un point du plan et \( (O) \) une droite (qui ne passe pas par \( A \)).
Soit \( M(m_j, n_j) \) un point de la droite \( (O) \), donc \( \overrightarrow{AM} \) et \( \overrightarrow{u} \) sont colinéaires, donc il existe \( t \in \mathbb{R} \) tel que :

\( \begin{cases} x = m_i + t \cdot a \\ y = n_i + t \cdot b \end{cases} \)

Exemple

1. Représentation Paramétrique

Donnez un point et un vecteur directeur de la droite \( (D) \) de représentation paramétrique.
Soit \( A(m_i, n_i) \) un point du plan et \( \overrightarrow{u} = (a, b) \) un vecteur directeur.

2. Points sur la Droite

Soit \( A(1, 2) \) et \( B(-3, 0) \) les deux points de la droite \( (AB) \).

3. Équation Cartésienne d'une Droite

L'équation cartésienne d'une droite \( (D) \) est donnée par :
\( ax + by + c = 0 \)
où \( (a, b) \) est un vecteur directeur de la droite \( (D) \).

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