Fonction exponentielle Exercices corrigés PDF

1) $f(x) = \frac{e^{x+1}}{e^x - 2}$

Pour que la fonction soit définie, il faut que le dénominateur ne soit pas nul :

$e^x - 2 \neq 0$
$e^x \neq 2$
$x \neq \ln(2)$

Donc, l'ensemble de définition est $D_f = \mathbb{R} \setminus \{\ln(2)\}$.

2) $f(x) = \ln(x + 3e^x)$

La fonction logarithme naturel $\ln(u)$ est définie si et seulement si $u > 0$. Nous devons donc résoudre :

$x + 3e^x > 0$

Comme $e^x > 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$, l'inégalité est toujours vraie pour $x \geq -3$. Ainsi, l'ensemble de définition est :

$D_f = ]-3, +\infty[$

3) $f(x) = \frac{\ln(e^x - 3)}{e^x + 1}$

La fonction est définie si :

• Le dénominateur $e^x + 1$ n'est jamais nul, car $e^x > 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.
• Pour que le logarithme soit défini, il faut que $e^x - 3 > 0$, soit :
$e^x > 3 \Rightarrow x > \ln(3)$

Donc, l'ensemble de définition est $D_f = ]\ln(3), +\infty[$.

4) $f(x) = x^3 + x e^x$

Cette fonction est un polynôme et une fonction exponentielle. Les deux fonctions sont définies pour tout $x \in \mathbb{R}$.

Donc, l'ensemble de définition est $D_f = \mathbb{R}$.

1) $e^{x-1} = \frac{4}{e^x + 3}$

On commence par multiplier les deux côtés de l'équation par $e^x + 3$ pour se débarrasser du dénominateur : $$e^{x-1}(e^x + 3) = 4$$ On simplifie l'équation : $$e^{x-1}e^x + 3e^{x-1} = 4$$ $$e^{2x-1} + 3e^{x-1} = 4$$ Posons $u = e^{x-1}$, ce qui donne : $$u^2 + 3u = 4$$ Résolvons cette équation du second degré : $$u^2 + 3u - 4 = 0$$ Le discriminant est $\Delta = 3^2 - 4 \times 1 \times (-4) = 9 + 16 = 25$, donc les solutions sont : $$u_1 = \frac{-3 + \sqrt{25}}{2} = 1, \quad u_2 = \frac{-3 - \sqrt{25}}{2} = -4$$ Comme $u = e^{x-1}$, et sachant que $e^{x-1} > 0$, seule la solution $u = 1$ est valide : $$e^{x-1} = 1 \quad \Rightarrow \quad x - 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 1$$ Donc, la solution de l'équation est $x = 1$.

2) $e^{3x} - 3e^{2x} + 3e^x - 2 = 0$

Posons $u = e^x$, ce qui transforme l'équation en : $$u^3 - 3u^2 + 3u - 2 = 0$$ On reconnaît un développement de cube parfait : $$(u - 1)^3 = 0$$ Donc, $u = 1$, ce qui donne $e^x = 1$, et donc $x = 0$.

3) $\ln(e^{2x} - 2) = 3$

On applique l'exponentielle aux deux côtés de l'équation pour éliminer le logarithme : $$e^{\ln(e^{2x} - 2)} = e^3 \quad \Rightarrow \quad e^{2x} - 2 = e^3$$ En ajoutant 2 des deux côtés : $$e^{2x} = e^3 + 2$$ Prenons le logarithme de chaque côté : $$2x = \ln(e^3 + 2)$$ Donc la solution est : $$x = \frac{1}{2} \ln(e^3 + 2)$$

4) $e^{2x} - 7e^x + 12 = 0$

Posons $u = e^x$, ce qui donne une équation quadratique : $$u^2 - 7u + 12 = 0$$ Le discriminant est $\Delta = (-7)^2 - 4 \times 1 \times 12 = 49 - 48 = 1$. Les solutions sont : $$u_1 = \frac{7 + \sqrt{1}}{2} = 4, \quad u_2 = \frac{7 - \sqrt{1}}{2} = 3$$ Donc, $e^x = 4$ ou $e^x = 3$, ce qui donne : $$x_1 = \ln(4), \quad x_2 = \ln(3)$$

1) $e^x(e^x - 3) \geq 0$

On commence par factoriser l'inéquation : $$e^x(e^x - 3) \geq 0$$ Sachant que $e^x > 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$, il reste à résoudre : $$e^x - 3 \geq 0$$ $$e^x \geq 3 \quad \Rightarrow \quad x \geq \ln(3)$$ Donc, la solution est : $$x \geq \ln(3)$$

2) $e^{2x} - 5e^x + 2 \geq 0$

Posons $u = e^x$, ce qui transforme l'inéquation en une forme quadratique : $$u^2 - 5u + 2 \geq 0$$ Le discriminant est $\Delta = (-5)^2 - 4 \times 1 \times 2 = 25 - 8 = 17$. Les racines sont : $$u_1 = \frac{5 + \sqrt{17}}{2}, \quad u_2 = \frac{5 - \sqrt{17}}{2}$$ Comme $e^x > 0$, nous avons $u > 0$. La solution pour $u$ est donc : $$u \leq \frac{5 - \sqrt{17}}{2} \quad \text{ou} \quad u \geq \frac{5 + \sqrt{17}}{2}$$ En revenant à $x$, nous obtenons : $$e^x \leq \frac{5 - \sqrt{17}}{2} \quad \text{ou} \quad e^x \geq \frac{5 + \sqrt{17}}{2}$$ Les solutions pour $x$ sont donc : $$x \leq \ln\left( \frac{5 - \sqrt{17}}{2} \right) \quad \text{ou} \quad x \geq \ln\left( \frac{5 + \sqrt{17}}{2} \right)$$

3) $\ln(e^x - 3) \leq 0$

L'inéquation logarithmique est définie si $e^x - 3 > 0$, soit $e^x > 3$, ce qui donne $x > \ln(3)$. Ensuite, on résout : $$\ln(e^x - 3) \leq 0$$ Appliquons l'exponentielle des deux côtés : $$e^x - 3 \leq 1$$ $$e^x \leq 4$$ En prenant le logarithme : $$x \leq \ln(4)$$ Enfin, en tenant compte de la condition $x > \ln(3)$, la solution finale est : $$\ln(3) < x \leq \ln(4)$$

1. Pour $x \to 2$ :

$$\lim_{x \to 2} \frac{1}{x^2 - 4} = \frac{1}{4 - 4} = \frac{1}{0},$$

ce qui tend vers $+\infty$ ou $-\infty$, selon le sens de la tendance de $x$. De même :

$$\lim_{x \to -2} \frac{1}{x^2 - 4} = \frac{1}{(-2)^2 - 4} = \frac{1}{0},$$

ce qui tend aussi vers $+\infty$ ou $-\infty$.

2. La fonction a des asymptotes verticales en $x = 2$ et $x = -2$.

1) $\lim_{{x \to +\infty}} (x^2 - 5x + e^x)$

Lorsque $x \to +\infty$, les termes $x^2$ et $-5x$ croissent plus lentement que $e^x$, car la fonction exponentielle domine toutes les fonctions polynomiales. Ainsi, nous avons : $$\lim_{{x \to +\infty}} (x^2 - 5x + e^x) = \lim_{{x \to +\infty}} e^x = +\infty$$

2) $\lim_{{x \to -\infty}} \frac{e^x - 3}{e^x + 1}$

Lorsque $x \to -\infty$, $e^x \to 0$, donc nous avons : $$\lim_{{x \to -\infty}} \frac{e^x - 3}{e^x + 1} = \frac{0 - 3}{0 + 1} = -3$$

3) $\lim_{{x \to +\infty}} \frac{e^{2x}}{e^x + x}$

Lorsque $x \to +\infty$, $e^{2x}$ croît beaucoup plus rapidement que $e^x$ et $x$. Nous pouvons donc négliger $x$ par rapport à $e^x$ dans le dénominateur : $$\lim_{{x \to +\infty}} \frac{e^{2x}}{e^x + x} = \lim_{{x \to +\infty}} \frac{e^{2x}}{e^x} = \lim_{{x \to +\infty}} e^x = +\infty$$

4) $\lim_{{x \to +\infty}} \frac{x^3}{e^x}$

Lorsque $x \to +\infty$, la fonction exponentielle $e^x$ croît beaucoup plus rapidement que $x^3$. Nous pouvons utiliser la règle de L'Hôpital (dérivation répétée) pour évaluer cette limite : $$\lim_{{x \to +\infty}} \frac{x^3}{e^x} = \lim_{{x \to +\infty}} \frac{3x^2}{e^x} = \lim_{{x \to +\infty}} \frac{6x}{e^x} = \lim_{{x \to +\infty}} \frac{6}{e^x} = 0$$ Donc, la limite est $0$.

5) $\lim_{{x \to +\infty}} \ln(e^x + x) - x$

Pour cette limite, on utilise l'approximation de $\ln(e^x + x)$ pour $x \to +\infty$. Comme $e^x$ domine $x$, nous avons : $$\ln(e^x + x) \approx \ln(e^x) = x$$ Donc, la limite devient : $$\lim_{{x \to +\infty}} \left( \ln(e^x + x) - x \right) = \lim_{{x \to +\infty}} (x - x) = 0$$