Propositions et Fonctions Propositionnelles
Définitions
On appelle proposition, tout énoncé mathématique qui a un sens et qui peut être vrai ou faux, et ce, à un moment donné.
On appelle fonction propositionnelle, tout énoncé mathématique contenant une ou plusieurs variables appartenant à un ensemble bien défini, et qui est susceptible d'être une proposition si on attribue à ses variables certaines valeurs particulières dans cet ensemble.
Définitions Fondamentales
Proposition
En logique mathématique, une proposition est une phrase déclarative qui est soit vraie, soit fausse, mais pas les deux. Par exemple, "2 est un nombre pair" est une proposition vraie, tandis que "3 est un nombre pair" est une proposition fausse.
Négation
La négation d'une proposition \( P \), notée \( \neg P \), est une proposition qui est vraie lorsque \( P \) est fausse, et fausse lorsque \( P \) est vraie. Par exemple, si \( P \) est "Il pleut", alors \( \neg P \) est "Il ne pleut pas".
Conjonction
La conjonction de deux propositions \( P \) et \( Q \), notée \( P \land Q \), est vraie si et seulement si \( P \) et \( Q \) sont toutes les deux vraies. Par exemple, "2 est pair et 3 est impair" est vrai.
Disjonction
La disjonction de deux propositions \( P \) et \( Q \), notée \( P \lor Q \), est vraie si au moins l'une des deux propositions \( P \) ou \( Q \) est vraie. Par exemple, "2 est pair ou 3 est pair" est vrai.
Implication
L'implication entre deux propositions \( P \) et \( Q \), notée \( P \Rightarrow Q \), est vraie sauf si \( P \) est vraie et \( Q \) est fausse. Par exemple, "Si 2 est pair, alors 3 est impair" est vrai.
Équivalence
L'équivalence entre deux propositions \( P \) et \( Q \), notée \( P \Leftrightarrow Q \), est vraie lorsque \( P \) et \( Q \) sont toutes les deux vraies ou toutes les deux fausses. Par exemple, "2 est pair si et seulement si 4 est pair" est vrai.
Les Quantificateurs
Quantificateur Existentiel
La proposition \( \exists x \in E : P(x) \) se lit "il existe un \( x \) tel que \( P(x) \) est vrai", lorsqu'il existe au moins un élément \( x \) dans \( E \) vérifiant la propriété \( P\).
Quantificateur Universel
La proposition \( \forall x \in E : P(x) \) se lit "pour tout \( x \) dans \( E \), \( P(x) \) est vrai". Cela signifie que tous les éléments de \( E \) vérifient la propriété \( P \).
Quantificateur d'Unicité
La proposition \( \exists ! x \in E : P(x) \) se lit "il existe un unique \( x \) tel que \( P(x) \) est vrai". Cela indique qu'il y a exactement un élément dans \( E \) qui vérifie la propriété \( P \).
Opérations sur les Propositions
| P | Q | Conjonction \( P \land Q \) | Disjonction \( P \lor Q \) | Implication \( P \Rightarrow Q \) | Équivalence \( P \Leftrightarrow Q \) |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
Négation d'une Proposition
1 - Définition
La négation d'une proposition \( P \) est notée \( \overline{P}\).
Tableau de vérité
| P | \( \overline P \) |
|---|---|
| Vrai (1) | Faux (0) |
| Faux (0) | Vrai (1) |
2 - Négation de certains symboles
Symboles et leurs négations :
| Symbole | Négation |
|---|---|
| ∀ | ∃ |
| = | ≠ |
| ∈ | ∉ |
| \(<\) | \(\geq\) |
| \(>\) | \(\leq\) |
3 - Négation d'une proposition quantifiée
La négation des propositions quantifiées est la suivante :
\( \forall x \in E : P(x) \) équivaut à \( \exists x \in E : \overline P(x) \)
\( \exists x \in E : P(x) \) équivaut à \( \forall x \in E : \overline P(x) \)
4 - Négation de certains propositions
| Proposition | Sà négation |
|---|---|
| \( P \land Q \) | \( \overline P \lor \overline Q \) |
| \( P \lor Q \) | \( \overline P \land \overline Q \) |
| \( P \Rightarrow Q \) | \( P \land \overline Q \) |
Les Raisonnements Mathématiques
1. Règle
Pour montrer que la proposition \( \forall x \in E; P(x) \) est fausse, il suffit de montrer que sa négation \( \exists x \in E; \overline P(x) \) est vraie.
2. Raisonnement par contraposition
Règle : Pour montrer que la proposition \( P \Rightarrow Q \) est vraie, il suffit de montrer que \( \overline Q \) est vraie.
L'implication \( P \Rightarrow Q \) est appelée la contraposée de l'implication \( P \Rightarrow Q \).
3. Raisonnement par équivalences successives
Règle : Pour montrer que \( P \Rightarrow Q \) est vraie :
- On cherche des propositions \( R_1, R_2, \ldots \) telles que \( P \Rightarrow R_1 \), \( R_1 \Rightarrow R_2 \), ..., \( R_n \Rightarrow Q \) sont vraies.
- On démontre que les implications \( P \Rightarrow R \) et \( R \Rightarrow Q \) sont vraies.
4. Raisonnement par Disjonction des cas
Règle : Le raisonnement par disjonction des cas se base sur la loi suivante :
Pour montrer que \( (P_1 \lor P_2) \Rightarrow (Q_1 \lor Q_2) \) est vraie :
- On démontre que les deux cas suivants sont :
- Montrons que \( P_1 \) est vraie.
- Montrons que \( P_2 \) est vraie.
5. Raisonnement par Absurde
Règle : Pour montrer que la proposition \( P \) est vraie, on suppose que \( P \) est fausse, c'est-à-dire \( \overline P \), et on cherche la contradiction avec les données d'exercices et le fait suivant :
Pour montrer que \( P \Rightarrow Q \) est vraie : on suppose que \( P \) est vraie, et on montre que cela conduit à une contradiction.
6. Raisonnement par Récurrence
Soit \( P(n) \) une fonction propositionnelle et \( n_0 \in \mathbb{N} \) tel que :
Règle :
- Initialisation : Vérifier que \( P(n_0) \) est vraie.
- Hérédité : Soit \( n \geq n_0 \). On suppose que \( P(n) \) est vraie, et on doit montrer que \( P(n+1) \) est vraie.
Conclusion : D'après le principe de récurrence, \( P(n) \) est vraie pour tout \( n \geq n_0 \).
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