Les Suites Numériques: Cours pour 2 Bac

Les suites numériques sont des ensembles ordonnés de nombres réels indexés par les entiers naturels. Elles sont fondamentales en mathématiques et apparaissent dans diverses applications scientifiques, économiques et techniques. Ce cours couvre les définitions, propriétés, et méthodes d'analyse des suites numériques.

Suite Majorée - Suite Minorée - Suite Bornée

Soit \( (u_n)_{n \in I} \) une suite numérique.

• 1) \( (u_n)_{n \in I} \) est majorée par \( M \iff (\forall n \in I) : u_n \leq M \).
• 2) \( (u_n)_{n \in I} \) est minorée par \( m \iff (\forall n \in I) : u_n \geq m \).
• 3) \( (u_n)_{n \in I} \) est bornée \( \iff (u_n)_{n \in I} \) est minorée et majorée \( \iff (\forall n \in I) : m \leq u_n \leq M \).

La Monotonie d'une suite numérique

Règle 1

Soit \( (u_n)_{n \in I} \) une suite numérique.

1) \( (u_n)_{n \in I} \) est croissante \( \iff (\forall n \in I) : u_{n+1} \geq u_n \).

2) \( (u_n)_{n \in I} \) est décroissante \( \iff (\forall n \in I) : u_{n+1} \leq u_n \).

3) \( (u_n)_{n \in I} \) est strict-croissante \( \iff (\forall n \in I) : u_{n+1} > u_n \).

4) \( (u_n)_{n \in I} \) est strict-décroissante \( \iff (\forall n \in I) : u_{n+1} < u_n \).

Règle 2

Soit \( (u_n)_{n \in I} \) une suite numérique.

1) \( (u_n)_{n \in I} \) est croissante \( \iff (\forall n \in I) : \frac{u_{n+1}}{u_n} \geq 1 \) et \( (\forall n \in I) : u_n > 0 \).

2) \( (u_n)_{n \in I} \) est décroissante \( \iff (\forall n \in I) : \frac{u_{n+1}}{u_n} \leq 1 \) et \( (\forall n \in I) : u_n > 0 \).

3) \( (u_n)_{n \in I} \) est croissante \( \iff (\forall n \in I) : \frac{u_{n+1}}{u_n} \leq 1 \) et \( (\forall n \in I) : u_n < 0 \).

4) \( (u_n)_{n \in I} \) est décroissante \( \iff (\forall n \in I) : \frac{u_{n+1}}{u_n} \geq 1 \) et \( (\forall n \in I) : u_n < 0 \).

Remarque

Soit \( (u_n)_{n \in I} \) une suite numérique dont le premier terme est \( u_p \).

1) Si \( (u_n)_{n \in I} \) est croissante alors \( (\forall n \in I) : u_n \geq u_p \).

2) Si \( (u_n)_{n \in I} \) est décroissante alors \( (\forall n \in I) : u_n \leq u_p \).

Suite Arithmétique - Suite Géométrique

Suite Arithmétique

Définition

\( u_{n+1} - u_n = r \) ( \( r \) est la raison)

1) \( (\forall n \geq p) : v_n = v_p + (n - p) \cdot r \)

2) \( (\forall n \in \mathbb{N^*}) : v_n = v_1 + (n - 1) \cdot r \)

3) \( (\forall n \in \mathbb{N}) : v_n = v_0 + n \cdot r \)

Sommes des termes consécutifs

\( v_p + v_{p+1} + \dots + v_n = (n - p + 1) \times \frac{v_p + v_n}{2} \)

• \( n - p + 1 \) : nombre des termes.
• \( v_p \) : le premier terme.
• \( v_n \) : le dernier terme.

Suite Géométrique

Définition

\( v_{n+1} = q \cdot v_n \) ( \( q \) est la raison)

1) \( (\forall n \geq p) : v_n = v_p \cdot q^{n - p} \)

2) \( (\forall n \in \mathbb{N^*}) : v_n = v_1 \cdot q^{n - 1} \)

3) \( (\forall n \in \mathbb{N}) : v_n = v_0 \cdot q^n \)

Sommes des termes consécutifs

\( v_p + v_{p+1} + \dots + v_n = v_p \times \frac{1 - q^{n - p + 1}}{1 - q} \quad (q \neq 1) \)

• \( n - p + 1 \) : nombre des termes.
• \( v_p \) : le premier terme.

Limite d'une suite numérique

Règle 1

Soit \( n \in \mathbb{N^*} \) et \( p \in \mathbb{N} \) tel que \( k \in \mathbb{R} \) alors :

1) \( \lim_{x \to +\infty} n^p = +\infty \) et \( \lim_{x \to +\infty} \sqrt{n} = +\infty \).

2) \( \lim_{x \to +\infty} \frac{k}{n^p} = 0 \) et \( \lim_{x \to +\infty} \frac{k}{\sqrt{n}} = 0 \).

Règle 2 : Limite de la suite \( q^n \)

1) Si \( q > 1 \) alors \( \lim_{n \to +\infty} q^n = +\infty \).

2) Si \( q = 1 \) alors \( \lim_{n \to +\infty} q^n = 1 \).

3) Si \( -1 < q < 1 \) alors \( \lim_{n \to +\infty} q^n = 0 \).

4) Si \( q \leq -1 \) alors \( \lim_{n \to +\infty} q^n \) n'existe pas.

La Convergence d'une Suite Numérique

Proposition

1) Toute suite croissante et majorée est convergente.

2) Toute suite décroissante et minorée est convergente.

Critères de Convergence

• 1) Si \( u_n \geq v_n \) et \( \lim_{x \to +\infty} v_n = +\infty \), alors \( \lim_{x \to +\infty} u_n = +\infty \).
• 2) Si \( u_n \leq v_n \) et \( \lim_{x \to +\infty} v_n = -\infty \), alors \( \lim_{x \to +\infty} u_n = -\infty \).
• 3) Si \( |u_n - l| \leq v_n \) et \( \lim_{x \to +\infty} v_n = 0 \), alors \( \lim_{x \to +\infty} u_n = l \) ; \( l \in \mathbb{R} \).
• 4) Si \( v_n \leq u_n \leq w_n \) et \( \lim_{x \to +\infty} v_n = \lim_{x \to +\infty} w_n = l \), alors \( \lim_{x \to +\infty} u_n = l \) ; \( l \in \mathbb{R} \).

Limite de la Suite \( v_n = f(u_n) \)

Règle

Soit \( (u_n) \) et \( (v_n) \) deux suites numériques telles que \( v_n = f(u_n) \) et \( l \in \mathbb{R} \). Alors :

Si \( \lim_{x \to +\infty} u_n = l \) et \( f \) est continue en \( l \), alors \( \lim_{x \to +\infty} v_n = f(l) \).

Limite de la Suite \( u_{n+1} = f(u_n) \)

Règle

Soit \( (u_n) \) une suite numérique définie par :

\( u_0 \in I \) et \( (\forall n \in \mathbb{N}) : u_{n+1} = f(u_n) \)

Si :

\( f \) est continue sur l'intervalle \( I \).

\( f(I) \subseteq I \).

\( (u_n) \) est convergente.

Alors : la limite de la suite \( (u_n) \) est une solution de l'équation \( f(x) = x \) dans l'intervalle \( I \).

La Monotonie de la suite \( u_{n+1} = f(u_n) \)

Proposition

1) Si \( \forall x \in I; \, f(x) \geq x \) et \( \forall n \in \mathbb{N}; \, u_n \in I \)

Alors \( \forall n \in \mathbb{N}; \, u_{n+1} \geq u_n \)

Alors \( (u_n) \) est croissante

2) Si \( \forall x \in I; \, f(x) \leq x \) et \( \forall n \in \mathbb{N}; \, u_n \in I \)

Alors \( \forall n \in \mathbb{N}; \, u_{n+1} \leq u_n \)

Alors \( (u_n) \) est décroissante

Principe de récurrence (rappel)

Règle

Pour montrer par récurrence que la proposition \( \forall n \geq n_0; \, P(n) \) est vraie :

On procède en deux étapes puis on conclut.

1. Initialisation : On vérifie que \( P(n_0) \) est vraie.
2. Hérédité : Soit \( n \geq n_0 \). On suppose que \( P(n) \) est vraie puis on montre que \( P(n+1) \) est vraie.
3. Conclusion : D'après le principe de récurrence, on a \( \forall n \geq n_0; \, P(n) \) est vraie.

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