Les fonctions numériques

Définition d'une Fonction

Définition :

Une fonction \( f \) est une relation qui associe à chaque élément \( x \) d'un ensemble \( E \) un unique élément \( f(x) \) d'un ensemble \( F \). On note :

\[ f: E \to F \]

où \( f(x) \) est l'image de \( x \) par \( f \). L'ensemble \( E \) est appelé domaine de définition de \( f \), et \( F \) est appelé codomaine.

Domaine et Codomaine

Domaine de Définition :

Le domaine de définition d'une fonction est l'ensemble des valeurs que peut prendre la variable indépendante \( x \). Il est crucial de connaître le domaine de définition pour éviter les valeurs qui ne sont pas permises dans la fonction.

Codomaine :

Le codomaine est l'ensemble des valeurs que peut prendre la fonction \( f(x) \). Il peut être plus large que l'ensemble des valeurs effectivement prises par \( f \), qui est appelé image de \( f \).

Exemple :

Considérons la fonction \( f(x) = \sqrt{x} \). Le domaine de définition est \( x \geq 0 \), car la racine carrée n'est pas définie pour les nombres négatifs. Le codomaine est \( y \geq 0 \) car la racine carrée d'un nombre réel non négatif est toujours non négative.

Propriétés des Fonctions

Propriétés :

Injectivité : Une fonction est injective si des éléments distincts du domaine ont des images distinctes. Autrement dit, si \( f(x_1) = f(x_2) \) implique \( x_1 = x_2 \).

Surjectivité : Une fonction est surjective si chaque élément du codomaine est l'image d'au moins un élément du domaine. En d'autres termes, pour chaque \( y \) dans \( F \), il existe un \( x \) dans \( E \) tel que \( f(x) = y \).

Bijectivité : Une fonction est bijective si elle est à la fois injective et surjective. Cela signifie que chaque élément du domaine correspond à un unique élément du codomaine et vice versa.

Théorème :

Une fonction \( f \) est bijective si et seulement si elle admet une fonction réciproque \( f^{-1} \) telle que :

\[ f(f^{-1}(x)) = x \quad \text{et} \quad f^{-1}(f(x)) = x \]

La fonction réciproque \( f^{-1} \) associe à chaque \( y \) dans \( F \) l'unique \( x \) dans \( E \) tel que \( f(x) = y \).

Généralités

Définition

Une fonction \( f \) est un procédé qui à tout nombre réel \( x \) associe un seul nombre réel \( y \).

On l’appelle la variable.

L’image de \( x \) par la fonction \( f \) se note \( f(x) \).

\( f \) est la fonction et se note \( f : x \rightarrow y \), ainsi bien \( y = f(x) \).

Si \( x_1 \) et \( x_2 \) sont des réels distincts, alors :

\( f(x_1) = y \)

\( f(x_2) = y' \)

Exemples

• Soit \( f(x) = x^2 + 1 \).
• \( f(0) = 0^2 + 1 = 1 \)
• \( f(2) = 2^2 + 1 = 4 + 1 = 5 \)
• \( f(-1) = (-1)^2 + 1 = 1 + 1 = 2 \)
• Soit \( R(x) = \frac{x}{10} \).
• \( R(10) = \frac{10}{10} = 1 \)
• Soit \( g(x) = \sqrt{x} \).
• \( g(0) = \sqrt{0} = 0 \)
• \( g(4) = \sqrt{4} = 2 \)

Domaine de définition d'une fonction

Définition

Le domaine (ensemble) de définition d'une fonction est l'ensemble des nombres réels \( x \) tels que \( f(x) \) existe. On le note \( D_f \).

\( D_f = \{ x \in \mathbb{R} \, | \, f(x) \, \text{existe} \} \)

Exemple

1. Soit \( f(x) = x^2 + 1 \).

Le domaine de définition est \( D_f = \mathbb{R} \).

2. Soit \( R(x) = \frac{1}{x} \).

Le domaine de définition est \( D_R = \{ x \in \mathbb{R} / x \neq 0 \} = \mathbb{R}^* \).

3. Soit \( g(x) = \sqrt{x} \).

Le domaine de définition est \( D_g = \{ x \in \mathbb{R} / x > 0 \} = \mathbb{R}^+ \).

En intervalle : \( D_g = [0, +\infty[ \)

Représentation graphique d'une fonction

Définition

]

Dans un repère orthonormé \((O, I, J)\), la représentation graphique (ou la courbe) d'une fonction \( f \) est l'ensemble des points \( M(x, f(x)) \), avec \( x \in D_f \). On la note \( \mathcal{C}_f \).

\( \mathcal{C}_f = \{ M(x, f(x)) / x \in D_f \} \)

Exemple

1. Soit \( f(x) = 2x + 1 \).

Voici les valeurs pour quelques points :

\( x \)	\( f(x) \)
-1	-1
0	1
1	3
2	5


2. Soit \( g(x) = \sqrt{x} \).

Voici les valeurs pour quelques points :

\( x \)	\( g(x) \)
0	0
1	1
4	2
9	3

Fonction paire, fonction impaire

Définition (Paire) 

On dit que \( f \) est une fonction paire si et seulement si, pour tout \( x \in D_f \), on a \( f(-x) = f(x) \). Dans ce cas, la courbe \( \mathcal{C}_f \) est symétrique par rapport à l'axe \( (Oy) \).

Exemple

Soit \( f(x) = x^2 + 1 \).

On a pour tout \( x \in D_f = \mathbb{R} \), \( f(-x) = (-x)^2 + 1 = f(x) \). Donc, la fonction est paire.

Voici les valeurs pour quelques points :

\( x \)	\( f(x) \)
-2	5
-1	2
0	1
1	2
2	5

Définition (Impaire)

On dit que \( f \) est une fonction impaire si et seulement si, pour tout \( x \in D_f \), on a \( f(-x) = -f(x) \).

Exemple

Soit \( f(x) = \frac{1}{x} \).

On a pour tout \( x \in D_f = \mathbb{R}^* \), \( f(-x) = -f(x) \). Donc, la fonction est impaire.

Voici les valeurs pour quelques points :

\( x \)	\( f(x) \)
-2	-0.5
-1	-1
-0.5	-2
0.5	2
1	1
2	0.5

Monotonie d'une fonction

Définition

Soit une fonction \( f \) définie sur un intervalle \( I \). On dit que \( f \) est croissante (strictement) sur \( I \) si et seulement si :

\[ \text{Pour tout } x \text{ et } y \text{ de } I, \text{ si } x \leq y \text{ alors } f(x) \leq f(y) \]

On dit que \( f \) est décroissante (strictement) sur \( I \) si et seulement si :

\[ \text{Pour tout } x \text{ et } y \text{ de } I, \text{ si } x \leq y \text{ alors } f(x) \geq f(y) \]

On dit que \( f \) est constante sur \( I \) si :

\[ \text{Pour tout } x \text{ et } y \text{ de } I, f(x) = f(y) \]

Exemple

Soit \( f(x) = \ln(x) - 1 \).

Montrons que \( f \) est croissante sur \( I = \mathbb{R}^+ \).

Soit \( x \) et \( y \) avec \( x \leq y \) dans \( \mathbb{R}^+ \).

On a \( \ln(x) \leq \ln(y) \), donc \( \ln(x) - 1 \leq \ln(y) - 1 \), ce qui prouve que \( f(x) \leq f(y) \).

Donc, \( f \) est une fonction croissante.

Restez connecté avec LexMath.com pour plus de ressources éducatives en mathématiques et pour améliorer vos compétences.