1. Définitions
Point :
Un point est une entité géométrique sans dimension, représentée par une position précise dans l'espace. Il est généralement noté \( A(x, y, z) \) dans un espace tridimensionnel. Les points permettent de définir d'autres objets géométriques comme les segments de droite, les plans, et les solides.
Vecteur :
Un vecteur est une entité ayant à la fois une direction et une magnitude, mais sans position fixe. Il est représenté par une flèche dans l'espace. Un vecteur \( \vec{AB} \) allant du point \( A(x_1, y_1, z_1) \) au point \( B(x_2, y_2, z_2) \) est défini par les coordonnées \(\vec{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1)\).
Plan :
Un plan est une surface bidimensionnelle infinie qui s'étend dans toutes les directions. Il peut être défini par une équation linéaire \( ax + by + cz = d \), où \( (a, b, c) \) est un vecteur normal au plan. Les plans sont essentiels pour comprendre les intersections et les relations entre différentes surfaces dans l'espace.
Droite :
Une droite est une ligne infinie dans une seule dimension. Dans l'espace tridimensionnel, une droite peut être définie par une équation paramétrique ou en utilisant deux points distincts. Par exemple, la droite passant par les points \( A(x_1, y_1, z_1) \) et \( B(x_2, y_2, z_2) \) peut être exprimée comme \( \vec{r} = \vec{A} + t(\vec{B} - \vec{A}) \), où \( t \) est un paramètre réel.
2. Espaces et Plans
Espace :
L'espace est un ensemble tridimensionnel dans lequel les points, les lignes et les plans peuvent être situés. Il est souvent représenté par un système de coordonnées cartésiennes \( (x, y, z) \), où chaque point est décrit par ses coordonnées par rapport à trois axes perpendiculaires.
Plan :
Un plan peut être défini par une équation de la forme \( ax + by + cz = d \). Il est caractérisé par son vecteur normal \( \vec{n} = (a, b, c) \), qui est perpendiculaire à toutes les lignes contenues dans le plan. Un plan peut aussi être défini par trois points non colinéaires ou par une droite et un point non appartenant à cette droite.
Propriété :
Un plan est entièrement déterminé si on connaît un point qu'il contient et un vecteur normal au plan. Si deux plans sont parallèles, ils ont le même vecteur normal. Si deux plans sont perpendiculaires, leurs vecteurs normaux sont orthogonaux.
Remarque :
Les plans dans l'espace peuvent interagir de plusieurs façons : ils peuvent être parallèles, se couper le long d'une ligne, ou être confondus.
3. Théorèmes Fondamentaux
Théorème 1 : Distance entre deux points
La distance entre deux points \( A(x_1, y_1, z_1) \) et \( B(x_2, y_2, z_2) \) dans l'espace est donnée par :
\[ d(A, B) = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} \]
Preuve :
Pour calculer la distance entre les points \( A \) et \( B \), nous utilisons le théorème de Pythagore dans l'espace. La distance est la racine carrée de la somme des carrés des différences entre les coordonnées correspondantes.
Théorème 2 : Equation d'un plan
Un plan dans l'espace peut être défini par l'équation :
\[ ax + by + cz = d \]
où \( (a, b, c) \) est un vecteur normal au plan.
Preuve :
La preuve repose sur la définition d'un plan comme étant un ensemble de points qui satisfont l'équation linéaire donnée. Le vecteur normal au plan est orthogonal à toute direction contenue dans le plan.
Théorème 3 : Intersection de deux plans
Deux plans distincts se coupent le long d'une droite. Si les équations des plans sont données par :
\[ a_1x + b_1y + c_1z = d_1 \]
\[ a_2x + b_2y + c_2z = d_2 \]
la droite d'intersection peut être trouvée en résolvant le système de ces deux équations.
Théorème 4 : Distance entre un point et un plan
La distance \( D \) entre un point \( P(x_0, y_0, z_0) \) et un plan donné par l'équation \( ax + by + cz = d \) est donnée par :
\[ D = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 - d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \]
4. Propriétés et Exemples
Propriété 1 : Plan passant par un point
Un plan est déterminé si on connaît un point qu'il contient et un vecteur normal au plan. Par exemple, pour un point \( A(x_0, y_0, z_0) \) et un vecteur normal \( \vec{n} = (a, b, c) \), l'équation du plan est :
\[ a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0 \]
Exemple 1 :
Déterminons l'équation du plan passant par les points \( A(1, 2, 3) \), \( B(4, 5, 6) \), et \( C(7, 8, 9) \). Les vecteurs \( \vec{AB} \) et \( \vec{AC} \) sont :
\[ \vec{AB} = (3, 3, 3) \]
\[ \vec{AC} = (6, 6, 6) \]
Ces vecteurs sont colinéaires, donc les points sont alignés et ne définissent pas un plan unique.
Exemple 2 :
Calculons la distance entre le point \( P(2, 3, 4) \) et le plan \( 2x - 3y + 4z = 5 \). La distance est :
\[ D = \frac{|2 \cdot 2 - 3 \cdot 3 + 4 \cdot 4 - 5|}{\sqrt{2^2 + (-3)^2 + 4^2}} = \frac{|4 - 9 + 16 - 5|}{\sqrt{4 + 9 + 16}} = \frac{6}{\sqrt{29}} \]
5. Exercices Supplémentaires
| Exercice | Énoncé |
|---|---|
| Exercice 1 | Calculer la distance entre les points \( A(1, 1, 1) \) et \( B(4, 5, 6) \). |
| Exercice 2 | Déterminer l'équation du plan passant par les points \( (1, 2, 1) \), \( (2, 3, 4) \) et \( (3, 1, 2) \). |
| Exercice 3 | Calculer la distance entre le point \( P(3, 3, 3) \) et le plan \( x + y + z = 6 \). |
| Exercice 4 | Déterminer l'intersection des plans \( x + 2y - z = 1 \) et \( 2x - y + z = 3 \). |
| Exercice 5 | Calculer le volume du parallélépipède défini par les vecteurs \( \vec{u} = (1, 2, 3) \), \( \vec{v} = (4, 5, 6) \), et \( \vec{w} = (7, 8, 9) \). |
Questions Fréquemment Posées
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