Une transformation dans le plan est une opération qui associe à chaque point d'un plan un autre point, selon une règle précise. Les transformations courantes comprennent les translations, les rotations, les symétries, et les homothéties.
I) Symétrie Axiale et Symétrie Centrale, Translation et Homothétie
1. Symétrie Axiale
Définition de Symétrie Axiale
Soit \( \Delta \) une droite du plan.
La symétrie axiale d'axe \( \Delta \) est la transformation qui transforme tout point \( M \) du plan au point unique \( M' \) tel que \( \Delta \) est la médiatrice du segment \( [MM'] \).
La symétrie axiale d'axe \( \Delta \) est notée \( S_{\Delta} \).
Exemple :
Considérons une symétrie axiale par rapport à l'axe \( y \). Pour le point \( C(4, 5) \), l'image de \( C \) sera \( (-4, 5) \).
2. Symétrie Centrale
Définition de Symétrie Centrale
Soit \( \Omega \) un point du plan.
La symétrie centrale de centre \( \Omega \) est la transformation qui transforme tout point \( M \) du plan au point unique \( M' \) tel que \( \overrightarrow{MM'} = 2\overrightarrow{\Omega M} \).
La symétrie centrale de centre \( \Omega \) est notée \( S_{\Omega} \).
3. Translation
Définition de Translation
Soit \( \vec{u} \) un vecteur du plan.
La translation de vecteur \( \vec{u} \) est la transformation qui transforme tout point \( M \) du plan au point unique \( M' \) tel que \( \vec{u} = \overrightarrow{MM'} \).
La translation de vecteur \( \vec{u} \) est notée \( t_{\vec{u}} \).
Exemple :
Considérons une translation définie par le vecteur \( \vec{u} = (3, -2) \). La translation de \( A(1, 4) \) est :
\[ T_A = (1 + 3, 4 - 2) = (4, 2) \]
Le point \( A \) se déplace donc en \( (4, 2) \).
4. Homothétie
Définition de Homothétie
Soit \( \Omega \) un point du plan et \( k \) un nombre réel.
L'homothétie de centre \( \Omega \) et de rapport \( k \) est la transformation qui transforme tout point \( M \) du plan au point unique \( M' \) tel que \( \overrightarrow{\Omega M'} = k \cdot \overrightarrow{\Omega M} \).
L'homothétie de centre \( \Omega \) et de rapport \( k \) est notée \( h_{\Omega, k} \).
Exemple :
Considérons une homothétie de centre \( (0,0) \) avec un rapport de \( 2 \). Pour le point \( D(3, -1) \), on a :
\[ \begin{cases} x' = 2 \cdot 3 = 6 \\ y' = 2 \cdot (-1) = -2 \end{cases} \]
Le point \( D \) après homothétie est donc \( (6, -2) \).
II. Propriétés Caractéristiques
1° Homothétie
Soit \( k \in \mathbb{R} \). Pour une homothétie \( h_{\Omega,k} \), si \( M \) et \( N \) sont deux points tels que \( h(M) = M' \) et \( h(N) = N' \), alors :
\[ \overrightarrow{M'N'} = k \cdot \overrightarrow{MN} \]2° Symétrie Centrale
Pour une symétrie centrale, si \( k = -1 \), alors :
\[ \overrightarrow{M'N'} = -\overrightarrow{MN} \]3° Translation
Pour une translation \( t_{\vec{u}} \), on a :
\[ \overrightarrow{MM'} = \overrightarrow{NN'} \]III. Propriétés des Transformations
Points Invariants
- Symétrie centrale : Seul le centre de symétrie est invariant
- Symétrie axiale : Les points de l'axe sont invariants
- Translation : Aucun point n'est invariant si le vecteur est non nul
IV. Conservation des Propriétés
Translation
- Conserve l'alignement des points
- Conserve le milieu
- Conserve la distance
- Conserve les angles
- Conserve le parallélisme
Symétrie Centrale et Axiale
- Conservent l'alignement des points
- Conservent le milieu
- Conservent la distance
- Conservent les angles
- Conservent le parallélisme
Homothétie
- Conserve l'alignement des points
- Conserve le milieu
- Ne conserve pas les distances
- Conserve les angles
- Conserve le parallélisme
IV) Images des figures par les transformations
1) Image d'une figure par une Translation :
L’image d’une droite par une translation est une droite qui lui est parallèle.
L’image d’une demi-droite par une translation est une demi-droite qui lui est parallèle.
L’image d’un segment par une translation est un segment de même longueur.
L’image d’un cercle par une translation est un cercle de même rayon.
2) Image d'une figure par une symétrie centrale :
L’image d’une droite par une symétrie centrale est une droite qui lui est parallèle.
L’image d’une demi-droite par une symétrie centrale est une demi-droite qui lui est parallèle.
L’image d’un segment par une symétrie centrale est un segment de même longueur.
L’image d’un cercle par une symétrie centrale est un cercle de même rayon.
3) Image d'une figure par une symétrie axiale :
L’image d’une droite par une symétrie axiale est une droite homothétique qui lui est parallèle, c'est-à-dire que la droite est parallèle à l’axe de la symétrie.
L’image d’une demi-droite par une symétrie axiale est une demi-droite.
L’image d’un segment par une symétrie axiale est un segment de même longueur.
L’image d’un cercle par une symétrie axiale est un cercle de même rayon.
4) Image d'une figure par une homothétie :
L’image d’une droite par une homothétie est une droite qui lui est parallèle.
L’image d’une demi-droite par homothétie est une demi-droite qui lui est parallèle.
L’image d’un segment par homothétie est un segment.
L’image d’un cercle par homothétie est un cercle.
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