Rappels
Théorème
La limite d’une fonction polynôme, quand la variable tend vers \(+\infty\) ou vers \(-\infty\), est la même que celle de son monôme de plus haut degré :
\[ P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0 \quad \text{ou} \quad a_n \neq 0 \] \[ \lim_{x \to +\infty} P(x) = \lim_{x \to -\infty} a_n x^n \]
La limite d’une fonction rationnelle, quand la variable tend vers \(+\infty\) ou vers \(-\infty\), est la même que celle du quotient des monômes de plus haut degré :
\[ R(x) = \frac{a_n x^n + \dots + a_1 x + a_0}{b_p x^p + \dots + b_1 x + b_0} \quad \text{ou} \quad a_n, b_p \neq 0 \] \[ \lim_{x \to +\infty} R(x) = \lim_{x \to -\infty} \frac{a_n x^n}{b_p x^p} \]
Continuité en un point
On suppose que \( f \) est une fonction définie sur un intervalle ouvert \( I \).
- On dit que \( f \) est continue en \( x_0 \) de \( I \) si et seulement si \[ \lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0) \]
- On dit que \( f \) est continue à droite en \( x_0 \) si et seulement si \[ \lim_{x \to x_0^+} f(x) = f(x_0) \]
- On dit que \( f \) est continue à gauche en \( x_0 \) si et seulement si \[ \lim_{x \to x_0^-} f(x) = f(x_0) \]
- On dit que \( f \) est continue en \( x_0 \) si elle est continue à gauche et à droite en \( x_0 \).
Continuité sur un intervalle
On suppose que \( f \) est une fonction définie sur un intervalle ouvert \( I \).
- On dit que \( f \) est continue sur \( I \) si elle est continue en tous ses points.
- On dit que la fonction \( f \) est continue sur l’intervalle fermé \([a, b]\) si elle est continue sur l’ouvert \([a, b[\), continue à droite en \( a \) et à gauche en \( b \).
- Si \( f \) et \( g \) sont continues sur le même intervalle \( I \), alors les fonctions \( f + g \), \( f - g \) et \( f \cdot g \) sont continues sur \( I \).
- Si \( f \) et \( g \) sont continues sur le même intervalle \( I \) et si en plus \( g \) ne s’annule pas sur \( I \), alors les fonctions \( \frac{1}{g} \) et \( \frac{f}{g} \) sont continues sur \( I \).
- Si \( f \) est continue et positive sur un intervalle \( I \), alors \( \sqrt{f} \) est continue sur \( I \).
Limite et continuité d'une fonction composée
Soient \( f \) et \( g \) deux fonctions définies respectivement sur \( I \) et \( J \) telles que pour tout \( x \in I \), on a \( f(x) \in J \). La fonction qui à tout réel \( x \) associe le réel \( g(f(x)) \) est appelée la composée de \( f \) par \( g \). On lit : \( g \circ f \).
Soit \( x_0 \) un élément de \( I \). Si \( f \) est continue en \( x_0 \) et si \( g \) est continue en \( f(x_0) \), alors \( g \circ f \) est continue en \( x_0 \).
Si \(\lim_{x \to x_0} f(x) = l\) et \(\lim_{x \to l} g(x) = l'\), alors \[ \lim_{x \to x_0} (g \circ f)(x) = l' \]
(\( x_0, l, l' \) peuvent être finis ou infinis)
Limites et ordre
Soit \( f \), \( g \) et \( h \) trois fonctions définies sur un intervalle ouvert \( I \), sauf peut-être en un réel \( x_0 \) et un réel \( l \).
1. Cas de limite simple
On suppose que \(\lim_{x \to x_0} f(x) = l\).
2. Théorème de comparaison
Si \( \forall x \in I \setminus \{x_0\} \), on a \( f(x) \geq g(x) \) et \(\lim_{x \to x_0} g(x) = +\infty\), alors \[ \lim_{x \to x_0} f(x) = +\infty \]
Si \( \forall x \in I \setminus \{x_0\} \), on a \( f(x) \leq g(x) \) et \(\lim_{x \to x_0} g(x) = -\infty\), alors \[ \lim_{x \to x_0} f(x) = -\infty \]
3. Théorème des Gendarmes
Si \( \forall x \in I \setminus \{x_0\} \), on a : \[ g(x) \leq f(x) \leq h(x) \] et si \[ \lim_{x \to x_0} g(x) = \lim_{x \to x_0} h(x) = l \] alors \[ \lim_{x \to x_0} f(x) = l \]
Le résultat du théorème reste vrai lorsque \( x \) tend vers \( x_0^+ \), \( x_0^- \), \( +\infty \) ou \( -\infty \).
Théorème des valeurs intermédiaires
Soit \( f \) une fonction définie et continue sur un intervalle \( I \). Soit \( a \) et \( b \) deux réels de \( I \) tels que \( a < b \). Pour tout réel \( k \) compris entre \( f(a) \) et \( f(b) \), l'équation \( f(x) = k \) possède au moins une solution dans l'intervalle \([a, b]\).
Corollaire
Soit \( f \) une fonction définie et continue et strictement monotone (strictement croissante ou bien strictement décroissante) sur un intervalle \([a, b]\) alors :
Images d'intervalles par une fonction strictement monotone
Dans ce qui suit, \( a \) et \( b \) sont deux réels et \( f \) une fonction définie sur l'intervalle \( I \).
| \( f(I) \) | \( f \) est strictement croissante sur \( I \) | \( f \) est strictement décroissante sur \( I \) |
|---|---|---|
| \( f([a, b]) \) | \( f([a, b]) = [f(a), f(b)] \) | \( f([a, b]) = [f(b), f(a)] \) |
| \( f([a, b]) \) | \( f([a, b]) = [f(a), f(b)] \) | \( f([a, b]) = [f(b), f(a)] \) |
| \( f(a, b] \) | \( f(a, b] = ]f(a), f(b)] \) | \( f(a, b] = ]f(b), f(a)] \) |
| \( f([a, b[) \) | \( f([a, b[) = [f(a), f(b)[ \) | \( f([a, b[) = [f(b), f(a)[ \) |
| \( f(]a, b[) \) | \( f(]a, b[) = ]f(a), f(b)[ \) | \( f(]a, b[) = ]f(b), f(a)[ \) |
| \( f([a, +\infty[) \) | \( f([a, +\infty[) = [f(a), \lim_{x \to +\infty} f(x)[ \) | \( f([a, +\infty[) = [\lim_{x \to +\infty} f(x), f(a)[ \) |
| \( f(]a, +\infty[) \) | \( f(]a, +\infty[) = ]f(a), \lim_{x \to +\infty} f(x)[ \) | \( f(]a, +\infty[) = ]\lim_{x \to +\infty} f(x), f(a)[ \) |
| \( f(]-\infty, b]) \) | \( f(]-\infty, b]) = [\lim_{x \to -\infty} f(x), f(b)] \) | \( f(]-\infty, b]) = [f(b), \lim_{x \to -\infty} f(x)] \) |
| \( f(]-\infty, b[) \) | \( f(]-\infty, b[) = [\lim_{x \to -\infty} f(x), f(b)[ \) | \( f(]-\infty, b[) = [f(b), \lim_{x \to -\infty} f(x)[ \) |
| \( f(\mathbb{R}) \) | \( f(\mathbb{R}) = [\lim_{x \to -\infty} f(x), \lim_{x \to +\infty} f(x)] \) | \( f(\mathbb{R}) = [\lim_{x \to +\infty} f(x), \lim_{x \to -\infty} f(x)] \) |
Remarque
L'image d'un intervalle par une fonction strictement monotone est un intervalle de même nature.
Fonction réciproque d'une fonction continue et strictement monotone
Définition
Soit \( f \) une fonction définie sur un intervalle \( I \) de \( \mathbb{R} \). On dit que \( f \) réalise une bijection de \( I \) sur \( J = f(I) \) si pour tout réel \( y \) de \( J \), l'équation \( f(x) = y \) admet une unique solution dans \( I \).
Théorème
Si \( f \) est une fonction strictement monotone sur un intervalle \( I \), alors \( f \) réalise une bijection de \( I \) sur \( f(I) = J \).
Définition
Soit \( f \) une bijection d'un intervalle \( I \) sur \( f(I) = J \). On appelle fonction réciproque de \( f \) et on note \( f^{-1} \) la fonction définie sur \( J \) qui à tout réel \( y \) de \( J \) associe l'unique solution dans \( I \) de l'équation \( f(x) = y \).
Conséquence
Soit \( f \) une bijection d'un intervalle \( I \) sur \( f(I) = J \) et \( f^{-1} \) sa fonction réciproque. Pour tout \( x \) de \( I \) et tout \( y \) de \( f(I) \),
- \( f(x) = y \) si et seulement si \( f^{-1}(y) = x \)
- \( f^{-1} \circ f(x) = x \) pour tout \( x \) de \( I \) et \( f \circ f^{-1}(y) = y \) pour tout \( y \) de \( f(I) = J \)
Théorème
Si \( f \) est une fonction strictement monotone sur un intervalle \( I \), alors on a :
Limites et comportement asymptotique
Branches paraboliques d'une courbe de direction \( (O, \vec{i}) \)
✿ Si \( \lim_{x \to \pm \infty} f(x) = \pm \infty \) et \( \lim_{x \to \pm \infty} \frac{f(x)}{x} = 0 \) alors la courbe \( (C_f) \) admet en \( \pm \infty \) une branche parabolique de direction celle de l'axe des abscisses. \( (O, \vec{i}) \).
Branches paraboliques d'une courbe de direction \( (O, \vec{j}) \)
✿ Si \( \lim_{x \to \pm \infty} f(x) = \pm \infty \) et \( \lim_{x \to \pm \infty} \frac{f(x)}{x} = \pm \infty \) alors la courbe \( (C_f) \) admet en \( \pm \infty \) une branche parabolique de direction celle de l'axe des ordonnées. \( (O, \vec{j}) \).
Asymptotes parallèles aux axes du repère
✿ On dit que la droite \( \Delta : x = a \) est une asymptote à la courbe \( (C_f) \) dans l’un des cas suivants :
- \( \lim_{x \to a^+} f(x) = \pm \infty \) ou \( \lim_{x \to a^-} f(x) = \pm \infty \)
✿ On dit que la droite \( \Delta : y = b \) est une asymptote à la courbe \( (C_f) \) lorsque : \( \lim_{x \to \pm \infty} f(x) = b \).
Exercices corrigés sur Limites et Continuité 2 Bac
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