Le Produit Scalaire

1. Définition

Définition :

Le produit scalaire (ou produit intérieur) de deux vecteurs \(\vec{u} = (u_1, u_2)\) et \(\vec{v} = (v_1, v_2)\) dans un espace euclidien à deux dimensions est défini comme :

\[ \vec{u} \cdot \vec{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2 \]

Dans un espace à trois dimensions, pour les vecteurs \(\vec{u} = (u_1, u_2, u_3)\) et \(\vec{v} = (v_1, v_2, v_3)\), le produit scalaire est :

\[ \vec{u} \cdot \vec{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2 + u_3 v_3 \]

2. Propriétés du Produit Scalaire

1. Commutativité

Le produit scalaire est commutatif, c'est-à-dire :

\[ \vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u} \]

2. Distributivité

Le produit scalaire est distributif par rapport à l'addition :

\[ \vec{u} \cdot (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot \vec{w} \]

3. Bilinéarité

Pour tout scalaire \(\alpha\), on a :

\[ (\alpha \vec{u}) \cdot \vec{v} = \alpha (\vec{u} \cdot \vec{v}) \]

4. Produit Scalaire d'un Vecteur avec lui-même

Le produit scalaire d'un vecteur avec lui-même donne le carré de sa norme :

\[ \vec{u} \cdot \vec{u} = \|\vec{u}\|^2 \]

3. Calcul du Produit Scalaire

Exemple :

Soit les vecteurs \(\vec{u} = (2, 3)\) et \(\vec{v} = (4, -1)\). Le produit scalaire de \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) est :

\[ \vec{u} \cdot \vec{v} = 2 \cdot 4 + 3 \cdot (-1) = 8 - 3 = 5 \]

4. Application du Produit Scalaire

1. Calcul de l'Angle entre Deux Vecteurs

Si \(\theta\) est l'angle entre les vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\), alors :

\[ \vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \|\vec{v}\| \cos \theta \]

On peut isoler \(\cos \theta\) comme suit :

\[ \cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\|\vec{u}\| \|\vec{v}\|} \]

Exemple :

Pour les vecteurs \(\vec{u} = (2, 3)\) et \(\vec{v} = (4, -1)\), nous avons :

\[ \|\vec{u}\| = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13} \]

\[ \|\vec{v}\| = \sqrt{4^2 + (-1)^2} = \sqrt{17} \]

\[ \cos \theta = \frac{5}{\sqrt{13} \sqrt{17}} \]

5. Exercices

Exercice	Description
Exercice 1	Calculez le produit scalaire des vecteurs \(\vec{a} = (1, 2)\) et \(\vec{b} = (3, -4)\).
Exercice 2	Déterminez l'angle entre les vecteurs \(\vec{u} = (3, 1)\) et \(\vec{v} = (1, 4)\).
Exercice 3	Pour les vecteurs \(\vec{u} = (5, -2)\) et \(\vec{v} = (2, 3)\), calculez le produit scalaire et la norme de chaque vecteur.
Exercice 4	Montrez que les vecteurs \(\vec{u} = (1, 0, 0)\) et \(\vec{v} = (0, 1, 0)\) sont orthogonaux.

6. Preuves

Preuve de la Propriété de Commutativité

Soit \(\vec{u} = (u_1, u_2)\) et \(\vec{v} = (v_1, v_2)\). Le produit scalaire \(\vec{u} \cdot \vec{v}\) est :

\[ \vec{u} \cdot \vec{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2 \]

De même, le produit scalaire \(\vec{v} \cdot \vec{u}\) est :

\[ \vec{v} \cdot \vec{u} = v_1 u_1 + v_2 u_2 \]

Étant donné que \(u_1 v_1 + u_2 v_2\) est identique à \(v_1 u_1 + v_2 u_2\), nous avons :

\[ \vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u} \]

Ceci prouve la commutativité du produit scalaire.

7. Notes Importantes

Remarque

Le produit scalaire est une notion fondamentale en géométrie et en algèbre linéaire. Il permet de mesurer l'angle entre deux vecteurs et est essentiel pour comprendre les concepts de projection et d'orthogonalité. Une bonne maîtrise du produit scalaire est cruciale pour la résolution de problèmes complexes en géométrie.

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