Le barycentre est un concept clé en géométrie. Il aide à trouver le "centre de masse" d'un système de points pondérés dans le plan. Le barycentre est utilisé dans divers domaines pour simplifier des problèmes complexes en un point unique.
Dans ce cours, nous allons explorer la définition mathématique du barycentre. Nous verrons ses propriétés importantes et ses applications pratiques en géométrie.
1. Définition du Barycentre
Définition :
Soit un système de points \( A_1, A_2, \ldots, A_n \) du plan, avec des coefficients (ou masses) \( m_1, m_2, \ldots, m_n \). Le barycentre de ces points, noté \( G \), est le point qui satisfait :
\[ \sum_{i=1}^{n} m_i \overrightarrow{GA_i} = \overrightarrow{0}. \]
Le barycentre est une "moyenne pondérée" des points \( A_i \) avec les coefficients \( m_i \) comme poids.
Note :
Lorsque les masses \( m_1, m_2, \ldots, m_n \) sont égales, le barycentre est le centre de gravité des points.
2. Propriétés du Barycentre
Théorème 1 : Unicité du Barycentre
Le barycentre d'un système de points pondérés est unique. Il n'y a qu'un seul point \( G \) dans le plan qui répond à la définition du barycentre pour un ensemble donné de points et de masses.
Preuve :
Supposons qu'il y ait deux points \( G_1 \) et \( G_2 \) qui soient des barycentres. Ils appartiennent à un système de points \( A_1, A_2, \ldots, A_n \) avec des masses \( m_1, m_2, \ldots, m_n \). On a alors :
\[ \sum_{i=1}^{n} m_i \overrightarrow{G_1A_i} = \overrightarrow{0} \quad \text{et} \quad \sum_{i=1}^{n} m_i \overrightarrow{G_2A_i} = \overrightarrow{0}. \]
En soustrayant ces deux équations, on obtient :
\[ \sum_{i=1}^{n} m_i \overrightarrow{G_1G_2} = \overrightarrow{0}. \]
Comme tous les \( m_i > 0 \), cela implique que \( \overrightarrow{G_1G_2} = \overrightarrow{0} \). Donc \( G_1 = G_2 \). Cela prouve l'unicité du barycentre.
Théorème 2 : Barycentre de Deux Points
Le barycentre de deux points \( A \) et \( B \) avec des masses \( m_A \) et \( m_B \) est donné par :
\[ G = \frac{m_A A + m_B B}{m_A + m_B}. \]
Preuve :
Pour deux points \( A \) et \( B \) avec des masses \( m_A \) et \( m_B \), le barycentre \( G \) doit satisfaire :
\[ m_A \overrightarrow{GA} + m_B \overrightarrow{GB} = \overrightarrow{0}. \]
En développant, on obtient :
\[ m_A (\overrightarrow{OG} - \overrightarrow{OA}) + m_B (\overrightarrow{OG} - \overrightarrow{OB}) = \overrightarrow{0}. \]
Ce qui donne :
\[ (m_A + m_B) \overrightarrow{OG} = m_A \overrightarrow{OA} + m_B \overrightarrow{OB}, \]
donc :
\[ \overrightarrow{OG} = \frac{m_A \overrightarrow{OA} + m_B \overrightarrow{OB}}{m_A + m_B}. \]
3. Applications et Utilisations du Barycentre
Le barycentre est très utilisé en géométrie et en physique. Il aide aussi dans l'économie et l'ingénierie. Voici quelques exemples :
Exemple 1 : Centre de Gravité d'un Triangle
Le barycentre d'un triangle est aussi son centre de gravité. Pour un triangle avec sommets \( A(x_1, y_1) \), \( B(x_2, y_2) \), et \( C(x_3, y_3) \), le barycentre \( G \) est :
\[ G = \left( \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3} \right). \]
Exemple 2 : Barycentre d'un Système de Masses
En physique, le barycentre d'un système de particules est crucial. Il permet de trouver le centre de masse. C'est très utile en mécanique et en analyse dynamique.
4. Exercices Pratiques
Voici des exercices pour mieux comprendre :
| Exercice | Énoncé |
|---|---|
| Exercice 1 | Trouver le barycentre des points \( A(1, 2) \), \( B(3, 4) \), et \( C(5, 6) \) avec des masses 1, 2, et 3. |
| Exercice 2 | Calculer le barycentre du triangle avec les points \( A(-1, 2) \), \( B(3, 5) \), et \( C(0, -2) \). |
| Exercice 3 | Montrer que le barycentre de deux points \( A(1, 2) \) et \( B(4, 6) \) avec des masses égales est le milieu du segment \( [AB] \). |
| Exercice 4 | Pour un système de trois points \( A, B, C \) avec des masses \( m_A = 2, m_B = 3, m_C = 5 \), déterminer la position du barycentre si les points sont colinéaires. |
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