Le Barycentre dans le Plan 1ère Bac Exercices Corrigés

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Dans cet article, nous vous proposons une série d'exercices corrigés sur le barycentre dans le plan pour les élèves de 1ère Bac. Ce fichier PDF est spécialement conçu pour vous permettre de comprendre en profondeur les méthodes de calcul et d'application du barycentre.

Exercice 1

On considère les points suivants :

• \( A(1, 2) \)
• \( B(4, -1) \)
• \( C(-2, 3) \)

Déterminez le barycentre \( G \) de ces trois points avec les coefficients suivants :

• \( \lambda_A = 2 \)
• \( \lambda_B = 3 \)
• \( \lambda_C = 1 \)

Ensuite, vérifiez si \( G \) est le barycentre des points \( A \) et \( B \) avec des coefficients \( \lambda_A = 3 \) et \( \lambda_B = 4 \).

Correction :

Pour le barycentre \( G \) des points \( A \), \( B \), et \( C \), on utilise :

\[ G \left( x_G, y_G \right) = \left( \frac{\lambda_A x_A + \lambda_B x_B + \lambda_C x_C}{\lambda_A + \lambda_B + \lambda_C}, \frac{\lambda_A y_A + \lambda_B y_B + \lambda_C y_C}{\lambda_A + \lambda_B + \lambda_C} \right). \]

Avec \( \lambda_A = 2 \), \( \lambda_B = 3 \), \( \lambda_C = 1 \), \( x_A = 1 \), \( y_A = 2 \), \( x_B = 4 \), \( y_B = -1 \), \( x_C = -2 \), et \( y_C = 3 \), on calcule :

\[ x_G = \frac{2 \cdot 1 + 3 \cdot 4 + 1 \cdot (-2)}{2 + 3 + 1} = \frac{2 + 12 - 2}{6} = \frac{12}{6} = 2. \]

\[ y_G = \frac{2 \cdot 2 + 3 \cdot (-1) + 1 \cdot 3}{2 + 3 + 1} = \frac{4 - 3 + 3}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}. \]

Donc, le barycentre \( G \) est \( \left( 2, \frac{2}{3} \right) \).

Pour vérifier si \( G \) est le barycentre des points \( A \) et \( B \) avec \( \lambda_A = 3 \) et \( \lambda_B = 4 \), on utilise :

\[ G' \left( x_{G'}, y_{G'} \right) = \left( \frac{3 \cdot 1 + 4 \cdot 4}{3 + 4}, \frac{3 \cdot 2 + 4 \cdot (-1)}{3 + 4} \right). \]

\[ x_{G'} = \frac{3 + 16}{7} = \frac{19}{7} \approx 2,71. \]

\[ y_{G'} = \frac{6 - 4}{7} = \frac{2}{7} \approx 0,29. \]

Donc, \( G' \) est \( \left( \frac{19}{7}, \frac{2}{7} \right) \), qui est différent de \( G \).

Exercice 2

Considérons les points \( A(0, 0) \), \( B(4, 0) \), et \( C(2, 3) \). Déterminez :

1. Le barycentre \( G \) de ces trois points avec des coefficients \( \lambda_A = 1 \), \( \lambda_B = 2 \), et \( \lambda_C = 1 \).
2. Le barycentre \( H \) des points \( A \) et \( B \) avec des coefficients \( \lambda_A = 2 \) et \( \lambda_B = 1 \).
3. Comparez \( G \) et \( H \) pour vérifier s'ils sont identiques.

Correction :

Pour le barycentre \( G \) des points \( A \), \( B \), et \( C \), on utilise :

\[ G \left( x_G, y_G \right) = \left( \frac{\lambda_A x_A + \lambda_B x_B + \lambda_C x_C}{\lambda_A + \lambda_B + \lambda_C}, \frac{\lambda_A y_A + \lambda_B y_B + \lambda_C y_C}{\lambda_A + \lambda_B + \lambda_C} \right). \]

Avec \( \lambda_A = 1 \), \( \lambda_B = 2 \), \( \lambda_C = 1 \), \( x_A = 0 \), \( y_A = 0 \), \( x_B = 4 \), \( y_B = 0 \), \( x_C = 2 \), et \( y_C = 3 \), on calcule :

\[ x_G = \frac{1 \cdot 0 + 2 \cdot 4 + 1 \cdot 2}{1 + 2 + 1} = \frac{0 + 8 + 2}{4} = \frac{10}{4} = 2,5. \]

\[ y_G = \frac{1 \cdot 0 + 2 \cdot 0 + 1 \cdot 3}{1 + 2 + 1} = \frac{0 + 0 + 3}{4} = \frac{3}{4} = 0,75. \]

Donc, le barycentre \( G \) est \( \left( 2,5, 0,75 \right) \).

Pour le barycentre \( H \) des points \( A \) et \( B \) avec \( \lambda_A = 2 \) et \( \lambda_B = 1 \), on utilise :

\[ H \left( x_H, y_H \right) = \left( \frac{2 \cdot 0 + 1 \cdot 4}{2 + 1}, \frac{2 \cdot 0 + 1 \cdot 0}{2 + 1} \right). \]

\[ x_H = \frac{0 + 4}{3} = \frac{4}{3} \approx 1,33. \]

\[ y_H = \frac{0 + 0}{3} = 0. \]

Donc, le barycentre \( H \) est \( \left( \frac{4}{3}, 0 \right) \), qui est différent de \( G \).

Exercice 3

Soit les points \( A(-1, 2) \), \( B(3, 1) \), et \( C(0, -4) \). Répondez aux questions suivantes :

1. Calculez le barycentre \( G \) des points \( A \), \( B \), et \( C \) avec des coefficients \( \lambda_A = 3 \), \( \lambda_B = 2 \), et \( \lambda_C = 1 \).
2. Si un point \( D \) a pour coordonnées \( (2, 0) \) et les coefficients \( \lambda_D = 4 \), quel est le barycentre \( E \) de \( A \), \( B \), et \( D \) avec des coefficients \( \lambda_A = 1 \), \( \lambda_B = 2 \), et \( \lambda_D = 4 \) ?
3. Comparez les coordonnées de \( G \) et \( E \).

Correction :

Pour le barycentre \( G \) des points \( A \), \( B \), et \( C \), on utilise :

\[ G \left( x_G, y_G \right) = \left( \frac{\lambda_A x_A + \lambda_B x_B + \lambda_C x_C}{\lambda_A + \lambda_B + \lambda_C}, \frac{\lambda_A y_A + \lambda_B y_B + \lambda_C y_C}{\lambda_A + \lambda_B + \lambda_C} \right). \]

Avec \( \lambda_A = 3 \), \( \lambda_B = 2 \), \( \lambda_C = 1 \), \( x_A = -1 \), \( y_A = 2 \), \( x_B = 3 \), \( y_B = 1 \), \( x_C = 0 \), et \( y_C = -4 \), on calcule :

\[ x_G = \frac{3 \cdot (-1) + 2 \cdot 3 + 1 \cdot 0}{3 + 2 + 1} = \frac{-3 + 6 + 0}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}. \]

\[ y_G = \frac{3 \cdot 2 + 2 \cdot 1 + 1 \cdot (-4)}{3 + 2 + 1} = \frac{6 + 2 - 4}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}. \]

Donc, le barycentre \( G \) est \( \left( \frac{1}{2}, \frac{2}{3} \right) \).

Pour le barycentre \( E \) des points \( A \), \( B \), et \( D \), on utilise :

\[ E \left( x_E, y_E \right) = \left( \frac{\lambda_A x_A + \lambda_B x_B + \lambda_D x_D}{\lambda_A + \lambda_B + \lambda_D}, \frac{\lambda_A y_A + \lambda_B y_B + \lambda_D y_D}{\lambda_A + \lambda_B + \lambda_D} \right). \]

Avec \( \lambda_A = 1 \), \( \lambda_B = 2 \), \( \lambda_D = 4 \), \( x_A = -1 \), \( y_A = 2 \), \( x_B = 3 \), \( y_B = 1 \), \( x_D = 2 \), et \( y_D = 0 \), on calcule :

\[ x_E = \frac{1 \cdot (-1) + 2 \cdot 3 + 4 \cdot 2}{1 + 2 + 4} = \frac{-1 + 6 + 8}{7} = \frac{13}{7} \approx 1,86. \]

\[ y_E = \frac{1 \cdot 2 + 2 \cdot 1 + 4 \cdot 0}{1 + 2 + 4} = \frac{2 + 2 + 0}{7} = \frac{4}{7} \approx 0,57. \]

Donc, le barycentre \( E \) est \( \left( \frac{13}{7}, \frac{4}{7} \right) \), qui est différent de \( G \).

Exercice 4

On a les points \( A(1, 3) \), \( B(-2, -1) \), \( C(4, 2) \), et \( D(0, 0) \). Répondez aux questions suivantes :

1. Calculez le barycentre \( F \) des points \( A \), \( B \), et \( C \) avec des coefficients \( \lambda_A = 2 \), \( \lambda_B = 3 \), et \( \lambda_C = 4 \).
2. Calculez le barycentre \( G \) des points \( A \), \( B \), \( C \), et \( D \) avec des coefficients \( \lambda_A = 1 \), \( \lambda_B = 1 \), \( \lambda_C = 1 \), et \( \lambda_D = 1 \).
3. Comparez les coordonnées de \( F \) et \( G \) pour vérifier s'ils sont identiques.

Correction :

Pour le barycentre \( F \) des points \( A \), \( B \), et \( C \), on utilise :

\[ F \left( x_F, y_F \right) = \left( \frac{\lambda_A x_A + \lambda_B x_B + \lambda_C x_C}{\lambda_A + \lambda_B + \lambda_C}, \frac{\lambda_A y_A + \lambda_B y_B + \lambda_C y_C}{\lambda_A + \lambda_B + \lambda_C} \right). \]

Avec \( \lambda_A = 2 \), \( \lambda_B = 3 \), \( \lambda_C = 4 \), \( x_A = 1 \), \( y_A = 3 \), \( x_B = -2 \), \( y_B = -1 \), \( x_C = 4 \), et \( y_C = 2 \), on calcule :

\[ x_F = \frac{2 \cdot 1 + 3 \cdot (-2) + 4 \cdot 4}{2 + 3 + 4} = \frac{2 - 6 + 16}{9} = \frac{12}{9} = \frac{4}{3}. \]

\[ y_F = \frac{2 \cdot 3 + 3 \cdot (-1) + 4 \cdot 2}{2 + 3 + 4} = \frac{6 - 3 + 8}{9} = \frac{11}{9} \approx 1,22. \]

Donc, le barycentre \( F \) est \( \left( \frac{4}{3}, \frac{11}{9} \right) \).

Pour le barycentre \( G \) des points \( A \), \( B \), \( C \), et \( D \), on utilise :

\[ G \left( x_G, y_G \right) = \left( \frac{\lambda_A x_A + \lambda_B x_B + \lambda_C x_C + \lambda_D x_D}{\lambda_A + \lambda_B + \lambda_C + \lambda_D}, \frac{\lambda_A y_A + \lambda_B y_B + \lambda_C y_C + \lambda_D y_D}{\lambda_A + \lambda_B + \lambda_C + \lambda_D} \right). \]

Avec \( \lambda_A = 1 \), \( \lambda_B = 1 \), \( \lambda_C = 1 \), \( \lambda_D = 1 \), \( x_A = 1 \), \( y_A = 3 \), \( x_B = -2 \), \( y_B = -1 \), \( x_C = 4 \), \( y_C = 2 \), et \( x_D = 0 \), \( y_D = 0 \), on calcule :

\[ x_G = \frac{1 \cdot 1 + 1 \cdot (-2) + 1 \cdot 4 + 1 \cdot 0}{1 + 1 + 1 + 1} = \frac{1 - 2 + 4 + 0}{4} = \frac{3}{4} = 0,75. \]

\[ y_G = \frac{1 \cdot 3 + 1 \cdot (-1) + 1 \cdot 2 + 1 \cdot 0}{1 + 1 + 1 + 1} = \frac{3 - 1 + 2 + 0}{4} = \frac{4}{4} = 1. \]

Donc, le barycentre \( G \) est \( \left( 0,75, 1 \right) \), qui est différent de \( F \).

Exercice 5

On a les points \( A(3, -2) \), \( B(-1, 4) \), et \( C(2, 1) \). Répondez aux questions suivantes :

1. Calculez le barycentre \( H \) des points \( A \), \( B \), et \( C \) avec des coefficients \( \lambda_A = 4 \), \( \lambda_B = 3 \), et \( \lambda_C = 2 \).
2. Si un point \( D \) a pour coordonnées \( (0, -1) \) et les coefficients \( \lambda_D = 5 \), quel est le barycentre \( I \) de \( A \), \( B \), et \( D \) avec des coefficients \( \lambda_A = 2 \), \( \lambda_B = 1 \), et \( \lambda_D = 5 \) ?
3. Comparez les coordonnées de \( H \) et \( I \).

Correction :

Pour le barycentre \( H \) des points \( A \), \( B \), et \( C \), on utilise :

\[ H \left( x_H, y_H \right) = \left( \frac{\lambda_A x_A + \lambda_B x_B + \lambda_C x_C}{\lambda_A + \lambda_B + \lambda_C}, \frac{\lambda_A y_A + \lambda_B y_B + \lambda_C y_C}{\lambda_A + \lambda_B + \lambda_C} \right). \]

Avec \( \lambda_A = 4 \), \( \lambda_B = 3 \), \( \lambda_C = 2 \), \( x_A = 3 \), \( y_A = -2 \), \( x_B = -1 \), \( y_B = 4 \), \( x_C = 2 \), et \( y_C = 1 \), on calcule :

\[ x_H = \frac{4 \cdot 3 + 3 \cdot (-1) + 2 \cdot 2}{4 + 3 + 2} = \frac{12 - 3 + 4}{9} = \frac{13}{9} \approx 1,44. \]

\[ y_H = \frac{4 \cdot (-2) + 3 \cdot 4 + 2 \cdot 1}{4 + 3 + 2} = \frac{-8 + 12 + 2}{9} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}. \]

Donc, le barycentre \( H \) est \( \left( \frac{13}{9}, \frac{2}{3} \right) \).

Pour le barycentre \( I \) des points \( A \), \( B \), et \( D \), on utilise :

\[ I \left( x_I, y_I \right) = \left( \frac{\lambda_A x_A + \lambda_B x_B + \lambda_D x_D}{\lambda_A + \lambda_B + \lambda_D}, \frac{\lambda_A y_A + \lambda_B y_B + \lambda_D y_D}{\lambda_A + \lambda_B + \lambda_D} \right). \]

Avec \( \lambda_A = 2 \), \( \lambda_B = 1 \), \( \lambda_D = 5 \), \( x_A = 3 \), \( y_A = -2 \), \( x_B = -1 \), \( y_B = 4 \), \( x_D = 0 \), et \( y_D = -1 \), on calcule :

\[ x_I = \frac{2 \cdot 3 + 1 \cdot (-1) + 5 \cdot 0}{2 + 1 + 5} = \frac{6 - 1 + 0}{8} = \frac{5}{8} = 0,625. \]

\[ y_I = \frac{2 \cdot (-2) + 1 \cdot 4 + 5 \cdot (-1)}{2 + 1 + 5} = \frac{-4 + 4 - 5}{8} = \frac{-5}{8} = -0,625. \]

Donc, le barycentre \( I \) est \( \left( \frac{5}{8}, -\frac{5}{8} \right) \), qui est différent de \( H \).

Exercice 6

On a les points \( A(-3, 5) \), \( B(1, -2) \), \( C(2, 0) \), et \( D(4, 3) \). Répondez aux questions suivantes :

1. Calculez le barycentre \( J \) des points \( A \), \( B \), et \( C \) avec des coefficients \( \lambda_A = 1 \), \( \lambda_B = 2 \), et \( \lambda_C = 3 \).
2. Calculez le barycentre \( K \) des points \( A \), \( B \), \( C \), et \( D \) avec des coefficients \( \lambda_A = 2 \), \( \lambda_B = 2 \), \( \lambda_C = 2 \), et \( \lambda_D = 4 \).
3. Comparez les coordonnées de \( J \) et \( K \) pour vérifier s'ils sont identiques.

Correction :

Pour le barycentre \( J \) des points \( A \), \( B \), et \( C \), on utilise :

\[ J \left( x_J, y_J \right) = \left( \frac{\lambda_A x_A + \lambda_B x_B + \lambda_C x_C}{\lambda_A + \lambda_B + \lambda_C}, \frac{\lambda_A y_A + \lambda_B y_B + \lambda_C y_C}{\lambda_A + \lambda_B + \lambda_C} \right). \]

Avec \( \lambda_A = 1 \), \( \lambda_B = 2 \), \( \lambda_C = 3 \), \( x_A = -3 \), \( y_A = 5 \), \( x_B = 1 \), \( y_B = -2 \), \( x_C = 2 \), et \( y_C = 0 \), on calcule :

\[ x_J = \frac{1 \cdot (-3) + 2 \cdot 1 + 3 \cdot 2}{1 + 2 + 3} = \frac{-3 + 2 + 6}{6} = \frac{5}{6} \approx 0,83. \]

\[ y_J = \frac{1 \cdot 5 + 2 \cdot (-2) + 3 \cdot 0}{1 + 2 + 3} = \frac{5 - 4 + 0}{6} = \frac{1}{6} \approx 0,17. \]

Donc, le barycentre \( J \) est \( \left( \frac{5}{6}, \frac{1}{6} \right) \).

Pour le barycentre \( K \) des points \( A \), \( B \), \( C \), et \( D \), on utilise :

\[ K \left( x_K, y_K \right) = \left( \frac{\lambda_A x_A + \lambda_B x_B + \lambda_C x_C + \lambda_D x_D}{\lambda_A + \lambda_B + \lambda_C + \lambda_D}, \frac{\lambda_A y_A + \lambda_B y_B + \lambda_C y_C + \lambda_D y_D}{\lambda_A + \lambda_B + \lambda_C + \lambda_D} \right). \]

Avec \( \lambda_A = 2 \), \( \lambda_B = 2 \), \( \lambda_C = 2 \), \( \lambda_D = 4 \), \( x_A = -3 \), \( y_A = 5 \), \( x_B = 1 \), \( y_B = -2 \), \( x_C = 2 \), \( y_C = 0 \), \( x_D = 4 \), et \( y_D = 3 \), on calcule :

\[ x_K = \frac{2 \cdot (-3) + 2 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + 4 \cdot 4}{2 + 2 + 2 + 4} = \frac{-6 + 2 + 4 + 16}{10} = \frac{16}{10} = 1,6. \]

\[ y_K = \frac{2 \cdot 5 + 2 \cdot (-2) + 2 \cdot 0 + 4 \cdot 3}{2 + 2 + 2 + 4} = \frac{10 - 4 + 0 + 12}{10} = \frac{18}{10} = 1,8. \]

Donc, le barycentre \( K \) est \( \left( 1,6, 1,8 \right) \), qui est différent de \( J \).

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