Cours Limites et Continuité 2 Bac

Rappels

Théorème

La limite d’une fonction polynôme, quand la variable tend vers \(+\infty\) ou vers \(-\infty\), est la même que celle de son monôme de plus haut degré :

\[ P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0 \quad \text{ou} \quad a_n \neq 0 \] \[ \lim_{x \to +\infty} P(x) = \lim_{x \to -\infty} a_n x^n \]

La limite d’une fonction rationnelle, quand la variable tend vers \(+\infty\) ou vers \(-\infty\), est la même que celle du quotient des monômes de plus haut degré :

\[ R(x) = \frac{a_n x^n + \dots + a_1 x + a_0}{b_p x^p + \dots + b_1 x + b_0} \quad \text{ou} \quad a_n, b_p \neq 0 \] \[ \lim_{x \to +\infty} R(x) = \lim_{x \to -\infty} \frac{a_n x^n}{b_p x^p} \]

Continuité en un point

On suppose que \( f \) est une fonction définie sur un intervalle ouvert \( I \).

1. On dit que \( f \) est continue en \( x_0 \) de \( I \) si et seulement si \[ \lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0) \]
2. On dit que \( f \) est continue à droite en \( x_0 \) si et seulement si \[ \lim_{x \to x_0^+} f(x) = f(x_0) \]
3. On dit que \( f \) est continue à gauche en \( x_0 \) si et seulement si \[ \lim_{x \to x_0^-} f(x) = f(x_0) \]
4. On dit que \( f \) est continue en \( x_0 \) si elle est continue à gauche et à droite en \( x_0 \).

Continuité sur un intervalle

On suppose que \( f \) est une fonction définie sur un intervalle ouvert \( I \).

1. On dit que \( f \) est continue sur \( I \) si elle est continue en tous ses points.
2. On dit que la fonction \( f \) est continue sur l’intervalle fermé \([a, b]\) si elle est continue sur l’ouvert \([a, b[\), continue à droite en \( a \) et à gauche en \( b \).
3. Si \( f \) et \( g \) sont continues sur le même intervalle \( I \), alors les fonctions \( f + g \), \( f - g \) et \( f \cdot g \) sont continues sur \( I \).
4. Si \( f \) et \( g \) sont continues sur le même intervalle \( I \) et si en plus \( g \) ne s’annule pas sur \( I \), alors les fonctions \( \frac{1}{g} \) et \( \frac{f}{g} \) sont continues sur \( I \).
5. Si \( f \) est continue et positive sur un intervalle \( I \), alors \( \sqrt{f} \) est continue sur \( I \).

Limite et continuité d'une fonction composée

Soient \( f \) et \( g \) deux fonctions définies respectivement sur \( I \) et \( J \) telles que pour tout \( x \in I \), on a \( f(x) \in J \). La fonction qui à tout réel \( x \) associe le réel \( g(f(x)) \) est appelée la composée de \( f \) par \( g \). On lit : \( g \circ f \).

Soit \( x_0 \) un élément de \( I \). Si \( f \) est continue en \( x_0 \) et si \( g \) est continue en \( f(x_0) \), alors \( g \circ f \) est continue en \( x_0 \).

Si \(\lim_{x \to x_0} f(x) = l\) et \(\lim_{x \to l} g(x) = l'\), alors \[ \lim_{x \to x_0} (g \circ f)(x) = l' \]

(\( x_0, l, l' \) peuvent être finis ou infinis)

Limites et ordre

Soit \( f \), \( g \) et \( h \) trois fonctions définies sur un intervalle ouvert \( I \), sauf peut-être en un réel \( x_0 \) et un réel \( l \).

1. Cas de limite simple

On suppose que \(\lim_{x \to x_0} f(x) = l\).

Si \( f(x) \geq 0 \) pour tout \( x \in I \), distinct de \( x_0 \), alors \( l \geq 0 \).

Si \( f(x) \leq 0 \) pour tout \( x \in I \), distinct de \( x_0 \), alors \( l \leq 0 \).

2. Théorème de comparaison

Si \( \forall x \in I \setminus \{x_0\} \), on a \( f(x) \geq g(x) \) et \(\lim_{x \to x_0} g(x) = +\infty\), alors \[ \lim_{x \to x_0} f(x) = +\infty \]

Si \( \forall x \in I \setminus \{x_0\} \), on a \( f(x) \leq g(x) \) et \(\lim_{x \to x_0} g(x) = -\infty\), alors \[ \lim_{x \to x_0} f(x) = -\infty \]

3. Théorème des Gendarmes

Si \( \forall x \in I \setminus \{x_0\} \), on a : \[ g(x) \leq f(x) \leq h(x) \] et si \[ \lim_{x \to x_0} g(x) = \lim_{x \to x_0} h(x) = l \] alors \[ \lim_{x \to x_0} f(x) = l \]

Le résultat du théorème reste vrai lorsque \( x \) tend vers \( x_0^+ \), \( x_0^- \), \( +\infty \) ou \( -\infty \).

Théorème des valeurs intermédiaires

Soit \( f \) une fonction définie et continue sur un intervalle \( I \). Soit \( a \) et \( b \) deux réels de \( I \) tels que \( a < b \). Pour tout réel \( k \) compris entre \( f(a) \) et \( f(b) \), l'équation \( f(x) = k \) possède au moins une solution dans l'intervalle \([a, b]\).

Corollaire

Soit \( f \) une fonction définie et continue et strictement monotone (strictement croissante ou bien strictement décroissante) sur un intervalle \([a, b]\) alors :

\(\forall k \in f([a, b])\), il existe un unique réel \( c \in [a, b] \) tel que \( f(c) = k \).

Si \( f(a) \cdot f(b) < 0 \), il existe un unique réel \( c \in [a, b] \) tel que \( f(c) = 0 \).

Images d'intervalles par une fonction strictement monotone

Dans ce qui suit, \( a \) et \( b \) sont deux réels et \( f \) une fonction définie sur l'intervalle \( I \).

\( f(I) \)	\( f \) est strictement croissante sur \( I \)	\( f \) est strictement décroissante sur \( I \)
\( f([a, b]) \)	\( f([a, b]) = [f(a), f(b)] \)	\( f([a, b]) = [f(b), f(a)] \)
\( f([a, b]) \)	\( f([a, b]) = [f(a), f(b)] \)	\( f([a, b]) = [f(b), f(a)] \)
\( f(a, b] \)	\( f(a, b] = ]f(a), f(b)] \)	\( f(a, b] = ]f(b), f(a)] \)
\( f([a, b[) \)	\( f([a, b[) = [f(a), f(b)[ \)	\( f([a, b[) = [f(b), f(a)[ \)
\( f(]a, b[) \)	\( f(]a, b[) = ]f(a), f(b)[ \)	\( f(]a, b[) = ]f(b), f(a)[ \)
\( f([a, +\infty[) \)	\( f([a, +\infty[) = [f(a), \lim_{x \to +\infty} f(x)[ \)	\( f([a, +\infty[) = [\lim_{x \to +\infty} f(x), f(a)[ \)
\( f(]a, +\infty[) \)	\( f(]a, +\infty[) = ]f(a), \lim_{x \to +\infty} f(x)[ \)	\( f(]a, +\infty[) = ]\lim_{x \to +\infty} f(x), f(a)[ \)
\( f(]-\infty, b]) \)	\( f(]-\infty, b]) = [\lim_{x \to -\infty} f(x), f(b)] \)	\( f(]-\infty, b]) = [f(b), \lim_{x \to -\infty} f(x)] \)
\( f(]-\infty, b[) \)	\( f(]-\infty, b[) = [\lim_{x \to -\infty} f(x), f(b)[ \)	\( f(]-\infty, b[) = [f(b), \lim_{x \to -\infty} f(x)[ \)
\( f(\mathbb{R}) \)	\( f(\mathbb{R}) = [\lim_{x \to -\infty} f(x), \lim_{x \to +\infty} f(x)] \)	\( f(\mathbb{R}) = [\lim_{x \to +\infty} f(x), \lim_{x \to -\infty} f(x)] \)

Remarque

L'image d'un intervalle par une fonction strictement monotone est un intervalle de même nature.

Fonction réciproque d'une fonction continue et strictement monotone

Définition

Soit \( f \) une fonction définie sur un intervalle \( I \) de \( \mathbb{R} \). On dit que \( f \) réalise une bijection de \( I \) sur \( J = f(I) \) si pour tout réel \( y \) de \( J \), l'équation \( f(x) = y \) admet une unique solution dans \( I \).

Théorème

Si \( f \) est une fonction strictement monotone sur un intervalle \( I \), alors \( f \) réalise une bijection de \( I \) sur \( f(I) = J \).

Définition

Soit \( f \) une bijection d'un intervalle \( I \) sur \( f(I) = J \). On appelle fonction réciproque de \( f \) et on note \( f^{-1} \) la fonction définie sur \( J \) qui à tout réel \( y \) de \( J \) associe l'unique solution dans \( I \) de l'équation \( f(x) = y \).

Conséquence

Soit \( f \) une bijection d'un intervalle \( I \) sur \( f(I) = J \) et \( f^{-1} \) sa fonction réciproque. Pour tout \( x \) de \( I \) et tout \( y \) de \( f(I) \),

• \( f(x) = y \) si et seulement si \( f^{-1}(y) = x \)
• \( f^{-1} \circ f(x) = x \) pour tout \( x \) de \( I \) et \( f \circ f^{-1}(y) = y \) pour tout \( y \) de \( f(I) = J \)

Théorème

Si \( f \) est une fonction strictement monotone sur un intervalle \( I \), alors on a :

La fonction réciproque \( f^{-1} \), de \( f \), est strictement monotone sur \( f(I) = J \) et plus précisément elle a le même sens de variation que \( f \).

Si \( f \) est continue sur \( I \) alors \( f^{-1} \) est continue sur \( J = f(I) \).

Les courbes \( C_f \) et \( C_{f^{-1}} \), dans un repère orthonormé du plan, sont symétriques par rapport à la première bissectrice \( \Delta : y = x \).

Limites et comportement asymptotique

Branches paraboliques d'une courbe de direction \( (O, \vec{i}) \)

✿ Si \( \lim_{x \to \pm \infty} f(x) = \pm \infty \) et \( \lim_{x \to \pm \infty} \frac{f(x)}{x} = 0 \) alors la courbe \( (C_f) \) admet en \( \pm \infty \) une branche parabolique de direction celle de l'axe des abscisses. \( (O, \vec{i}) \).

Branches paraboliques d'une courbe de direction \( (O, \vec{j}) \)

✿ Si \( \lim_{x \to \pm \infty} f(x) = \pm \infty \) et \( \lim_{x \to \pm \infty} \frac{f(x)}{x} = \pm \infty \) alors la courbe \( (C_f) \) admet en \( \pm \infty \) une branche parabolique de direction celle de l'axe des ordonnées. \( (O, \vec{j}) \).

Asymptotes parallèles aux axes du repère

✿ On dit que la droite \( \Delta : x = a \) est une asymptote à la courbe \( (C_f) \) dans l’un des cas suivants :

• \( \lim_{x \to a^+} f(x) = \pm \infty \) ou \( \lim_{x \to a^-} f(x) = \pm \infty \)

✿ On dit que la droite \( \Delta : y = b \) est une asymptote à la courbe \( (C_f) \) lorsque : \( \lim_{x \to \pm \infty} f(x) = b \).

Exercices corrigés sur Limites et Continuité 2 Bac