Limites et Continuité: Exercices Corrigés 2ème Bac

Dans cet article, nous vous proposons une série d'exercices corrigés sur les limites et la continuité en PDF. Ces exercices sont conçus pour aider les élèves à maîtriser ces concepts fondamentaux des mathématiques, que ce soit pour le Bac ou pour les classes préparatoires.

Exercise 1 : Limites de la fonction linéaire

Énoncé

Soit la fonction \( f(x) = 3x - 4 \).

1. Déterminer la limite de \( f(x) \) lorsque \( x \) tend vers 1.
2. Déterminer la limite de \( f(x) \) lorsque \( x \) tend vers \( +\infty \).

Indication

▼

1. Pour la limite de \( f(x) \) quand \( x \) tend vers 1, calculez \( f(1) \).
2. Pour la limite de \( f(x) \) quand \( x \) tend vers \( +\infty \), examinez le terme \( 3x \) dans \( f(x) = 3x - 4 \).

Solution

▼

1. La fonction \( f(x) = 3x - 4 \) est une fonction linéaire, donc :

\[ \lim_{x \to 1} f(x) = f(1) = 3 \cdot 1 - 4 = -1. \]

2. Pour \( x \to +\infty \) :

\[ \lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} (3x - 4) = +\infty. \]

Exercice 2 : Limites et continuité de la fonction rationnelle

Énoncé

Soit la fonction \( g(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1} \).

1. Déterminer la limite de \( g(x) \) lorsque \( x \) tend vers 1.
2. Déterminer la continuité de la fonction en \( x = 1 \).

Indication

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1. Pour déterminer la limite de \( g(x) \) lorsque \( x \) tend vers 1, il faut d'abord vérifier si \( g(1) \) est défini. Puis, simplifiez l'expression \( g(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1} \) en factorisant le numérateur.
2. Pour étudier la continuité de \( g \) en \( x = 1 \), vérifiez si \( \lim_{x \to 1} g(x) = g(1) \). Si ces deux valeurs sont égales, la fonction est continue en ce point.

Solution

▼

1. On simplifie l'expression :

\[ g(x) = \frac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1} = x + 1 \text{ pour } x \neq 1. \]

Donc :

\[ \lim_{x \to 1} g(x) = \lim_{x \to 1} (x + 1) = 2. \]

2. La fonction n'est pas définie en \( x = 1 \), mais on peut étendre la fonction pour la rendre continue en définissant :

\[ g(1) = 2. \]

Exercice 3 : Limites et continuité de la fonction sinus

Énoncé

Soit la fonction \( h(x) = \frac{\sin(x)}{x} \).

1. Déterminer la limite de \( h(x) \) lorsque \( x \) tend vers 0.
2. Vérifier la continuité en \( x = 0 \) en définissant la fonction de manière appropriée.

Indication

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Pour déterminer la limite de \( h(x) \) lorsque \( x \) tend vers 0, utilisez le fait que \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1 \). Vous pouvez justifier cela par le développement de Taylor ou par l'utilisation de la règle de l'Hôpital.

Pour vérifier la continuité en \( x = 0 \), définissez la fonction \( h(0) \) de manière appropriée, par exemple, en posant \( h(0) = 1 \). Ensuite, vérifiez si \( \lim_{x \to 0} h(x) = h(0) \). Si c'est le cas, la fonction est continue en \( x = 0 \).

Solution

▼

1. Pour \( x \to 0 \) :

\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1. \]

2. On peut définir \( h(0) = 1 \) pour rendre la fonction continue :

\[ h(x) = \begin{cases} \frac{\sin(x)}{x} & \text{si } x \neq 0, \\ 1 & \text{si } x = 0. \end{cases} \]

Exercice 4 : Limites et comportement de la fonction rationnelle

Énoncé

Soit la fonction \( k(x) = \frac{1}{x^2 - 4} \).

1. Déterminer les limites lorsque \( x \) tend vers 2 et -2.
2. Décrire le comportement de la fonction autour de ces points.

Indication

▼

Pour déterminer les limites de \( k(x) \) lorsque \( x \) tend vers 2 et -2, analysez la fonction \( k(x) = \frac{1}{x^2 - 4} \). Remarquez que le dénominateur s'annule pour \( x = 2 \) et \( x = -2 \). Calculez les limites :

• Pour \( \lim_{x \to 2} k(x) \), étudiez la limite par la gauche (\( x \to 2^- \)) et par la droite (\( x \to 2^+ \)).
• Pour \( \lim_{x \to -2} k(x) \), procédez de même.

Pour décrire le comportement de la fonction autour de \( x = 2 \) et \( x = -2 \), utilisez les résultats des limites précédentes. Indiquez si la fonction présente des asymptotes verticales à ces points et commentez le comportement de \( k(x) \) lorsque \( x \) s'approche de ces valeurs (tend vers \( +\infty \) ou \( -\infty \)).

Solution

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1. Pour \( x \to 2 \) :

\[ \lim_{x \to 2} \frac{1}{x^2 - 4} = \frac{1}{4 - 4} = \frac{1}{0}, \]

ce qui tend vers \( +\infty \) ou \( -\infty \), selon le sens de la tendance de \( x \). De même :

\[ \lim_{x \to -2} \frac{1}{x^2 - 4} = \frac{1}{(-2)^2 - 4} = \frac{1}{0}, \]

ce qui tend aussi vers \( +\infty \) ou \( -\infty \).

2. La fonction a des asymptotes verticales en \( x = 2 \) et \( x = -2 \).

Exercice 5 : Limites de la fonction racine carrée

Énoncé

Soit la fonction \( f(x) = \sqrt{x^2 + 1} \).

1. Déterminer la limite de \( f(x) \) lorsque \( x \) tend vers \( +\infty \).
2. Déterminer la limite de \( f(x) \) lorsque \( x \) tend vers \( -\infty \).

Indication

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1. Pour \( x \to +\infty \), on a : \[ f(x) = \sqrt{x^2 + 1} \approx \sqrt{x^2} = x \implies \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty. \]
2. Pour \( x \to -\infty \), on a : \[ f(x) = \sqrt{x^2 + 1} \approx \sqrt{x^2} = -x \implies \lim_{x \to -\infty} f(x) = +\infty. \]

Solution

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1. Pour \( x \to +\infty \) :

\[ \lim_{x \to +\infty} \sqrt{x^2 + 1} = \lim_{x \to +\infty} \sqrt{x^2 \left(1 + \frac{1}{x^2}\right)} = \lim_{x \to +\infty} |x| \sqrt{1 + \frac{1}{x^2}} = +\infty. \]

2. Pour \( x \to -\infty \) :

\[ \lim_{x \to -\infty} \sqrt{x^2 + 1} = \lim_{x \to -\infty} \sqrt{x^2 \left(1 + \frac{1}{x^2}\right)} = \lim_{x \to -\infty} (-x) \sqrt{1 + \frac{1}{x^2}} = +\infty. \]

Exercice 6 : Limites et continuité de la fonction rationnelle

Énoncé

Soit la fonction \( f(x) = \frac{x^3 - 8}{x - 2} \).

1. Déterminer la limite de \( f(x) \) lorsque \( x \) tend vers 2.
2. Déterminer la continuité de la fonction en \( x = 2 \).

Indication

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1. Calculez \( \lim_{x \to 2} f(x) \) en factorisant : \[ f(x) = \frac{(x - 2)(x^2 + 2x + 4)}{x - 2} \quad (x \neq 2) \Rightarrow \lim_{x \to 2} f(x) = 12. \]
2. La fonction \( f \) n'est pas continue en \( x = 2 \) car \( f(2) \) n'est pas défini.

Solution

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1. On simplifie l'expression :

\[ f(x) = \frac{(x - 2)(x^2 + 2x + 4)}{x - 2} = x^2 + 2x + 4 \text{ pour } x \neq 2. \]

Donc :

\[ \lim_{x \to 2} f(x) = \lim_{x \to 2} (x^2 + 2x + 4) = 4 + 4 + 4 = 12. \]

2. On peut définir \( f(2) = 12 \) pour rendre la fonction continue :

\[ f(x) = \begin{cases} \frac{x^3 - 8}{x - 2} & \text{si } x \neq 2, \\ 12 & \text{si } x = 2. \end{cases} \]

Exercice 7 : Limites et continuité de la fonction rationnelle

Énoncé

Soit la fonction \( g(x) = \frac{x^2 - 4x + 3}{x - 1} \).

1. Déterminer la limite de \( g(x) \) lorsque \( x \) tend vers 1.
2. Déterminer la continuité de la fonction en \( x = 1 \).

Indication

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1. Calculez \( \lim_{x \to 1} g(x) \) en factorisant : \[ g(x) = \frac{(x - 1)(x - 3)}{x - 1} \quad (x \neq 1) \Rightarrow \lim_{x \to 1} g(x) = -2. \]
2. La fonction \( g \) n'est pas continue en \( x = 1 \) car \( g(1) \) n'est pas défini.

Solution

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1. On simplifie l'expression :

\[ g(x) = \frac{(x - 1)(x - 3)}{x - 1} = x - 3 \text{ pour } x \neq 1. \]

Donc :

\[ \lim_{x \to 1} g(x) = \lim_{x \to 1} (x - 3) = 1 - 3 = -2. \]

2. La fonction n'est pas définie en \( x = 1 \), mais on peut définir :

\[ g(1) = -2. \]

Exercice 8 : Limites et comportement de la fonction rationnelle

Énoncé

Soit la fonction \( h(x) = \frac{x^2 - 4}{x^2 - 2x} \).

1. Déterminer les limites lorsque \( x \) tend vers 0 et 2.
2. Décrire le comportement de la fonction autour de ces points.

Indication

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Déterminez les limites :

• Pour \( x \to 0 \) : \[ h(0) = \frac{-4}{0} \quad \text{(tend vers } -\infty\text{)}. \]
• Pour \( x \to 2 \) : \[ h(2) = \frac{0}{0} \quad \text{(indéterminé)}. \] Factorisez : \[ h(x) = \frac{(x - 2)(x + 2)}{x(x - 2)} \Rightarrow \lim_{x \to 2} h(x) = 4. \]

Comportement :

• À \( x = 0 \), il y a une asymptote verticale (tend vers \( -\infty \)).
• À \( x = 2 \), la fonction est continue (limite est 4).

Solution

▼

1. Pour \( x \to 0 \) :

\[ \lim_{x \to 0} \frac{x^2 - 4}{x^2 - 2x} = \frac{-4}{0} = -\infty \text{ ou } +\infty. \]

2. Pour \( x \to 2 \) :

\[ \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x^2 - 2x} = \frac{4 - 4}{4 - 4} = \frac{0}{0} \text{ (forme indéterminée)}. \]

On simplifie :

\[ \frac{x^2 - 4}{x^2 - 2x} = \frac{(x - 2)(x + 2)}{x(x - 2)} = \frac{x + 2}{x}. \]

Donc :

\[ \lim_{x \to 2} \frac{x + 2}{x} = \frac{4}{2} = 2. \]

Exercice 9 : Limites de la fonction logarithmique

Énoncé

Soit la fonction \( f(x) = \ln(x) \).

1. Déterminer la limite de \( f(x) \) lorsque \( x \) tend vers 0 par la droite.
2. Déterminer la limite de \( f(x) \) lorsque \( x \) tend vers \( +\infty \).

Indication

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1. Limite lorsque \( x \) tend vers 0 par la droite : \[ \lim_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty. \]
2. Limite lorsque \( x \) tend vers \( +\infty \) : \[ \lim_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty. \]

Solution

▼

1. Pour \( x \to 0^+ \) :

\[ \lim_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty. \]

2. Pour \( x \to +\infty \) :

\[ \lim_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty. \]

Exercice 10 : Limites et continuité de la fonction rationnelle

Énoncé

Soit la fonction \( f(x) = \frac{x^2 - 9}{x - 3} \).

1. Déterminer la limite de \( f(x) \) lorsque \( x \) tend vers 3.
2. Déterminer la continuité de la fonction en \( x = 3 \).

Indication

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Limite lorsque \( x \) tend vers 3 : \[ \lim_{x \to 3} f(x) = \lim_{x \to 3} \frac{(x - 3)(x + 3)}{x - 3} = \lim_{x \to 3} (x + 3) = 6. \]

Pour vérifier la continuité en \( x = 3 \) :

• La fonction n'est pas définie en \( x = 3 \) car le dénominateur s'annule.
• Donc, \( f \) n'est pas continue en \( x = 3 \).

Solution

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1. On simplifie l'expression :

\[ f(x) = \frac{(x - 3)(x + 3)}{x - 3} = x + 3 \text{ pour } x \neq 3. \]

Donc :

\[ \lim_{x \to 3} f(x) = \lim_{x \to 3} (x + 3) = 6. \]

2. On peut définir :

\[ f(3) = 6. \]

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