L'ordre dans R Cours Tronc Commun

L'ensemble des nombres réels \(\mathbb{R}\) est ordonné. Cela signifie qu'on peut toujours dire si un nombre est plus grand ou plus petit qu'un autre. Cette capacité est cruciale pour analyser et comprendre la géométrie.

I. Ordre et Opérations

Activité

Soient \( a \) un nombre réel. Comparons \( (a^2 + 1) \) et \( 2a \).

• On a : \( (a^2 + 1) - 2a = a^2 - 2a + 1 \geq 0 \)
• Donc, \( a^2 + 1 \geq 2a \)

Définition

• On dit que \( a \) est inférieur ou égal à \( b \) si \( b - a \geq 0 \) et on écrit \( a \leq b \).
• On dit que \( a \) est supérieur ou égal à \( b \) si \( b - a \leq 0 \) et on écrit \( a \geq b \).
• On dit que \( a \) est strictement inférieur à \( b \) si \( b - a > 0 \) et on écrit \( a < b \).
• On dit que \( a \) est strictement supérieur à \( b \) si \( b - a < 0 \) et on écrit \( a > b \).

Propriétés

Soient \( a, b, c \) et \( d \) des nombres réels :

Si \( a \leq b \) et \( b \leq c \), alors \( a \leq c \).

Si \( a < b \) et \( b < c \), alors \( a < c \).

\( a \leq b \) équivaut à \( a + c \leq b + c \).

Si \( a < b \) et \( c > 0 \), alors \( ac < bc \).

Si \( a < b \) et \( c < 0 \), alors \( ac > bc \).

Si \( 0 < a < b \) et \( 0 < c < d \), alors \( 0 < ac < bd \).

Si \( a > 0 \) et \( b > 0 \) et \( a < b \), alors \( a^2 < b^2 \).

Si \( a > 0 \) et \( a < b \), alors \( \sqrt{a} < \sqrt{b} \).

Si \( a > 0 \) et \( b > 0 \) et \( a < b \), alors \( \frac{1}{a} > \frac{1}{b} \).

II. Les intervalles

1. Les intervalles bornés

Définition

Soit \( a, b \) deux nombres réels, l'ensemble des réels \( x \) qui vérifient \( a \leq x \leq b \) est appelé l'intervalle fermé de borne \( a \) et \( b \), noté \( [a, b] \).

On peut définir tous les intervalles bornés comme suit :

Notation	Application	Représentation
\([a, b]\)	Intervalle fermé	Image ou graphique ici
\((a, b)\)	Intervalle ouvert	Image ou graphique ici
\([a, b)\)	Intervalle semi-ouvert à droite	Image ou graphique ici
\((a, b]\)	Intervalle semi-ouvert à gauche	Image ou graphique ici

Remarque :

• Si \( a < b \) alors \( [a, b] \) est un intervalle non vide.
• Si \( a = b \) alors \( [a, b] = \{a\} \).
• Si \( a > b \) alors \( [a, b] \) est vide.

2. Les intervalles monodimensionnels

Note

\( +\infty \) n'est pas un nombre et \( -\infty \) n'est pas un nombre.

On définit les intervalles monodimensionnels comme suit :

Notation	Application	Représentation
\((-\infty, a]\)	Intervalle à plus l'infini	Image ou graphique ici
\([a, +\infty)\)	Intervalle à plus l'infini	Image ou graphique ici
\((-\infty, b)\)	Intervalle à moins l'infini	Image ou graphique ici
\([b, +\infty)\)	Intervalle à moins l'infini	Image ou graphique ici

3. Réunion et Intersection d'Intervalles

Définition

Soit \( a, b, c, d \) des nombres réels tels que :

Si \( I_1 = [a, b] \) et \( I_2 = [c, d] \), alors l'intersection des intervalles \( I_1 \) et \( I_2 \) est notée \( I_1 \cap I_2 \) et définie par :

\[ I_1 \cap I_2 = [\max(a, c), \min(b, d)] \]

Si \( I_1 \) et \( I_2 \) ne se croisent pas, alors \( I_1 \cap I_2 = \emptyset \).

La réunion des intervalles \( I_1 \) et \( I_2 \) est notée \( I_1 \cup I_2 \) et est définie par :

\[ I_1 \cup I_2 = [\min(a, c), \max(b, d)] \]

Exemple

Soit \( I_1 = [2, 5] \) et \( I_2 = [4, 7] \).

• Intersection : \( I_1 \cap I_2 = [4, 5] \)
• Réunion : \( I_1 \cup I_2 = [2, 7] \)

III. La Valeur Absolue

A. Définition

On appelle valeur absolue d'un nombre réel \( n \), la distance entre \( n \) et 0 sur la droite réelle. Elle est notée \( |n| \). Soit \( n \in \mathbb{R} \), on définit :

\[ |n| = \begin{cases} n & \text{si } n \geq 0 \\ -n & \text{si } n < 0 \end{cases} \]

B. Exemple

Pour \( n = -3 \) et \( n = 6 \) :

• \( |-3| = 3 \)
• \( |6| = 6 \)

C. Propriétés

1. Pour tout \( n \in \mathbb{R} \), \( |n| \geq 0 \).

2. \( |n| = 0 \) si et seulement si \( n = 0 \).

3. Pour tous \( a, b \in \mathbb{R} \), \( |a \cdot b| = |a| \cdot |b| \).

4. Pour tous \( a, b \in \mathbb{R} \), \( |a + b| \leq |a| + |b| \) (inégalité triangulaire).

3. La Distance et la Valeur Absolue

A. Définition

Soit \( A \) et \( B \) deux points d'une droite graduée, notés respectivement \( a \) et \( b \). La distance \( AB \) entre les deux nombres \( a \) et \( b \) est donnée par :

\[ d(A, B) = |a - b| \]

Définition

B. Propriété

Soit \( a \) un réel et \( b \) un réel positif. On a :

\( |a| \) est équivalent à : \( a < b \) ou \( a \leq b \)

C. Centre et rayon d'un intervalle

Soit a et b deux réels tels que a < b.

Le nombre |a - b| s'appelle la Capacité de l'intervalle [a, b].

Le nombre |b - a| s'appelle le Rayon de l'intervalle [a, b].

Le nombre a + b s'appelle la Capacité de l'intervalle [a, b].

Valeurs absolues et les intervalles

Théorème

Pour x ∈ ℝ, |x - a| < r ⟺ {x | x ∈ [a - r, a + r]}

{x | |x - a| < r} = (a - r, a + r)

{x | |x - a| ≤ r} = [a - r, a + r]

{x | |x - a| > r} = ℝ \ [a - r, a + r]

{x | |x - a| ≥ r} = ℝ \ (a - r, a + r)

Ⅳ. Encadrement et Approximations

1. Déterminer un intervalle ouvert de Capacité 10 qui contient :

Soit C + r = 10

Alors : C = |a - b|

Capacité = 10

2. Déterminer un intervalle de Capacité 10 qui contient -3√2 :

On a : -4,1 < -√2 < -4,2

On a : -4 < x < -3 < 0

Donc : C = 10

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