En géométrie, une rotation est une transformation qui fait tourner une figure autour d'un point fixe appelé centre de rotation. La distance de chaque point de la figure au centre de rotation reste constante, mais la position des points change selon un angle donné. Les rotations sont essentielles pour comprendre divers concepts géométriques, tels que les symétries, les mouvements dans le plan, et la géométrie analytique.
2. Définition de la Rotation
Définition :
Une rotation de centre \( O \) et d'angle \( \theta \) est une transformation du plan qui associe à chaque point \( M \) un point \( M' \) tel que :
- \( OM = OM' \) (conservation des distances).
- L'angle \( \widehat{MOM'} = \theta \) est mesuré dans le sens direct (sens inverse des aiguilles d'une montre).
On note la rotation de centre \( O \) et d'angle \( \theta \) par \( \text{Rot}(O, \theta) \).
3. Propriétés d'une Rotation
- Conservation des distances : Pour tous points \( A \) et \( B \), la distance \( AB = A'B' \).
- Conservation des angles : Une rotation conserve les mesures d'angles entre deux segments.
- Conservation de l'alignement : Si trois points sont alignés, leurs images par rotation restent alignées.
- Invariance de la figure : Une rotation peut transformer une figure en elle-même si la figure est centrée sur le centre de rotation.
4. Calcul des Coordonnées Après Rotation
Soit un point \( M(x, y) \) dans le plan et une rotation de centre \( O(0, 0) \) et d'angle \( \theta \). Les nouvelles coordonnées \( (x', y') \) du point \( M' \) après rotation sont données par les formules suivantes :
| Formule de Rotation |
|---|
| \[ x' = x \cos(\theta) - y \sin(\theta) \] |
| \[ y' = x \sin(\theta) + y \cos(\theta) \] |
Ces formules montrent que la rotation d'un point dépend de ses coordonnées d'origine et de l'angle de rotation.
5. Cas Particuliers de Rotations
- Rotation de \(90^\circ\) : Si \( \theta = 90^\circ \), alors \( x' = -y \) et \( y' = x \).
- Rotation de \(180^\circ\) : Si \( \theta = 180^\circ \), alors \( x' = -x \) et \( y' = -y \).
- Rotation de \(270^\circ\) : Si \( \theta = 270^\circ \), alors \( x' = y \) et \( y' = -x \).
6. Théorèmes Relatifs à la Rotation
Théorème 1 : Invariance des Distances et des Angles
Pour une rotation \( \text{Rot}(O, \theta) \), la distance entre deux points \( A \) et \( B \) reste inchangée après la rotation. De plus, les angles formés par les segments sont également conservés.
\[ d(A', B') = d(A, B) \]
Théorème 2 : Invariance du Centre de Gravité
Le centre de gravité d'un triangle reste invariant par toute rotation. Si \( G \) est le centre de gravité du triangle \( ABC \), alors après rotation, l'image \( G' \) reste \( G \).
7. Exemples Pratiques de Rotations
Exemple 1 : Rotation d'un Point
Soit le point \( M(3, 4) \). Trouvons son image par une rotation de centre \( O(0, 0) \) et d'angle \( 45^\circ \).
Solution :
Pour une rotation de \( 45^\circ \), les coordonnées du point \( M' \) sont :
\[ x' = 3 \cos(45^\circ) - 4 \sin(45^\circ), \quad y' = 3 \sin(45^\circ) + 4 \cos(45^\circ) \]
En remplaçant \( \cos(45^\circ) = \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \), nous obtenons :
\[ x' = \frac{3\sqrt{2}}{2} - \frac{4\sqrt{2}}{2} = -\frac{\sqrt{2}}{2}, \quad y' = \frac{3\sqrt{2}}{2} + \frac{4\sqrt{2}}{2} = \frac{7\sqrt{2}}{2} \]
Donc, \( M'(-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{7\sqrt{2}}{2}) \).
Exemple 2 : Rotation d'une Droite
Considérons la droite \( d : y = 2x + 1 \). Trouvons l'équation de l'image de cette droite par une rotation de centre \( O(0, 0) \) et d'angle \( 90^\circ \).
Solution : Pour chaque point de la droite \( d \), l'image après rotation sera une nouvelle droite \( d' \) qui est perpendiculaire à \( d \). Si on prend un point générique \( M(x, 2x + 1) \) sur la droite \( d \), alors l'image après rotation de \( 90^\circ \) est \( M'(- (2x + 1), x) \). Ainsi, l'équation de la droite \( d' \) est donnée par :
\[ x = -2y - 1 \]
8. Exercices d'Application
Exercice 1 :
Trouvez l'image du point \( A(5, -3) \) par une rotation de centre \( O(0, 0) \) et d'angle \( 60^\circ \).
Exercice 2 :
Déterminez l'équation de l'image de la droite \( d : y = -x + 2 \) après une rotation de centre \( O(0, 0) \) et d'angle \( 180^\circ \).
Exercice 3 :
Montrez que le triangle formé par les points \( A(1, 0) \), \( B(0, 1) \), et \( C(-1, 0) \) est invariant par une rotation de \( 120^\circ \) autour de l'origine.
Questions Fréquemment Posées
Un plan de rotation est un plan géométrique où une transformation de rotation est appliquée. La rotation dans ce plan implique un angle et un centre de rotation autour desquels tous les points sont déplacés de manière circulaire. Le résultat est que chaque point du plan se déplace le long d'un cercle centré sur le centre de rotation.
Les trois transformations principales du plan sont :
- La Translation : Déplace chaque point du plan d'une certaine distance dans une direction donnée.
- La Rotation : Fait tourner chaque point autour d'un centre de rotation par un angle donné.
- La Réflexion : Retourne chaque point par rapport à une droite appelée axe de réflexion.
La rotation est une transformation géométrique qui fait tourner chaque point du plan autour d'un centre fixe par un angle donné. Le centre de rotation reste immobile, tandis que chaque point du plan décrit un arc de cercle autour de ce centre.
Le but de la rotation est de déplacer les points du plan de manière circulaire autour d'un centre tout en préservant les distances et les angles entre les points. C'est utile pour les symétries, les conceptions graphiques, et les analyses géométriques.
Les éléments essentiels de la rotation sont :
- Le Centre de Rotation : Point fixe autour duquel la rotation se produit.
- L'Angle de Rotation : Mesuré en degrés ou en radians, il détermine la quantité de rotation.
- Le Sens de Rotation : Peut être horaire ou anti-horaire.
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