1. Définition de la Dérivée
Définition :
Soit \( f(x) \) une fonction définie sur un intervalle \( I \) contenant \( a \). La dérivée de \( f \) en \( a \), notée \( f'(a) \) ou \( \frac{df}{dx}(a) \), est définie par :
\[ f'(a) = \lim\limits_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} \]
Cette définition est basée sur le concept de limite. La dérivée représente la pente de la tangente à la courbe de \( f \) en \( x = a \). Si la limite n'existe pas, la fonction n'est pas dérivable en \( a \).
2. Interprétation Géométrique
La dérivée en un point \( a \) d'une fonction \( f \) peut être interprétée géométriquement comme la pente de la droite tangentielle à la courbe en ce point. Pour visualiser cela, imaginez que vous tracez une ligne droite qui touche la courbe de \( f \) en \( x = a \) et qui ne la coupe pas près de ce point. La pente de cette ligne est la dérivée \( f'(a) \).
3. Règles de Dérivation
Pour calculer les dérivées de fonctions complexes, nous utilisons plusieurs règles fondamentales. Voici les principales :
Règle de la Constante :
Si \( f(x) = c \), où \( c \) est une constante, alors :
\[ f'(x) = 0 \]
Les constantes n'affectent pas la pente de la fonction ; donc leur dérivée est toujours zéro.
Règle de la Puissance :
Pour \( f(x) = x^n \), où \( n \) est un entier, la dérivée est :
\[ f'(x) = nx^{n-1} \]
Cette règle est utile pour les fonctions polynômiales. Par exemple, pour \( f(x) = x^3 \), la dérivée est \( 3x^2 \).
Règle de la Somme :
Si \( f(x) = u(x) + v(x) \), alors :
\[ f'(x) = u'(x) + v'(x) \]
La dérivée d'une somme est la somme des dérivées.
Règle du Produit :
Pour \( f(x) = u(x) \cdot v(x) \), la dérivée est :
\[ f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) \]
Cette règle est utilisée pour les produits de fonctions. Par exemple, pour \( f(x) = x^2 \cdot \sin(x) \), la dérivée est \( 2x \sin(x) + x^2 \cos(x) \).
Règle du Quotient :
Pour \( f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} \), où \( v(x) \neq 0 \), la dérivée est :
\[ f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{v(x)^2} \]
Cette règle est utilisée pour les quotients de fonctions. Par exemple, pour \( f(x) = \frac{x^2}{\sin(x)} \), la dérivée est calculée en utilisant cette règle.
Règle de la Chaîne :
Pour \( f(x) = g(h(x)) \), la dérivée est :
\[ f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x) \]
Cette règle est utilisée pour les fonctions composées. Par exemple, pour \( f(x) = \sin(x^2) \), la dérivée est \( 2x \cos(x^2) \).
4. Théorèmes et Propriétés
Théorème de la Dérivée :
Si \( f \) est dérivable en \( a \) et \( f'(a) = 0 \), alors \( a \) peut être un point de maximum ou de minimum local de \( f \). Ce théorème est souvent utilisé pour identifier les points critiques d'une fonction.
Théorème de la Fonction Continue :
Si une fonction est dérivable en un point, alors elle est continue en ce point. Cela signifie que si \( f'(a) \) existe, alors \( f \) est continue en \( a \).
Théorème de la Fonction Continue :
Théorème de Rolle :
Si une fonction \( f \) est continue sur l'intervalle fermé \([a, b]\), dérivable sur l'intervalle ouvert \( (a, b) \), et si \( f(a) = f(b) \), alors il existe au moins un point \( c \) dans \( (a, b) \) tel que \( f'(c) = 0 \).
Théorème des Valeurs Intermédiaires :
Si \( f \) est continue sur l'intervalle \([a, b]\), alors pour toute valeur \( y \) entre \( f(a) \) et \( f(b) \), il existe un \( c \) dans \([a, b]\) tel que \( f(c) = y \).
5. Exemples Détaillés
Exemple 1 : Fonction Polynômiale
Considérons la fonction \( f(x) = 3x^4 - 5x^2 + 2x - 7 \). Calculons sa dérivée :
\[ f'(x) = 12x^3 - 10x + 2 \]
Nous utilisons la règle de la puissance pour chaque terme.
Exemple 2 : Fonction Exponentielle
Pour la fonction \( g(x) = e^x \), sa dérivée est :
\[ g'(x) = e^x \]
La fonction exponentielle est intéressante car sa dérivée est elle-même.
Exemple 3 : Fonction Trigonométrique
Pour \( h(x) = \sin(x) \cdot \cos(x) \), appliquons la règle du produit :
\[ h'(x) = \cos^2(x) - \sin^2(x) \]
Exemple 4 : Fonction Logarithmique
Pour \( k(x) = \ln(x) \), la dérivée est :
\[ k'(x) = \frac{1}{x} \]
6. Exercices
| Exercice | Énoncé |
|---|---|
| Exercice 1 | Calculer la dérivée de la fonction \( f(x) = 4x^3 - 3x + 1 \). |
| Exercice 2 | Calculer la dérivée de la fonction \( g(x) = e^{3x} \). |
| Exercice 3 | Calculer la dérivée de la fonction \( h(x) = \sin(x) \cdot \cos(x) \). |
| Exercice 4 | Calculer la dérivée de la fonction \( k(x) = \ln(x^2 + 1) \). |
| Exercice 5 | Déterminer les points critiques et les extrema locaux de la fonction \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x \). |
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