Projection Sur une Droite
Projection sur une droite (D) parallèlement à une droite (Delta).
Soient (D) et (A) deux droites sécantes. Soient M et M' deux points du plan tels que \( d(M,D) = MM' \) et \( (MM') \perp (D) \). Le point \( M' \) s'appelle la projetée du point \( M \).
Remarque
Si \( M \in (A) \), alors le projeté de \( M \) sur (A) parallèlement à (D) est lui-même. On dit que le point \( M \) est invariant par projection.
Cas particuliers : projection orthogonale.
Définition
Soient M et M' deux points du plan tels que \( M \in (D) \) et \( [MM'] \perp (D) \). Le point \( M' \) s'appelle la projetée orthogonale du point \( M \) sur (D).
Théorème de Thalès
1- Théorème de Thalès Direct :
Théorème
Soient (D) et (D') deux droites sécantes en A. Soient B et M deux points de la droite (D) distincts de A. Soient B' et M' deux points de la droite (D') distincts de A. Si \( (BB') \parallel (MM') \), alors :
\[ \frac{AB}{AB'} = \frac{AM}{AM'} = \frac{BM}{B'M'} \]
Écriture Vectorielle du Théorème de Thalès
On a : les points A, B et M sont alignés donc les vecteurs \( \overrightarrow{AB} \) et \( \overrightarrow{AM} \) sont colinéaires, c'est-à-dire qu'il existe un nombre réel \( k \) tel que :
\[ \overrightarrow{AB} = k \cdot \overrightarrow{AM} \]
On a aussi :
\[ \overrightarrow{AB} = k' \cdot \overrightarrow{AM} \]
Théorème de Thalès par Projection
Soient (D1) et (D) deux droites sécantes. Soient A, B et C trois points alignés dans le plan tels que \( AB \neq BC \neq AC \) et D un point hors de (AB). Les projections des points A, B et C sur la droite (D1) parallèlement à (AB) se posent respectivement en \( A' \), \( B' \), \( C' \).
Alors :
\[ \frac{AB}{AC} = \frac{A'B'}{A'C'} \]
Réciproque du Théorème de Thalès
Soient \( (D_1) \) et \( (D_2) \) deux droites sécantes en un point \( A \).
Soient \( B \) et \( M \) deux points de \( (D_1) \) distincts de \( A \), et soient \( B' \) et \( M' \) deux points de \( (D_2) \) distincts de \( A \).
Si les points \( A \), \( B \), \( B' \), \( M \), et \( M' \) sont dans le même ordre, alors :
On a la relation suivante : \[ \frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} \quad \text{alors} \quad (MN) \parallel (BC). \]
Conservation du Coefficient de Colinéarité
Soient (D1) et (D2) deux droites sécantes. Soient AB et CD deux vecteurs colinéaires. Il existe un réel \( k \) tel que :
\[ \frac{AB}{AB'} = \frac{a \cdot CD}{a' \cdot CD'} \]
On dit que la projection conserve le coefficient de colinéarité \( k \) :
\[ k = \frac{AB}{CD} = \frac{AB'}{CD'} \]
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