Définition d’un Polynôme
Activité
Considérons un parallélépipède rectangle dont les dimensions sont \(x\), \(x + 3\), et \(x + 5\) avec \(x > 0\). Soit \(V(x)\) le volume du parallélépipède.
- Montrez que \(V(x) = x^3 + 8x^2 + 15x\).
- Calculez \(V(1)\) et \(V(2)\).
- Quelles opérations avez-vous utilisées pour effectuer ces calculs ?
Vocabulaire
- L’expression \(V(x) = x^3 + 8x^2 + 15x\) est appelée polynôme de degré 3. On note \(\deg(V) = 3\).
- Les réels \(1, 8, 15, 0\) sont les coefficients du polynôme \(V(x)\).
- \(8x^2\) est un monôme de degré 2 avec un coefficient égal à 8.
- \(x^3\) est un monôme de degré 3 avec un coefficient égal à 1.
Monômes
Définitions et Exemples
Un monôme de la variable \(x\) est une expression de la forme \(ax^n\) où \(a \in \mathbb{R}\) et \(n \in \mathbb{N}\). \(a\) est appelé le coefficient et \(n\) le degré.
Exemples :
- \(4x^3\) est un monôme de degré 3 et de coefficient \(4\).
- \(-\frac{1}{2}x\) est un monôme de degré 1 et de coefficient \(-\frac{1}{2}\).
- \(-3\) est un monôme de degré 0 avec un coefficient \(-3\).
Les Polynômes et les Opérations
Opérations sur les Polynômes: Somme et Produit
1. Somme de deux polynômes : Soient \(P(x)\) et \(Q(x)\) deux polynômes. Leur somme est un polynôme noté \(P + Q\), défini par :
\[ (P + Q)(x) = P(x) + Q(x), \quad \forall x \in \mathbb{R}. \]
Remarque : Le degré du polynôme résultant vérifie :
\[ \deg(P + Q) \leq \max(\deg(P), \deg(Q)). \]
2. Produit d’un polynôme par un scalaire : Soit \(\alpha \in \mathbb{R}\) et \(P(x)\) un polynôme. Le produit est noté \(\alpha P(x)\), défini par :
\[ (\alpha P)(x) = \alpha \cdot P(x). \]
3. Produit de deux polynômes : Soient \(P(x)\) et \(Q(x)\) deux polynômes. Leur produit est défini par :
\[ (PQ)(x) = P(x) \cdot Q(x). \]
Remarque : Le degré du produit est donné par :
\[ \deg(PQ) = \deg(P) + \deg(Q). \]
Exemple d’Application
Exemple
Énoncé : Soient \(P(x) = 2x^2 + 3x - 1\) et \(Q(x) = x^3 - 2x + 4\).
- Calculez \(P(x) + Q(x)\).
- Calculez \(P(x) \cdot Q(x)\) et vérifiez que \(\deg(PQ) = \deg(P) + \deg(Q)\).
Solution :
- \(P(x) + Q(x) = (2x^2 + 3x - 1) + (x^3 - 2x + 4) = x^3 + 2x^2 + x + 3.\)
- \(P(x) \cdot Q(x) = (2x^2 + 3x - 1)(x^3 - 2x + 4).\) Après développement et regroupement, on obtient un polynôme de degré 5 : \[ P(x) \cdot Q(x) = 2x^5 + 3x^4 - 2x^3 - 6x^2 + 14x - 4. \] \(\deg(PQ) = 5 = 2 + 3.\)
La Division et la Factorisation des Polynômes
Propriété de Division Euclidienne
Soient \(P(x)\) un polynôme de degré \(n \geq 1\) et \(x - a\) un polynôme de degré 1. Il existe un unique polynôme \(Q(x)\) (le quotient) de degré \(n-1\) et un réel \(r\) (le reste) tels que :
\[ P(x) = (x - a)Q(x) + r. \]
Remarque : Si \(r = 0\), alors \(P(x)\) est divisible par \(x - a\).
Exemple de Division Euclidienne
Énoncé : Divisez \(P(x) = x^3 + 2x^2 - 5x - 6\) par \(x + 2\).
Solution :
On utilise la division euclidienne :
\[ P(x) = (x + 2)(x^2 + 0x - 3) + 0. \]
Ainsi, \(Q(x) = x^2 - 3\) et \(r = 0\). Cela montre que \(P(x)\) est divisible par \(x + 2\).
Racines d’un Polynôme
Un réel \(a\) est une racine du polynôme \(P(x)\) si et seulement si :
\[ P(a) = 0. \]
Propriété : Si \(a\) est une racine de \(P(x)\), alors \(P(x)\) est divisible par \(x - a\).
Exemple d’Application
Énoncé : Soit \(P(x) = x^3 - 3x^2 - 4x + 12\). Trouvez les racines de \(P(x)\) et factorisez-le.
Solution :
- Vérification des racines possibles : \(P(2) = 0\), donc \(2\) est une racine.
- Division de \(P(x)\) par \(x - 2\) donne :
- Factorisation du trinôme \(x^2 - x - 6\) :
- Ainsi, \(P(x) = (x - 2)(x - 3)(x + 2).\)
\[ P(x) = (x - 2)(x^2 - x - 6). \]
\[ x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2). \]
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