Géométrie dans l'Espace - 1Bac

1. Vecteurs dans l'Espace

Définition :

Un vecteur dans l'espace est un objet mathématique avec une direction et une norme. Il peut être représenté par une flèche dans un repère orthonormé.

Théorème :

Deux vecteurs sont égaux si et seulement si ils ont la même direction et la même norme.

Propriétés :

Le produit scalaire de deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) est donné par :

\[ \vec{u} \cdot \vec{v} = \| \vec{u} \| \| \vec{v} \| \cos \theta \]

La norme d'un vecteur \(\vec{u} = (u_1, u_2, u_3)\) est :

\[ \| \vec{u} \| = \sqrt{u_1^2 + u_2^2 + u_3^2} \]

Exemple :

Pour les vecteurs \(\vec{u} = (1, 2, 3)\) et \(\vec{v} = (4, 5, 6)\), le produit scalaire est :

\[ \vec{u} \cdot \vec{v} = 1 \cdot 4 + 2 \cdot 5 + 3 \cdot 6 = 32 \]

2. Droites et Plans

Définition :

Une droite dans l'espace est définie par une équation vectorielle :

\[ \vec{r} = \vec{a} + t\vec{d} \]

où \(\vec{a}\) est un point de la droite et \(\vec{d}\) est le vecteur directeur.

Théorème :

Deux droites sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.

Définition :

Un plan dans l'espace est défini par une équation de la forme :

\[ \alpha x + \beta y + \gamma z = d \]

où \((\alpha, \beta, \gamma)\) est un vecteur normal au plan.

Exemple :

Pour la droite \(\vec{r} = (1, 2, 3) + t(4, -1, 2)\) et la droite \(\vec{r}' = (2, 1, 4) + t(8, -2, 4)\), les vecteurs directeurs \((4, -1, 2)\) et \((8, -2, 4)\) sont colinéaires, donc les droites sont parallèles.

3. Angles et Distances

Définition :

L'angle entre deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) est donné par :

\[ \cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\| \vec{u} \| \| \vec{v} \|} \]

Théorème :

La distance entre un point \(P(x_0, y_0, z_0)\) et un plan défini par \(\alpha x + \beta y + \gamma z = d\) est :

\[ \text{Distance} = \frac{| \alpha x_0 + \beta y_0 + \gamma z_0 - d |}{\sqrt{\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2}} \]

Exemple :

Pour calculer l'angle entre \(\vec{u} = (1, 2, 3)\) et \(\vec{v} = (4, 5, 6)\), on utilise :

\[ \cos \theta = \frac{32}{\sqrt{14} \sqrt{77}} \approx 0.974 \]

La distance entre le point \(P(1, 2, 3)\) et le plan \(2x - y + 3z = 6\) est :

\[ \text{Distance} = \frac{|2 \cdot 1 - 1 \cdot 2 + 3 \cdot 3 - 6|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 3^2}} = \frac{1}{\sqrt{14}} \]

4. Solides dans l'Espace

Définition :

Les solides dans l'espace incluent les cubes, parallélépipèdes, cylindres, cônes et sphères.

Propriétés :

Volume d'un cube de côté \(a\) : \(V = a^3\).

Volume d'un parallélépipède avec longueurs d'arêtes \(a\), \(b\), \(c\) : \(V = a \cdot b \cdot c\).

Volume d'un cylindre avec hauteur \(h\) et base de rayon \(r\) : \(V = \pi r^2 h\).

Volume d'un cône avec hauteur \(h\) et base de rayon \(r\) : \(V = \frac{1}{3} \pi r^2 h\).

Volume d'une sphère de rayon \(r\) : \(V = \frac{4}{3} \pi r^3\).

Exemple :

Pour un cône avec un rayon de base de 3 unités et une hauteur de 5 unités, le volume est :

\[ V = \frac{1}{3} \pi (3^2) \cdot 5 = 15 \pi \]

5. Exercices

Exercice	Description
Exercice 1	Déterminez la distance entre le point \( (2, 3, 4) \) et le plan \( x + 2y - z = 5 \).
Exercice 2	Calculez le volume d'un parallélépipède dont les longueurs d'arêtes sont 3, 4 et 5 unités.
Exercice 3	Trouvez l'angle entre les vecteurs \( (1, 0, 0) \) et \( (0, 1, 1) \).

6. Notes Importantes

Remarque

Lors de la résolution des problèmes de géométrie dans l'espace, il est essentiel de bien maîtriser les propriétés des vecteurs et des équations des droites et plans. La pratique régulière des exercices est cruciale pour comprendre et appliquer les concepts de manière efficace.

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