Les Suites Numériques 1 Bac Cours

Les suites numériques sont des ensembles ordonnés de nombres réels qui suivent une certaine règle ou logique pour générer leurs termes successifs. Elles jouent un rôle crucial en mathématiques, en particulier dans l'étude des limites, de la convergence, et dans de nombreux domaines de l'analyse mathématique et de l'algèbre. Cet article vise à approfondir la compréhension des suites numériques en abordant les concepts fondamentaux, les propriétés importantes et les théorèmes clés associés aux suites arithmétiques et géométriques, ainsi que d'autres types de suites.

1. Généralités sur les suites numériques

On appelle suite numérique toute fonction \( U \) de \( \mathbb{N} \) (ou une partie de \( \mathbb{N} \)) à valeurs dans \( \mathbb{R} \).

• L'image d'un entier \( n \) de \( \mathbb{N} \) par la suite \( U \) est notée \( U_n \).
• Le nombre \( U_n \) s'appelle le terme général de la suite \( U \).
• La suite \( U \) sera notée \( (U_n)_{n \in I} \) ou simplement \( U \).

Une suite \( (U_n) \) peut être définie :

• Par une formulation explicite de son terme général \( U_n \).
• Par son premier terme(s) et une relation de récurrence.

2. Suite Majorée - Minorée - Bornée

Soit \( (U_n)_{n \in I} \) une suite numérique.

• \( (U_n) \) est majorée si \( \exists M \in \mathbb{R} \), tel que \( \forall n \in I, U_n \leq M \).
• \( (U_n) \) est minorée si \( \exists m \in \mathbb{R} \), tel que \( \forall n \in I, U_n \geq m \).
• \( (U_n) \) est bornée si \( \exists k \in \mathbb{R}^+ \), tel que \( \forall n \in I, |U_n| \leq k \).
• Une suite est bornée si elle est à la fois majorée et minorée.

3. Monotonie d'une suite numérique

On dit qu'une suite \( (U_n)_{n \in I} \) est :

• Croissante si \( \forall (n, m) \in I^2, n \leq m \Rightarrow U_n \leq U_m \).
• Décroissante si \( \forall (n, m) \in I^2, n \leq m \Rightarrow U_n \geq U_m \).
• Constante si \( \forall n \in I, U_{n+1} = U_n \).

Si la suite \( (U_n) \) est croissante alors :

• \( \forall n \in I, U_n \geq U_0 \).

Si la suite \( (U_n) \) est décroissante alors :

• \( \forall n \in I, U_n \leq U_0 \).

4. Suite Arithmétique

On dit qu'une suite \( (U_n)_{n \in I} \) est arithmétique s'il existe un réel \( r \) (indépendant de \( n \)) tel que :

• \( \forall n \in I, U_{n+1} - U_n = r \) (où \( r \) est appelé la raison de la suite).

Pour qu'une suite \( (U_n) \) soit arithmétique, il faut et il suffit que :

• \( \forall (n, p) \in I^2, U_n = U_p + (n - p)r \).
• \( U_n = U_0 + nr \).

Somme des termes consécutifs :

On pose \( S_n = U_p + U_{p+1} + \cdots + U_n \) où \( n \geq p \).

Alors : \( S_n = \frac{(n - p + 1)}{2} (U_p + U_n) \).

Formule de la somme : \( S_n = \frac{(\text{Nombre de termes}) \times (\text{Premier terme} + \text{Dernier terme})}{2} \).

5. Suite Géométrique

On dit qu'une suite \( (U_n)_{n \in I} \) est géométrique s'il existe un réel \( q \) (indépendant de \( n \)) tel que :

• \( \forall n \in I, U_{n+1} = q U_n \) (où \( q \) est appelé la raison de la suite).

Pour qu'une suite \( (U_n) \) soit géométrique, il faut et il suffit que :

• \( U_n = U_p \times q^{n - p} \).
• \( U_n = U_0 \times q^n \).

Somme des termes consécutifs :

On pose \( S_n = U_p + U_{p+1} + \cdots + U_n \) où \( n \geq p \).

Alors : \( S_n = U_p \times \frac{1 - q^{n - p + 1}}{1 - q} \) (pour \( q \neq 1 \)).

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