Les ensembles de Nombres N, Z, Q, D et R Tronc commun

En mathématiques, les nombres sont classés en plusieurs ensembles, chacun ayant ses propres caractéristiques. Les ensembles de nombres que nous étudierons dans ce cours sont les nombres naturels (\( \mathbb{N} \)), les entiers relatifs (\( \mathbb{Z} \)), les rationnels (\( \mathbb{Q} \)), les décimaux (\( \mathbb{D} \)), et les réels (\( \mathbb{R} \)). Comprendre ces ensembles est essentiel pour progresser en mathématiques, car ils constituent la base de nombreuses théories et applications.

I - L'ensemble des entiers naturels \( \mathbb{N} \)

Définition

Les entiers naturels positifs forment l'ensemble des entiers naturels noté \( \mathbb{N} \) et on écrit \( \mathbb{N} = \{1, 2, 3, 4, \dots, 10, \dots \} \).

Exemple

\( 10 \in \mathbb{N} \) est un élément de l'ensemble \( \mathbb{N} \), on écrit \( 10 \in \mathbb{N} \) (se lit "10 appartient à \( \mathbb{N} \)").
\( -4 \notin \mathbb{N} \) n'est pas un élément de l'ensemble \( \mathbb{N} \), on écrit \( -4 \notin \mathbb{N} \) (se lit "-4 n'appartient pas à \( \mathbb{N} \)").

II - L'ensemble des entiers relatifs \( \mathbb{Z} \)

Définition

Tous les entiers, qu'ils soient positifs, négatifs ou nuls, sont des entiers relatifs. Notation \( \mathbb{Z} \) : \( \mathbb{Z} = \{ -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \dots \} \).

Exemple

\( -10 \in \mathbb{Z} \), \( 0 \in \mathbb{Z} \), \( 4 \in \mathbb{Z} \). Ainsi, \( \mathbb{Z} = \{ -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \dots \} \).

Remarque

Tous les entiers naturels \( \mathbb{N} \) sont des entiers relatifs \( \mathbb{Z} \). On écrit \( \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \) (se lit "N inclus dans Z").

III - L'ensemble des nombres décimaux \( \mathbb{D} \)

Définition

L'ensemble des nombres sous la forme \( \frac{a}{10^m} \), tel que \( a \in \mathbb{Z} \) et \( m \in \mathbb{N} \), forment l'ensemble des nombres décimaux noté \( \mathbb{D} \) :
\( \mathbb{D} = \left\{ \frac{a}{10^m} \middle| a \in \mathbb{Z} \text{ et } m \in \mathbb{N} \right\} \).

Exemple :

1,5 = \( \frac{15}{10^1} \in \mathbb{D} \)

-2 = \( \frac{-20}{10^1} \in \mathbb{D} \)

4 = \( \frac{400}{10^2} \in \mathbb{D} \)

Remarque

Si \( m = 0 \), alors \( \frac{a}{10^0} = a \in \mathbb{Z} \). On en déduit que \( \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \).
Montrons que \( \frac{1}{3} \notin \mathbb{D} \). On suppose que \( \frac{1}{3} = \frac{a}{10^m} \), donc il existe \( a \in \mathbb{N} \) et \( m \in \mathbb{N} \) tel que \( \frac{1}{3} = \frac{a}{10^m} \).
Cela implique que \( 1 \times 10^m = 3a \), donc \( 10^m \) est divisible par 3, ce qui est absurde, car la somme des chiffres du nombre \( 10^m \) est 1, qui n'est pas divisible par 3. Ainsi, \( \frac{1}{3} \notin \mathbb{D} \).

IV - L'ensemble des nombres rationnels \( \mathbb{Q} \)

Définition

Les nombres sous la forme \( \frac{a}{b} \) tels que \( a \in \mathbb{Z} \) et \( b \in \mathbb{N}^* \) forment l'ensemble des nombres rationnels noté \( \mathbb{Q} \) :
\( \mathbb{Q} = \left\{ \frac{a}{b} \middle| a \in \mathbb{Z}, b \in \mathbb{N}^* \right\} \).

Exemple

\[ \frac{1}{3}, \frac{2}{7}, -\frac{3}{4}, \frac{5}{2} \in \mathbb{Q}, \quad 2 \in \mathbb{Q}, \quad \frac{1}{\sqrt{2}} \notin \mathbb{Q}. \]

Remarque

\( \mathbb{D} \subset \mathbb{Q}, \quad \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \).

V - L'ensemble des nombres réels \( \mathbb{R} \)

Définition

Les nombres rationnels et les nombres irrationnels forment l'ensemble des nombres réels noté \( \mathbb{R} \).

Remarque

\( \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \).

Exemple

\( \pi \in \mathbb{R}, \quad \sqrt{2} \in \mathbb{R} \).

Diagramme de Venn :

Notations :

• \( \mathbb{R}^+ = \left\{ x \in \mathbb{R} \middle| x \geq 0 \right\} \)
• \( \mathbb{R}^{-*} = \left\{ x \in \mathbb{R} \middle| x \neq 0 \right\} \)
• \( \mathbb{R}^{+*} = \left\{ x \in \mathbb{R} \middle| x > 0 \right\} \)
• \( \mathbb{R}^- = \left\{ x \in \mathbb{R} \middle| x < 0 \right\} \)

VI. Opératios dans \( \mathbb{R} \)

1. Identités Remarquables

\( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \)

\( (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \)

\( (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 \)

\( (a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc \)

\( (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \)

\( (a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 \)

2. Développement et Simplification

\( (x+a)(x+b) = x^2 + (a+b)x + ab \)

Exemple de simplification :

\( x(x) = x^2 \)

\( x(b) = bx \)

\( ax = ax \)

\( ab = ab \)

Donc,

\( x^2 + bx + ax + ab = x^2 + (b+a)x + ab \)

VII. Les Racines Carrées

Définition

Soient \( x \) et \( y \) deux nombres réels positifs. On dit que \( y \) est la racine carrée de \( x \) si \( y^2 = x \). On écrit \( y = \sqrt{x} \).

Exemple

\( \sqrt{25} = 5 \)
\( \sqrt{10000} = 100 \)

Propriétés

Soient \( a \) et \( b \) deux nombres réels positifs.
\( \sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \)
Si \( a \geq b > 0 \), alors \( \sqrt{a^2} = a \).

VII. Les Puissances

Définition

Soit \( a \) un nombre réel et \( n \in \mathbb{N}^* \).
\( a^n = a \times a \times a \times \ldots \times a \) (n facteurs).
\( a \) : base     \( n \) : exposant

Cas particuliers:
Si \( a = 10 \):
\( 10^1 = 10 \)
\( 10^2 = 100 \)
\( 10^3 = 1000 \)
\( 10^{-1} = 0.1 \)
\( 10^{-2} = 0.01 \)

Propriétés des Puissances

Soient \( a, b \) deux nombres réels et \( n, m \) deux entiers naturels.

• \( a^n \cdot a^m = a^{n+m} \)
• \( \frac{a^n}{a^m} = a^{n-m} \)
• \( (a^n)^m = a^{n \cdot m} \)
• \( a^0 = 1 \), si \( a \neq 0 \)
• \( (ab)^n = a^n \cdot b^n \)
• \( \left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n} \), si \( b \neq 0 \)

Écriture Scientifique

L'écriture scientifique d'un nombre décimal \( d \) est : \( d = a \times 10^n \)
tel que \( 1 \leq |a| < 10 \), si \( d \neq 0 \), et \( n \in \mathbb{Z} \).

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