Le Barycentre dans le Plan 1ère Bac Exercices Corrigés

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Dans cet article, nous vous proposons une série d'exercices corrigés sur le barycentre dans le plan pour les élèves de 1ère Bac. Ce fichier PDF est spécialement conçu pour vous permettre de comprendre en profondeur les méthodes de calcul et d'application du barycentre.

Exercice 1 : Barycentre de trois points

Énoncé

On considère les points suivants :

$A(1, 2)$
$B(4, -1)$
$C(-2, 3)$

Déterminez le barycentre $G$ de ces trois points avec les coefficients suivants :

$\lambda_A = 2$
$\lambda_B = 3$
$\lambda_C = 1$

Ensuite, vérifiez si $G$ est le barycentre des points $A$ et $B$ avec des coefficients $\lambda_A = 3$ et $\lambda_B = 4$ .

Indication

▼

Utilisez la formule du barycentre pour déterminer les coordonnées de $G$ .
Pour vérifier si $G$ est aussi le barycentre des points $A$ et $B$ , appliquez la même méthode avec les coefficients donnés.

Correction

▼

Le barycentre $G$ des points $A$ , $B$ , et $C$ est donné par :

Pour $G \left( x_G, y_G \right)$ , on utilise la formule :

$G \left( x_G, y_G \right) = \left( \frac{\lambda_A x_A + \lambda_B x_B + \lambda_C x_C}{\lambda_A + \lambda_B + \lambda_C}, \frac{\lambda_A y_A + \lambda_B y_B + \lambda_C y_C}{\lambda_A + \lambda_B + \lambda_C} \right).$

Avec $\lambda_A = 2$ , $\lambda_B = 3$ , $\lambda_C = 1$ , $x_A = 1$ , $y_A = 2$ , $x_B = 4$ , $y_B = -1$ , $x_C = -2$ , et $y_C = 3$ , on obtient :

$x_G = \frac{2 \cdot 1 + 3 \cdot 4 + 1 \cdot (-2)}{2 + 3 + 1} = 2, \quad y_G = \frac{2 \cdot 2 + 3 \cdot (-1) + 1 \cdot 3}{2 + 3 + 1} = \frac{2}{3}.$

Donc, $G$ est $\left( 2, \frac{2}{3} \right)$ .

Pour vérifier si $G$ est le barycentre des points $A$ et $B$ avec $\lambda_A = 3$ et $\lambda_B = 4$ , on utilise :

$G' \left( x_{G'}, y_{G'} \right) = \left( \frac{3 \cdot 1 + 4 \cdot 4}{3 + 4}, \frac{3 \cdot 2 + 4 \cdot (-1)}{3 + 4} \right).$

$x_{G'} = \frac{3 + 16}{7} = \frac{19}{7} \approx 2,71, \quad y_{G'} = \frac{6 - 4}{7} = \frac{2}{7} \approx 0,29.$

Donc, $G'$ est $\left( \frac{19}{7}, \frac{2}{7} \right)$ , qui est différent de $G$ .

Exercice 2 : Barycentre de points

Énoncé

Considérons les points $A(0, 0)$ , $B(4, 0)$ , et $C(2, 3)$ . Déterminez :

Le barycentre $G$ de ces trois points avec des coefficients $\lambda_A = 1$ , $\lambda_B = 2$ , et $\lambda_C = 1$ .
Le barycentre $H$ des points $A$ et $B$ avec des coefficients $\lambda_A = 2$ et $\lambda_B = 1$ .
Comparez $G$ et $H$ pour vérifier s'ils sont identiques.

Indication

▼

Utilisez la formule du barycentre pour les trois points afin de déterminer $G$ .
Utilisez la même formule pour les points $A$ et $B$ afin de déterminer $H$ .
Vérifiez les coordonnées obtenues pour $G$ et $H$ et comparez-les.

Corrigée

▼

Le barycentre $G$ des points $A$ , $B$ , et $C$ se calcule comme suit :

Pour $\lambda_A = 1$ , $\lambda_B = 2$ , $\lambda_C = 1$ , $x_A = 0$ , $y_A = 0$ , $x_B = 4$ , $y_B = 0$ , $x_C = 2$ , et $y_C = 3$ , on obtient :

$x_G = \frac{1 \cdot 0 + 2 \cdot 4 + 1 \cdot 2}{1 + 2 + 1} = \frac{0 + 8 + 2}{4} = 2,5.$

$y_G = \frac{1 \cdot 0 + 2 \cdot 0 + 1 \cdot 3}{1 + 2 + 1} = \frac{3}{4} = 0,75.$

Le barycentre $G$ est donc $(2,5, 0,75)$ .

Le barycentre $H$ des points $A$ et $B$ se calcule comme suit :

Avec $\lambda_A = 2$ et $\lambda_B = 1$ , on obtient :

$x_H = \frac{2 \cdot 0 + 1 \cdot 4}{2 + 1} = \frac{4}{3} \approx 1,33.$

$y_H = \frac{2 \cdot 0 + 1 \cdot 0}{2 + 1} = 0.$

Le barycentre $H$ est donc $\left( \frac{4}{3}, 0 \right)$ , qui est différent de $G$ .

Exercice 03 : Barycentre de points

Énoncé

Soit les points $A(-1, 2)$ , $B(3, 1)$ , et $C(0, -4)$ . Répondez aux questions suivantes :

Calculez le barycentre $G$ des points $A$ , $B$ , et $C$ avec des coefficients $\lambda_A = 3$ , $\lambda_B = 2$ , et $\lambda_C = 1$ .
Si un point $D$ a pour coordonnées $(2, 0)$ et les coefficients $\lambda_D = 4$ , quel est le barycentre $E$ de $A$ , $B$ , et $D$ avec des coefficients $\lambda_A = 1$ , $\lambda_B = 2$ , et $\lambda_D = 4$ ?
Comparez les coordonnées de $G$ et $E$ .

Indication

▼

Utilisez la formule du barycentre pour calculer les coordonnées de $G$ et $E$ .
Comparez les résultats obtenus pour $G$ et $E$ .

Corrigée

▼

Le barycentre $G$ des points $A$ , $B$ , et $C$ se calcule comme suit :

Avec $\lambda_A = 3$ , $\lambda_B = 2$ , $\lambda_C = 1$ , $x_A = -1$ , $y_A = 2$ , $x_B = 3$ , $y_B = 1$ , $x_C = 0$ , et $y_C = -4$ , on obtient :

$x_G = \frac{3 \cdot (-1) + 2 \cdot 3 + 1 \cdot 0}{3 + 2 + 1} = \frac{-3 + 6 + 0}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}.$

$y_G = \frac{3 \cdot 2 + 2 \cdot 1 + 1 \cdot (-4)}{3 + 2 + 1} = \frac{6 + 2 - 4}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}.$

Donc, le barycentre $G$ est $\left( \frac{1}{2}, \frac{2}{3} \right)$ .

Le barycentre $E$ des points $A$ , $B$ , et $D$ se calcule de la manière suivante :

Avec $\lambda_A = 1$ , $\lambda_B = 2$ , $\lambda_D = 4$ , $x_A = -1$ , $y_A = 2$ , $x_B = 3$ , $y_B = 1$ , $x_D = 2$ , et $y_D = 0$ , on obtient :

$x_E = \frac{1 \cdot (-1) + 2 \cdot 3 + 4 \cdot 2}{1 + 2 + 4} = \frac{-1 + 6 + 8}{7} = \frac{13}{7} \approx 1,86.$

$y_E = \frac{1 \cdot 2 + 2 \cdot 1 + 4 \cdot 0}{1 + 2 + 4} = \frac{2 + 2 + 0}{7} = \frac{4}{7} \approx 0,57.$

Donc, le barycentre $E$ est $\left( \frac{13}{7}, \frac{4}{7} \right)$ , qui est différent de $G$ .

Exercice 04 : Barycentre de points

Énoncé

On a les points $A(1, 3)$ , $B(-2, -1)$ , $C(4, 2)$ , et $D(0, 0)$ . Répondez aux questions suivantes :

Calculez le barycentre $F$ des points $A$ , $B$ , et $C$ avec des coefficients $\lambda_A = 2$ , $\lambda_B = 3$ , et $\lambda_C = 4$ .
Calculez le barycentre $G$ des points $A$ , $B$ , $C$ , et $D$ avec des coefficients $\lambda_A = 1$ , $\lambda_B = 1$ , $\lambda_C = 1$ , et $\lambda_D = 1$ .
Comparez les coordonnées de $F$ et $G$ pour vérifier s'ils sont identiques.

Indication

▼

Appliquez la formule du barycentre pour calculer $F$ en considérant uniquement $A$ , $B$ , et $C$ .
Utilisez la formule du barycentre pour calculer $G$ en incluant également le point $D$ .
Comparez ensuite les deux résultats obtenus.

Corrigée

▼

Le barycentre $F$ des points $A$ , $B$ , et $C$ est calculé avec la formule :

$F \left( x_F, y_F \right) = \left( \frac{\lambda_A x_A + \lambda_B x_B + \lambda_C x_C}{\lambda_A + \lambda_B + \lambda_C}, \frac{\lambda_A y_A + \lambda_B y_B + \lambda_C y_C}{\lambda_A + \lambda_B + \lambda_C} \right).$

Avec $\lambda_A = 2$ , $\lambda_B = 3$ , $\lambda_C = 4$ , $x_A = 1$ , $y_A = 3$ , $x_B = -2$ , $y_B = -1$ , $x_C = 4$ , et $y_C = 2$ , on calcule :

$x_F = \frac{2 \cdot 1 + 3 \cdot (-2) + 4 \cdot 4}{2 + 3 + 4} = \frac{2 - 6 + 16}{9} = \frac{12}{9} = \frac{4}{3}.$

$y_F = \frac{2 \cdot 3 + 3 \cdot (-1) + 4 \cdot 2}{2 + 3 + 4} = \frac{6 - 3 + 8}{9} = \frac{11}{9} \approx 1,22.$

Donc, le barycentre $F$ est $\left( \frac{4}{3}, \frac{11}{9} \right)$ .
Le barycentre $G$ des points $A$ , $B$ , $C$ , et $D$ se calcule en appliquant la formule :

$G \left( x_G, y_G \right) = \left( \frac{\lambda_A x_A + \lambda_B x_B + \lambda_C x_C + \lambda_D x_D}{\lambda_A + \lambda_B + \lambda_C + \lambda_D}, \frac{\lambda_A y_A + \lambda_B y_B + \lambda_C y_C + \lambda_D y_D}{\lambda_A + \lambda_B + \lambda_C + \lambda_D} \right).$

Avec $\lambda_A = 1$ , $\lambda_B = 1$ , $\lambda_C = 1$ , $\lambda_D = 1$ , $x_A = 1$ , $y_A = 3$ , $x_B = -2$ , $y_B = -1$ , $x_C = 4$ , $y_C = 2$ , et $x_D = 0$ , $y_D = 0$ , on obtient :

$x_G = \frac{1 \cdot 1 + 1 \cdot (-2) + 1 \cdot 4 + 1 \cdot 0}{4} = \frac{1 - 2 + 4 + 0}{4} = \frac{3}{4} = 0,75.$

$y_G = \frac{1 \cdot 3 + 1 \cdot (-1) + 1 \cdot 2 + 1 \cdot 0}{4} = \frac{3 - 1 + 2 + 0}{4} = \frac{4}{4} = 1.$

Donc, le barycentre $G$ est $\left( 0,75, 1 \right)$ .
En comparant $F = \left( \frac{4}{3}, \frac{11}{9} \right)$ et $G = \left( 0,75, 1 \right)$ , on constate que les coordonnées sont différentes. Ainsi, $F$ et $G$ ne sont pas identiques.

Exercice 05 : Barycentre de points

Énoncé

On a les points $A(3, -2)$ , $B(-1, 4)$ , et $C(2, 1)$ . Répondez aux questions suivantes :

Calculez le barycentre $H$ des points $A$ , $B$ , et $C$ avec des coefficients $\lambda_A = 4$ , $\lambda_B = 3$ , et $\lambda_C = 2$ .
Si un point $D$ a pour coordonnées $(0, -1)$ et les coefficients $\lambda_D = 5$ , quel est le barycentre $I$ de $A$ , $B$ , et $D$ avec des coefficients $\lambda_A = 2$ , $\lambda_B = 1$ , et $\lambda_D = 5$ ?
Comparez les coordonnées de $H$ et $I$ .

Indication

▼

Utilisez la formule du barycentre pour calculer les coordonnées de $H$ à partir des points $A$ , $B$ , et $C$ avec leurs coefficients respectifs.
Faites de même pour calculer $I$ en remplaçant le point $C$ par le point $D$ et en utilisant les coefficients correspondants.
Comparez ensuite les résultats pour déterminer si $H$ et $I$ sont identiques.

Corrigée

▼

Le barycentre $H$ des points $A$ , $B$ , et $C$ se calcule avec :

$H \left( x_H, y_H \right) = \left( \frac{\lambda_A x_A + \lambda_B x_B + \lambda_C x_C}{\lambda_A + \lambda_B + \lambda_C}, \frac{\lambda_A y_A + \lambda_B y_B + \lambda_C y_C}{\lambda_A + \lambda_B + \lambda_C} \right).$

Avec $\lambda_A = 4$ , $\lambda_B = 3$ , $\lambda_C = 2$ , $x_A = 3$ , $y_A = -2$ , $x_B = -1$ , $y_B = 4$ , $x_C = 2$ , et $y_C = 1$ , on obtient :

$x_H = \frac{4 \cdot 3 + 3 \cdot (-1) + 2 \cdot 2}{4 + 3 + 2} = \frac{12 - 3 + 4}{9} = \frac{13}{9} \approx 1,44.$

$y_H = \frac{4 \cdot (-2) + 3 \cdot 4 + 2 \cdot 1}{4 + 3 + 2} = \frac{-8 + 12 + 2}{9} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}.$

Donc, le barycentre $H$ est $\left( \frac{13}{9}, \frac{2}{3} \right)$ .
Le barycentre $I$ des points $A$ , $B$ , et $D$ se calcule par :

$I \left( x_I, y_I \right) = \left( \frac{\lambda_A x_A + \lambda_B x_B + \lambda_D x_D}{\lambda_A + \lambda_B + \lambda_D}, \frac{\lambda_A y_A + \lambda_B y_B + \lambda_D y_D}{\lambda_A + \lambda_B + \lambda_D} \right).$

Avec $\lambda_A = 2$ , $\lambda_B = 1$ , $\lambda_D = 5$ , $x_A = 3$ , $y_A = -2$ , $x_B = -1$ , $y_B = 4$ , $x_D = 0$ , et $y_D = -1$ , on obtient :

$x_I = \frac{2 \cdot 3 + 1 \cdot (-1) + 5 \cdot 0}{2 + 1 + 5} = \frac{6 - 1 + 0}{8} = \frac{5}{8} \approx 0,625.$

$y_I = \frac{2 \cdot (-2) + 1 \cdot 4 + 5 \cdot (-1)}{2 + 1 + 5} = \frac{-4 + 4 - 5}{8} = \frac{-5}{8} \approx -0,625.$

Donc, le barycentre $I$ est $\left( \frac{5}{8}, -\frac{5}{8} \right)$ .
En comparant $H = \left( \frac{13}{9}, \frac{2}{3} \right)$ et $I = \left( \frac{5}{8}, -\frac{5}{8} \right)$ , on constate que leurs coordonnées diffèrent. Ainsi, $H$ et $I$ ne sont pas identiques.

Exercice 06 : Barycentre de points

Énoncé

On a les points $A(-3, 5)$ , $B(1, -2)$ , $C(2, 0)$ , et $D(4, 3)$ . Répondez aux questions suivantes :

Calculez le barycentre $J$ des points $A$ , $B$ , et $C$ avec des coefficients $\lambda_A = 1$ , $\lambda_B = 2$ , et $\lambda_C = 3$ .
Calculez le barycentre $K$ des points $A$ , $B$ , $C$ , et $D$ avec des coefficients $\lambda_A = 2$ , $\lambda_B = 2$ , $\lambda_C = 2$ , et $\lambda_D = 4$ .
Comparez les coordonnées de $J$ et $K$ pour vérifier s'ils sont identiques.

Indication

▼

Utilisez la formule du barycentre pour calculer $J$ en prenant en compte les points $A$ , $B$ et $C$ .
Calculez ensuite $K$ en incluant le point $D$ et en ajustant la somme des coefficients.
Comparez les deux résultats obtenus.

Corrigée

▼

Le barycentre $J$ des points $A$ , $B$ , et $C$ se calcule avec :

$J \left( x_J, y_J \right) = \left( \frac{\lambda_A x_A + \lambda_B x_B + \lambda_C x_C}{\lambda_A + \lambda_B + \lambda_C}, \frac{\lambda_A y_A + \lambda_B y_B + \lambda_C y_C}{\lambda_A + \lambda_B + \lambda_C} \right).$

Avec $\lambda_A = 1$ , $\lambda_B = 2$ , $\lambda_C = 3$ , $x_A = -3$ , $y_A = 5$ , $x_B = 1$ , $y_B = -2$ , $x_C = 2$ , et $y_C = 0$ , on calcule :

$x_J = \frac{1 \cdot (-3) + 2 \cdot 1 + 3 \cdot 2}{1+2+3} = \frac{-3 + 2 + 6}{6} = \frac{5}{6} \approx 0,83.$

$y_J = \frac{1 \cdot 5 + 2 \cdot (-2) + 3 \cdot 0}{1+2+3} = \frac{5 - 4 + 0}{6} = \frac{1}{6} \approx 0,17.$

Donc, le barycentre $J$ est $\left( \frac{5}{6}, \frac{1}{6} \right)$ .
Le barycentre $K$ des points $A$ , $B$ , $C$ , et $D$ se calcule par :

$K \left( x_K, y_K \right) = \left( \frac{\lambda_A x_A + \lambda_B x_B + \lambda_C x_C + \lambda_D x_D}{\lambda_A + \lambda_B + \lambda_C + \lambda_D}, \frac{\lambda_A y_A + \lambda_B y_B + \lambda_C y_C + \lambda_D y_D}{\lambda_A + \lambda_B + \lambda_C + \lambda_D} \right).$

Avec $\lambda_A = 2$ , $\lambda_B = 2$ , $\lambda_C = 2$ , $\lambda_D = 4$ , $x_A = -3$ , $y_A = 5$ , $x_B = 1$ , $y_B = -2$ , $x_C = 2$ , $y_C = 0$ , $x_D = 4$ , et $y_D = 3$ , on calcule :

$x_K = \frac{2 \cdot (-3) + 2 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + 4 \cdot 4}{2+2+2+4} = \frac{-6 + 2 + 4 + 16}{10} = \frac{16}{10} = 1,6.$

$y_K = \frac{2 \cdot 5 + 2 \cdot (-2) + 2 \cdot 0 + 4 \cdot 3}{2+2+2+4} = \frac{10 - 4 + 0 + 12}{10} = \frac{18}{10} = 1,8.$

Donc, le barycentre $K$ est $\left( 1,6, 1,8 \right)$ .
En comparant $J = \left( \frac{5}{6}, \frac{1}{6} \right)$ et $K = \left( 1,6, 1,8 \right)$ , on constate que leurs coordonnées sont différentes. Ainsi, $J$ et $K$ ne sont pas identiques.

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Exercice 1 : Barycentre de trois points

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