Définition d'une Fonction
Définition :
Une fonction \( f \) est une relation qui associe à chaque élément \( x \) d'un ensemble \( E \) un unique élément \( f(x) \) d'un ensemble \( F \). On note :
\[ f: E \to F \]
où \( f(x) \) est l'image de \( x \) par \( f \). L'ensemble \( E \) est appelé domaine de définition de \( f \), et \( F \) est appelé codomaine.
Domaine et Codomaine
Domaine de Définition :
Le domaine de définition d'une fonction est l'ensemble des valeurs que peut prendre la variable indépendante \( x \). Il est crucial de connaître le domaine de définition pour éviter les valeurs qui ne sont pas permises dans la fonction.
Codomaine :
Le codomaine est l'ensemble des valeurs que peut prendre la fonction \( f(x) \). Il peut être plus large que l'ensemble des valeurs effectivement prises par \( f \), qui est appelé image de \( f \).
Exemple :
Considérons la fonction \( f(x) = \sqrt{x} \). Le domaine de définition est \( x \geq 0 \), car la racine carrée n'est pas définie pour les nombres négatifs. Le codomaine est \( y \geq 0 \) car la racine carrée d'un nombre réel non négatif est toujours non négative.
Propriétés des Fonctions
Propriétés :
Théorème :
Une fonction \( f \) est bijective si et seulement si elle admet une fonction réciproque \( f^{-1} \) telle que :
\[ f(f^{-1}(x)) = x \quad \text{et} \quad f^{-1}(f(x)) = x \]
La fonction réciproque \( f^{-1} \) associe à chaque \( y \) dans \( F \) l'unique \( x \) dans \( E \) tel que \( f(x) = y \).
Généralités
Définition
Une fonction \( f \) est un procédé qui à tout nombre réel \( x \) associe un seul nombre réel \( y \).
\( f \) est la fonction et se note \( f : x \rightarrow y \), ainsi bien \( y = f(x) \).
Si \( x_1 \) et \( x_2 \) sont des réels distincts, alors :
Exemples
- Soit \( f(x) = x^2 + 1 \).
- \( f(0) = 0^2 + 1 = 1 \)
- \( f(2) = 2^2 + 1 = 4 + 1 = 5 \)
- \( f(-1) = (-1)^2 + 1 = 1 + 1 = 2 \)
- Soit \( R(x) = \frac{x}{10} \).
- \( R(10) = \frac{10}{10} = 1 \)
- Soit \( g(x) = \sqrt{x} \).
- \( g(0) = \sqrt{0} = 0 \)
- \( g(4) = \sqrt{4} = 2 \)
Domaine de définition d'une fonction
Définition
Le domaine (ensemble) de définition d'une fonction est l'ensemble des nombres réels \( x \) tels que \( f(x) \) existe. On le note \( D_f \).
\( D_f = \{ x \in \mathbb{R} \, | \, f(x) \, \text{existe} \} \)
Exemple
- Soit \( f(x) = x^2 + 1 \).
- Soit \( R(x) = \frac{1}{x} \).
- Soit \( g(x) = \sqrt{x} \).
Le domaine de définition est \( D_f = \mathbb{R} \).
Le domaine de définition est \( D_R = \{ x \in \mathbb{R} / x \neq 0 \} = \mathbb{R}^* \).
Le domaine de définition est \( D_g = \{ x \in \mathbb{R} / x > 0 \} = \mathbb{R}^+ \).
En intervalle : \( D_g = [0, +\infty[ \)
Représentation graphique d'une fonction
Définition
Dans un repère orthonormé \((O, I, J)\), la représentation graphique (ou la courbe) d'une fonction \( f \) est l'ensemble des points \( M(x, f(x)) \), avec \( x \in D_f \). On la note \( \mathcal{C}_f \).
\( \mathcal{C}_f = \{ M(x, f(x)) / x \in D_f \} \)
Exemple
- Soit \( f(x) = 2x + 1 \).
- Soit \( g(x) = \sqrt{x} \).
Voici les valeurs pour quelques points :
| \( x \) | \( f(x) \) |
|---|---|
| -1 | -1 |
| 0 | 1 |
| 1 | 3 |
| 2 | 5 |
Voici les valeurs pour quelques points :
| \( x \) | \( g(x) \) |
|---|---|
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 4 | 2 |
| 9 | 3 |
Fonction paire, fonction impaire
Définition (Paire)
On dit que \( f \) est une fonction paire si et seulement si, pour tout \( x \in D_f \), on a \( f(-x) = f(x) \). Dans ce cas, la courbe \( \mathcal{C}_f \) est symétrique par rapport à l'axe \( (Oy) \).
Exemple
Soit \( f(x) = x^2 + 1 \).
On a pour tout \( x \in D_f = \mathbb{R} \), \( f(-x) = (-x)^2 + 1 = f(x) \). Donc, la fonction est paire.
Voici les valeurs pour quelques points :
| \( x \) | \( f(x) \) |
|---|---|
| -2 | 5 |
| -1 | 2 |
| 0 | 1 |
| 1 | 2 |
| 2 | 5 |
Définition (Impaire)
On dit que \( f \) est une fonction impaire si et seulement si, pour tout \( x \in D_f \), on a \( f(-x) = -f(x) \).
Exemple
Soit \( f(x) = \frac{1}{x} \).
On a pour tout \( x \in D_f = \mathbb{R}^* \), \( f(-x) = -f(x) \). Donc, la fonction est impaire.
Voici les valeurs pour quelques points :
| \( x \) | \( f(x) \) |
|---|---|
| -2 | -0.5 |
| -1 | -1 |
| -0.5 | -2 |
| 0.5 | 2 |
| 1 | 1 |
| 2 | 0.5 |
Monotonie d'une fonction
Définition
Soit une fonction \( f \) définie sur un intervalle \( I \). On dit que \( f \) est croissante (strictement) sur \( I \) si et seulement si :
\[ \text{Pour tout } x \text{ et } y \text{ de } I, \text{ si } x \leq y \text{ alors } f(x) \leq f(y) \]
On dit que \( f \) est décroissante (strictement) sur \( I \) si et seulement si :
\[ \text{Pour tout } x \text{ et } y \text{ de } I, \text{ si } x \leq y \text{ alors } f(x) \geq f(y) \]
On dit que \( f \) est constante sur \( I \) si :
\[ \text{Pour tout } x \text{ et } y \text{ de } I, f(x) = f(y) \]
Exemple
Soit \( f(x) = \ln(x) - 1 \).
Montrons que \( f \) est croissante sur \( I = \mathbb{R}^+ \).
Soit \( x \) et \( y \) avec \( x \leq y \) dans \( \mathbb{R}^+ \).
On a \( \ln(x) \leq \ln(y) \), donc \( \ln(x) - 1 \leq \ln(y) - 1 \), ce qui prouve que \( f(x) \leq f(y) \).
Donc, \( f \) est une fonction croissante.
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