Trigonométrie Tronc Commun

La trigonométrie est la branche des mathématiques qui traite des relations entre les longueurs et les angles d'un triangle. Elle est principalement utilisée pour calculer les angles et les distances dans divers domaines tels que l'astronomie, l'ingénierie, la physique, l'architecture, etc.

Cercle Trigonométrique - Radians

1. Cercle Trigonométrique

Le cercle trigonométrique est un cercle de rayon \( r = 1 \) dans un repère orthonormé \((O, \vec{i}, \vec{j})\).

Définition

On appelle cercle trigonométrique le cercle de centre \( O \) et de rayon \( r = 1 \). Il donne le sens de parcours appliqué dans le sens direct (sens contraire des aiguilles d'une montre).

Conversion entre Radians et Degrés

Les relations entre les radians et les degrés sont données par :

\[ 2\pi \text{ radians} = 360^\circ \] \[ \pi \text{ radians} = 180^\circ \]

Par conséquent, pour convertir des degrés en radians, on utilise :

\[ \text{radians} = \frac{\pi}{180} \times \text{degrés} \]

2. Radians

Définition

Soit \( (C) \) le cercle trigonométrique. On appelle radian, noté "rad", la mesure de l'angle au centre qui intercepte un arc de longueur égale à celle du rayon du cercle.

Propriété

Si \( r \) est la mesure de l'angle \( IOM \) en radians, et \( l \) est la mesure de \( IEM \) en degrés, alors :

\[ l = \frac{180}{\pi} \cdot r \]

Exemple

Voici un tableau de conversion entre radians et degrés :

r (rad)	l (degré)
\(\frac{\pi}{6}\)	30°
\(\frac{7\pi}{6}\)	210°
\(\frac{5\pi}{4}\)	225°
\(\frac{\pi}{2}\)	90°
\(\frac{3\pi}{2}\)	270°

3. Abscisses Curvilignes

1. Définition

Soit \( (C) \) le cercle trigonométrique et \( M \) un point de \( (C) \). Toutes les mesures de l'arc \( IM \) s'appellent abscisse curviligne d'un point \( M \).

2. Conclusion

Si \( t \) est l'abscisse curviligne de point \( M \), on écrit \( M(t) \).
Pour toutes les abscisses curvilignes de \( M \) (avec \( k \in \mathbb{Z} \)), il existe une seule abscisse \( l \) :
\( l = t + 2k\pi \)

Exercice d'Application - Abscisses Curvilignes

1. Trouver l'abscisse curviligne principale de chaque point et représenter ces points dans le cercle trigonométrique

Soit les points suivants :
\( P_1 = \left( \frac{\pi}{3} \right) \), \( P_2 = \left( -\frac{5\pi}{3} \right) \), \( P_3 = \left( -\frac{3\pi}{4} \right) \), \( N = \left( 2\pi \right) \)
Méthode :
Soit \( t \) l'abscisse curviligne.
On calcule l'abscisse curviligne principale \( l \) :
\[ l = t + 2k\pi \quad \text{avec } k \in \mathbb{Z} \]

2. Calcul des abscisses curvilignes principales

Pour chaque point :
- \( P_1 = \left( \frac{\pi}{3} \right) \) :
\[ l_1 = \frac{\pi}{3} \]
- \( P_2 = \left( -\frac{5\pi}{3} \right) \) :
\[ l_2 = -\frac{5\pi}{3} + 2\pi = -\frac{5\pi}{3} + \frac{6\pi}{3} = \frac{\pi}{3} \]
- \( P_3 = \left( -\frac{3\pi}{4} \right) \) :
\[ l_3 = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi = -\frac{3\pi}{4} + \frac{8\pi}{4} = \frac{5\pi}{4} \]
- \( N = \left( 2\pi \right) \) :
\[ l_N = 2\pi \]

3. Représentation dans le cercle trigonométrique

Les points peuvent être représentés sur le cercle trigonométrique en utilisant leurs abscisses curvilignes principales :

• \( P_1 \) et \( P_2 \) sont à \( \frac{\pi}{3} \) (30°)
• \( P_3 \) est à \( \frac{5\pi}{4} \) (225°)
• \( N \) est à \( 2\pi \) (360°)

III - Les rapports trigonométriques

1. Définition

Le Cercle trigonométrique et soit \(M\) un point de \((C)\) et \(N\) l’intersection de \((OM)\) et \((I)\) la tangente de \((C)\) au point \(I\).

L’abscisse de point \(M\) s’appelle Cosinus de nombre réel \(n\) et on note \(\cos(n)\).

L’ordonnée du point \(M\) s’appelle Sinus de nombre réel \(n\) et on note \(\sin(n)\).

L’abscisse de point (\N\) dans de repère \((I ; k)\) s’appelle tangente de\(n\), on note \(\tan(n)\) (ou \(\operatorname{tg}(n)\)) tel que : \(n \neq \frac{\pi}{2} + k\pi \quad k \in \mathbb{Z}\).

2. Propriétés

Pour tout \(n \in \mathbb{R}\), on a :

\(\cos(n) \in [-1 ; 1]\)

\(\sin(n) \in [-1 ; 1]\)

\(\tan(n) \in \mathbb{R}\), si \(n \neq \frac{\pi}{2} + k\pi \quad k \in \mathbb{Z}\)

Formules trigonométriques :

\(\cos(n + 2k\pi) = \cos(n) \quad (k \in \mathbb{Z})\)

\(\sin(n + 2k\pi) = \sin(n) \quad (k \in \mathbb{Z})\)

\(\tan(n + 2k\pi) = \tan(n)\), si \(n \neq \frac{\pi}{2} + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})\)

\(\tan(n) = \frac{\sin(n)}{\cos(n)}, \quad n \neq \frac{\pi}{2} + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})\)

Remarque 

n	0	\(\frac{\pi}{6}\)	\(\frac{\pi}{4}\)	\(\frac{\pi}{3}\)	\(\frac{\pi}{2}\)
\(\sin(n)\)	0	\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)	\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)	\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)	1
\(\cos(n)\)	1	\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)	\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)	\(\frac{1}{2}\)	0
\(\tan(n)\)	0	\(\frac{1}{\sqrt{3}}\)	1	\(\sqrt{3}\)	indéfini

Relations Trigonométriques

Table des Relations

Relation	Formule
$$\cos(-\theta)$$	$$\cos(\theta)$$
$$\sin(-\theta)$$	$$-\sin(\theta)$$
$$\cos(\pi - \theta)$$	$$-\cos(\theta)$$
$$\sin(\pi - \theta)$$	$$\sin(\theta)$$
$$\cos(\theta + 2\pi)$$	$$\cos(\theta)$$
$$\sin(\theta + 2\pi)$$	$$\sin(\theta)$$

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