Les limites sont l'un des concepts fondamentaux en analyse mathématique. Elles permettent de comprendre le comportement d'une fonction lorsqu'une variable approche une certaine valeur. Les limites jouent un rôle essentiel dans la définition des dérivées, des intégrales et dans l'étude de la continuité des fonctions.
1. Définition de la Limite
Définition :
Soit \( f(x) \) une fonction définie dans un intervalle autour de \( a \), sauf peut-être en \( a \). On dit que \( \lim\limits_{x \to a} f(x) = L \) si, pour tout nombre \( \varepsilon > 0 \), il existe un nombre \( \delta > 0 \) tel que, pour tout \( x \) satisfaisant \( 0 < |x - a| < \delta \), on ait \( |f(x) - L| < \varepsilon \).
Remarque :
La notation \( \lim\limits_{x \to a} f(x) = L \) signifie que lorsque \( x \) se rapproche de \( a \), la valeur de \( f(x) \) se rapproche de \( L \).
2. Notations des Limites
- \( \lim\limits_{x \to a} f(x) = L \) : la limite de \( f(x) \) quand \( x \) tend vers \( a \) est \( L \).
- \( \lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = L \) : la limite de \( f(x) \) quand \( x \) tend vers \( +\infty \) est \( L \).
- \( \lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = L \) : la limite de \( f(x) \) quand \( x \) tend vers \( -\infty \) est \( L \).
- \( \lim\limits_{x \to a^+} f(x) \) : limite à droite, quand \( x \) approche \( a \) par des valeurs supérieures.
- \( \lim\limits_{x \to a^-} f(x) \) : limite à gauche, quand \( x \) approche \( a \) par des valeurs inférieures.
3. Limites à Droite et à Gauche
Il est parfois nécessaire de distinguer la façon dont une fonction approche une limite lorsqu'on s'approche d'un point par la droite ou par la gauche :
- \( \lim\limits_{x \to a^+} f(x) \) : limite à droite, quand \( x \) approche \( a \) par des valeurs supérieures.
- \( \lim\limits_{x \to a^-} f(x) \) : limite à gauche, quand \( x \) approche \( a \) par des valeurs inférieures.
Propriété :
Si \( \lim\limits_{x \to a^+} f(x) = L \) et \( \lim\limits_{x \to a^-} f(x) = L \), alors \( \lim\limits_{x \to a} f(x) = L \). Si ces limites sont différentes, alors la limite en \( a \) n'existe pas.
4. Théorèmes Fondamentaux sur les Limites
Théorème 1 : Limite d'une Somme
Si \( \lim\limits_{x \to a} f(x) = L \) et \( \lim\limits_{x \to a} g(x) = M \), alors :
\[ \lim\limits_{x \to a} (f(x) + g(x)) = L + M \]
Preuve :
Par la définition de la limite, pour tout \( \varepsilon > 0 \), il existe \( \delta_1 > 0 \) tel que si \( 0 < |x - a| < \delta_1 \), alors \( |f(x) - L| < \varepsilon/2 \), et il existe \( \delta_2 > 0 \) tel que si \( 0 < |x - a| < \delta_2 \), alors \( |g(x) - M| < \varepsilon/2 \). En prenant \( \delta = \min(\delta_1, \delta_2) \), nous avons :
\[ |(f(x) + g(x)) - (L + M)| \leq |f(x) - L| + |g(x) - M| < \varepsilon \]
Donc, \( \lim\limits_{x \to a} (f(x) + g(x)) = L + M \).
Théorème 2 : Limite d'un Produit
Si \( \lim\limits_{x \to a} f(x) = L \) et \( \lim\limits_{x \to a} g(x) = M \), alors :
\[ \lim\limits_{x \to a} (f(x) \cdot g(x)) = L \cdot M \]
Théorème 3 : Limite d'un Quotient
Si \( \lim\limits_{x \to a} f(x) = L \), \( \lim\limits_{x \to a} g(x) = M \) et \( M \neq 0 \), alors :
\[ \lim\limits_{x \to a} \left(\frac{f(x)}{g(x)}\right) = \frac{L}{M} \]
Théorème 4 : Limite d'une Fonction Composée
Si \( \lim\limits_{x \to a} g(x) = b \) et \( \lim\limits_{x \to b} f(x) = L \), alors :
\[ \lim\limits_{x \to a} f(g(x)) = L \]
5. Limites Remarquables
Limite Remarquable 1
\( \lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1 \)
Limite Remarquable 2
\( \lim\limits_{x \to 0} \frac{1 - \cos(x)}{x^2} = \frac{1}{2} \)
Limite Remarquable 3
\( \lim\limits_{x \to +\infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e \)
6. Formes Indéterminées et Techniques de Résolution
Les formes indéterminées telles que \( \frac{0}{0} \), \( \frac{\infty}{\infty} \), \( \infty - \infty \), \( 0 \times \infty \), \( 1^\infty \), \( 0^0 \), et \( \infty^0 \) nécessitent des techniques spéciales pour être résolues :
- Facteur commun et factorisation.
- Rationalisation.
- Changement de variable.
- Développement limité.
- Utilisation des limites remarquables.
Exemple de Résolution :
Calculons \( \lim\limits_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x - 3} \).
Solution : Nous avons une forme \( \frac{0}{0} \), donc nous devons factoriser :
\[ \lim\limits_{x \to 3} \frac{(x - 3)(x + 3)}{x - 3} = \lim\limits_{x \to 3} (x + 3) = 6 \]
7. Exercices Supplémentaires
| Exercice | Énoncé |
|---|---|
| Exercice 1 | Calculer \( \lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} \). |
| Exercice 2 | Calculer \( \lim\limits_{x \to \infty} \frac{3x^2 - 4x + 1}{2x^2 + 5} \). |
| Exercice 3 | Calculer \( \lim\limits_{x \to 1} \frac{x^3 - 1}{x - 1} \). |
| Exercice 4 | Calculer \( \lim\limits_{x \to \infty} \left(\frac{2x^2 - 3x + 4}{x^2 + 5x - 6}\right) \). |
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