Etude de Fonction 1 Bac

L'étude d'une fonction numérique permet d'analyser ses caractéristiques essentielles pour comprendre son comportement global. Cela inclut la définition de la fonction, le domaine de définition, la continuité, la dérivabilité, les variations, et les asymptotes.

1. Définition de la Fonction

Définition :

Une fonction \( f \) est une relation qui associe à chaque élément \( x \) d'un ensemble \( X \) (appelé domaine) un unique élément \( f(x) \) d'un ensemble \( Y \) (appelé image). On note généralement la fonction par \( f \) et on l'écrit sous la forme \( f(x) = \text{expression} \).

Exemple : La fonction \( f(x) = x^2 - 4x + 3 \) associe à chaque \( x \) la valeur \( x^2 - 4x + 3 \).

2. Domaine de Définition

Définition :

Le domaine de définition d'une fonction est l'ensemble des valeurs pour lesquelles la fonction est définie. Il est crucial de déterminer ce domaine pour éviter les valeurs qui rendent la fonction indéfinie, telles que les dénominateurs nuls ou les racines carrées de nombres négatifs.

Exemple :

Pour la fonction \( f(x) = \frac{2x - 1}{x^2 - 4} \), le dénominateur \( x^2 - 4 \) est nul pour \( x = \pm 2 \). Ainsi, le domaine de définition est \( \mathbb{R} \setminus \{-2, 2\} \).

3. Continuité

Définition :

Une fonction \( f \) est continue en un point \( a \) si les trois conditions suivantes sont remplies :

• La fonction est définie en \( a \).
• La limite de \( f(x) \) lorsque \( x \) tend vers \( a \) existe.
• La limite de \( f(x) \) en \( a \) est égale à \( f(a) \).

Théorème des Valeurs Intermédiaires :

Si une fonction est continue sur un intervalle fermé \([a, b]\), alors pour toute valeur \( y \) entre \( f(a) \) et \( f(b) \), il existe un \( c \in [a, b] \) tel que \( f(c) = y \).

Exemple :

Considérons \( f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1} \). En simplifiant, nous obtenons \( f(x) = x + 1 \) pour \( x \neq 1 \). La fonction est continue partout sauf en \( x = 1 \), où elle n'est pas définie.

Remarque :Pour vérifier la continuité en un point, il est souvent utile de vérifier les limites à gauche et à droite du point en question.

4. Dérivabilité

Définition :

Une fonction \( f \) est dérivable en un point \( a \) si la dérivée \( f'(a) \) existe. Cela signifie que la limite suivante existe :

\[ f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} \]

Théorème :

Si une fonction est dérivable en un point \( a \), alors elle est aussi continue en ce point.

Exemple :

Pour la fonction \( f(x) = x^3 - 3x \), la dérivée est :

\[ f'(x) = 3x^2 - 3 \]

Les points critiques sont trouvés en résolvant \( f'(x) = 0 \), ce qui donne \( x = \pm 1 \).

Preuve :

Pour montrer que \( f(x) = x^3 - 3x \) est dérivable en un point \( a \), nous calculons la limite :

\[ \lim_{h \to 0} \frac{(a+h)^3 - 3(a+h) - (a^3 - 3a)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{3a^2h + 3ah^2 + h^3 - 3h}{h} = 3a^2 - 3 \]

Ce qui montre que la dérivée en \( a \) est \( 3a^2 - 3 \).

5. Variations de la Fonction

Définition :

Les variations d'une fonction se réfèrent aux intervalles où la fonction est croissante ou décroissante. Les points où la dérivée change de signe sont appelés points critiques et peuvent correspondre à des maxima ou minima locaux.

Théorème :

Si \( f \) est dérivable sur un intervalle et \( f'(x) \) change de signe en un point \( a \), alors \( a \) est un point de maximum ou minimum local de \( f \).

Exemple :

Pour \( f(x) = x^3 - 3x \), la dérivée est \( f'(x) = 3x^2 - 3 \). La fonction est croissante pour \( x > 1 \) et \( x < -1 \), et décroissante entre \( -1 \) et \( 1 \).

Remarque : Les points où la dérivée est nulle ou indéfinie sont des candidats pour les points de maximum ou minimum. Il est important de vérifier la concavité pour confirmer le type de point critique.

6. Asymptotes

Définition :

Les asymptotes d'une fonction sont des lignes que la courbe de la fonction approche lorsque \( x \) tend vers l'infini ou vers une valeur spécifique.

Asymptote Horizontale :

Si \(\lim_{x \to \infty} f(x) = L \) ou \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = L \), alors la ligne \( y = L \) est une asymptote horizontale.

Asymptote Verticale :

Si \(\lim_{x \to a^+} f(x) = \pm \infty \) ou \(\lim_{x \to a^-} f(x) = \pm \infty \), alors la ligne \( x = a \) est une asymptote verticale.

Exemple :

Pour \( f(x) = \frac{1}{x} \), la fonction a une asymptote horizontale \( y = 0 \) et une asymptote verticale \( x = 0 \).

7. Exercices

Exercice	Description
Exercice 1	Déterminer le domaine de définition de la fonction \( f(x) = \frac{2x}{x^2 - 1} \).
Exercice 2	Étudier la continuité de la fonction \( g(x) = \sqrt{x^2 - 1} \) sur \( \mathbb{R} \).
Exercice 3	Calculer la dérivée de \( h(x) = 2x^3 - 5x + 4 \) et déterminer les points critiques.
Exercice 4	Étudier les variations de la fonction \( k(x) = x^3 - 6x^2 + 9x \).
Exercice 5	Identifier les asymptotes de la fonction \( f(x) = \frac{x^2 + 1}{x - 2} \).

Questions Fréquemment Posées

1. Comment faire l'étude de fonction ?

Pour effectuer l'étude d'une fonction :

1. Déterminez le domaine de définition : Identifiez les valeurs pour lesquelles la fonction est définie.
2. Analysez les variations : Trouvez les dérivées pour étudier la croissance et la décroissance de la fonction.
3. Identifiez les points critiques : Calculez les dérivées premières et secondes pour déterminer les points d'inflexion et les extrema.
4. Tracez le graphique : Utilisez les informations obtenues pour tracer la courbe de la fonction.

2. Comment étudier une fonction \( f \) ?

Pour étudier une fonction \( f \) :

1. Analysez le domaine de définition : Déterminez les valeurs de \( x \) pour lesquelles \( f(x) \) est définie.
2. Étudiez les variations : Trouvez les dérivées premières pour comprendre les variations de la fonction.
3. Identifiez les extrema : Calculez les points où la dérivée est nulle ou indéfinie.
4. Examinez les asymptotes : Recherchez les asymptotes horizontales, verticales ou obliques si elles existent.

3. Comment étudier \( f(x) \) ?

Pour étudier \( f(x) \) :

1. Définissez le domaine : Trouvez les valeurs de \( x \) pour lesquelles \( f(x) \) est défini.
2. Analysez les variations : Utilisez les dérivées pour déterminer les intervalles où la fonction est croissante ou décroissante.
3. Examinez les points critiques : Calculez et analysez les points où la dérivée est nulle.
4. Représentez graphiquement : Tracez le graphique en utilisant les résultats de votre analyse.

4. Qu'est-ce que étudier une fonction ?

Étudier une fonction implique de :

• Déterminer son domaine : Identifier les valeurs pour lesquelles la fonction est définie.
• Analyser ses variations : Comprendre comment la fonction change en fonction des variations de \( x \).
• Identifier les caractéristiques clés : Trouver les points d'intersection, les extremums et les asymptotes.
• Tracer le graphique : Représenter graphiquement la fonction pour une meilleure visualisation.

5. Comment définir la fonction \( f \) ?

Définir la fonction \( f \) implique :

• Spécifier sa règle : Décrire comment \( f(x) \) est calculé pour chaque valeur de \( x \).
• Indiquer son domaine : Définir les valeurs possibles de \( x \) pour lesquelles \( f(x) \) est bien définie.
• Décrire ses caractéristiques : Expliquer les propriétés telles que les points d'inflexion, les asymptotes et les extrema.

6. Comment calculer une fonction exemple ?

Pour calculer une fonction :

1. Identifiez la fonction : Notez la forme de la fonction (ex : \( f(x) = x^2 + 3x + 2 \)).
2. Insérez les valeurs : Remplacez \( x \) par la valeur souhaitée et effectuez les calculs.
3. Interprétez les résultats : Analysez les résultats obtenus pour comprendre le comportement de la fonction.

Restez connecté avec LexMath.com pour plus de ressources éducatives en mathématiques et pour améliorer vos compétences.