Les Polynômes - Tronc Commun

I. Définition D'un polynôme

Définition

On appelle polynôme de degré n, et le nommer \( P(n) \), une expression littérale en de la forme :

\( P(n) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_1 x + a_0 \)

avec \( a_i \) des nombres réels appelés Coefficients du polynôme.

Exemple

Soit un polynôme :

\( P(n) = 3x^2 + 2x + 4 \) (degré de \( P \) est 2).

Alors :

\( P(0) = 4 \) \( P(1) = 3(1)^2 + 2(1) + 4 = 9 \)

Et :

\( P(n) \) n'est pas un polynôme Car \( n \) doit être un entier non négatif.

Exemples de polynômes :

\( P(1) = 1 \) (degré de \( P \) est 0). \( P(2) = 4 \) (degré de \( P \) est 0). \( P(3) = 3x^2 + 2x + 1 \) (degré de \( P \) est 2).

II. Égalité de deux polynômes

Propriété

Soit \( P \) et \( Q \) deux polynômes :

\( P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_0 \) \( Q(x) = b_m x^m + b_{m-1} x^{m-1} + \ldots + b_0 \)

Alors :

\( P \equiv Q \; \text{si seulement} \; d^p = d^q \)

Avec :

\( a_n = b_n, \; a_{n-1} = b_{n-1}, \ldots, a_0 = b_0 \)

Application

Soit \( P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \) et \( Q(x) = -3x^3 + n^2 + 7 \).

Déterminer \( a, b, c, d \) sachant \( P \equiv Q \).

\( a = -3, \; b = 1 + 2, \; c = -4, \; d = 7 \)

III. Opérations sur les polynômes

Propriété

\( d^0 (P + Q) = \max(d^0 P, d^0 Q) \) \( d^0 (P \cdot Q) \leq \max(d^0 P, d^0 Q) \) \( d^0 (P \cdot Q) = d^0 P + d^0 Q \)

IV. Racine d'un polynôme et factorisation d'un polynôme

Définition

On dit qu'une valeur \( r \) est une racine du polynôme \( P(x) \) si \( P(r) = 0 \).

Propriété

r est Un racine d’un polynôme \( P \) est seulement si \( P(x) \) est divisible par \( (x - r) \).

P(x) = (x - r)Q(x)

où \( Q(x) \) est un polynôme.

Application

Montrons que \( P(x) = x^2 + 6x + 9 \) est divisible par \( (x + 3) \).

\( P(-3) = (-3)^2 + 6(-3) + 9 = 0\)

Donc, \( D = P(-3) = 0 \).

Montrons que \( P(x) = x^2 - 2x - 8 \) est divisible par \( (x - 2) \).

\(P(2) = (2)^2 - 2(2) - 8 = 0\)

Donc, \( D = P(2) = 0 \).

Nous avons prouvé que :

P(x) \(\text{ est divisible par } (x + 3) \text{ et } (x - 2)\)

Un polynôme est une expression algébrique composée de termes où chaque terme est le produit d'une constante et d'une variable élevée à une puissance entière non négative. Les polynômes sont largement utilisés en mathématiques pour modéliser des relations linéaires et non linéaires.

Exemples et Exercices

Exemple 1 : Addition de Polynômes

Soient \( P(x) = 2x^3 + x^2 - 3x + 5 \) et \( Q(x) = x^3 - 2x^2 + 4x - 1 \), calculons \( P(x) + Q(x) \).

Solution :

\[ P(x) + Q(x) = (2x^3 + x^3) + (x^2 - 2x^2) + (-3x + 4x) + (5 - 1) = 3x^3 - x^2 + x + 4 \]

Exemple 2 : Multiplication de Polynômes

Multiplions \( P(x) = x + 2 \) par \( Q(x) = x^2 - x + 3 \).

Solution :

\[ P(x) \times Q(x) = (x + 2)(x^2 - x + 3) = x^3 - x^2 + 3x + 2x^2 - 2x + 6 = x^3 + x^2 + x + 6 \]

Exercice 1 : Factorisation

Factorisez les polynômes suivants :

• \( P(x) = x^2 - 9 \)
• \( Q(x) = x^2 + 4x + 4 \)

Exercice 2 : Résolution d'Équations Polynômiales

Trouvez les racines des polynômes suivants :

• \( P(x) = x^2 - 4x + 3 \)
• \( Q(x) = 2x^2 - 8x + 6 \)

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