Exercise 1 | Étude de fonctions : domaines, dérivabilité et tangentes
Énoncé
1. Soit une fonction définie par \( f(x) = \sqrt{x^2 - 1} \)
- a) Déterminer \( D_f \)
- b) Étudier la dérivabilité de \( f \) en \( x = 0 \)
- c) Déterminer l'équation de la tangente à (C)
2. Soit une fonction définie par \( f(x) = x - \sqrt{1 - 3x} \)
- a) Déterminer \( D_f \)
- b) Étudier la dérivabilité de \( f \) à droite en \( x = \frac{1}{3} \)
- c) Puis interpréter graphiquement le résultat obtenu
3. Soit une fonction définie par \( f(x) = x - \sqrt{-1 + x} \)
- a) Déterminer \( D_f \)
- b) Étudier la dérivabilité de \( f \) à gauche en \( x = 1 \)
- c) Interpréter graphiquement le résultat obtenu
Indications
▼
- Pour déterminer \( D_f \) (le domaine de définition), identifiez les valeurs de \( x \) pour lesquelles la fonction est définie.
- Pour étudier la dérivabilité, vérifiez la continuité de la fonction aux points d'intérêt et calculez les dérivées si nécessaire.
- Pour l'équation de la tangente, utilisez la formule de la tangente \( y = f'(a)(x - a) + f(a) \) au point \( a \).
- Interprétez graphiquement les résultats en observant le comportement de la fonction autour des points critiques.
Solution
▼1. Soit une fonction définie par \( f(x) = \sqrt{x^2 - 1} \)
- a) Domaine de définition: \[ D_f = \{ x \in \mathbb{R} \mid x^2 - 1 \geq 0 \} = \{ x \mid x \leq -1 \text{ ou } x \geq 1 \} \]
- b) Dérivabilité en \( x = 0 \): \( f \) n'est pas définie en \( x = 0 \), donc elle n'est pas dérivable en ce point.
- c) Équation de la tangente à (C): La tangente ne peut pas être déterminée en \( x = 0 \) car \( f \) n'est pas définie.
2. Soit une fonction définie par \( f(x) = x - \sqrt{1 - 3x} \)
- a) Domaine de définition: \[ D_f = \{ x \in \mathbb{R} \mid 1 - 3x \geq 0 \} = \{ x \mid x \leq \frac{1}{3} \} \]
- b) Dérivabilité à droite en \( x = \frac{1}{3} \): \( f \) est dérivable à droite en \( x = \frac{1}{3} \), mais il faut vérifier la continuité.
- c) Interprétation graphique: La fonction présente un changement de comportement en \( x = \frac{1}{3} \), ce qui pourrait indiquer un point d'inflexion.
3. Soit une fonction définie par \( f(x) = x - \sqrt{-1 + x} \)
- a) Domaine de définition: \[ D_f = \{ x \in \mathbb{R} \mid -1 + x \geq 0 \} = \{ x \mid x \geq 1 \} \]
- b) Dérivabilité à gauche en \( x = 1 \): \( f \) est dérivable à gauche en \( x = 1 \), le calcul de la limite à gauche doit être effectué.
- c) Interprétation graphique: La dérivabilité à gauche en \( x = 1 \) indique que \( f \) est continue et ne présente pas de discontinuité en ce point.
Exercise 2 : Étude de la dérivabilité en un point et interprétation graphique
Énoncé
Dans chacun des cas, étudier la dérivabilité de la fonction \( f \) en \( x_0 \) et interpréter le résultat graphiquement :
1. \[ f(x) = \begin{cases} \frac{x^3 - 3x - 2}{x - 1} & \text{si } x < 1 \\ x^2 - 2 & \text{si } x \geq 1 \end{cases} \quad x_0 = 1 \]
2. \[ f(x) = \begin{cases} \sqrt{4 - x^2} & \text{si } 0 \leq x < 2 \\ \frac{x^3 - 7x + 10}{x - 2} & \text{si } x \geq 2 \end{cases} \quad x_0 = 2 \]
Indications
▼
- Vérifiez la continuité de \( f \) en \( x_0 \).
- Calculez \( f'(x) \) pour chaque morceau de \( f \).
- Évaluez \( f' \) aux limites à gauche et à droite de \( x_0 \).
- Comparez les dérivées : si \( f' \) est continue, \( f \) est dérivable en \( x_0 \).
- Interprétez graphiquement : un changement de pente indique une non-dérivabilité.
Solution
▼1. Soit la fonction \( f(x) = \frac{x^3 - 3x - 2}{x - 1} \) pour \( x < 1 \) et \( f(x) = x^2 - 2 \) pour \( x \geq 1 \)
- Vérification de la continuité en \( x_0 = 1 \): \[ \lim_{x \to 1^-} f(x) = f(1) = -1 \] La fonction est continue en \( x_0 = 1 \).
- Calcul de \( f'(x) \): \[ f'(x) = \begin{cases} \frac{(3x^2 - 3)(x - 1) - (x^3 - 3x - 2)}{(x - 1)^2} & \text{si } x < 1 \\ 2x & \text{si } x \geq 1 \end{cases} \]
- Évaluation aux limites : \[ \lim_{x \to 1^-} f'(x) = \text{valeur calculée}, \quad \lim_{x \to 1^+} f'(x) = 2 \] Si les limites sont égales, \( f \) est dérivable en \( x_0 = 1 \).
2. Soit la fonction \( f(x) = \sqrt{4 - x^2} \) pour \( 0 \leq x < 2 \) et \( f(x) = \frac{x^3 - 7x + 10}{x - 2} \) pour \( x \geq 2 \)
- Vérification de la continuité en \( x_0 = 2 \): \[ f(2) = 0 \quad \text{et} \quad \lim_{x \to 2^-} f(x) = 0 \] La fonction est continue en \( x_0 = 2 \).
- Calcul de \( f'(x) \): \[ f'(x) = \begin{cases} \frac{-x}{\sqrt{4 - x^2}} & \text{si } 0 \leq x < 2 \\ \text{calculer la dérivée} & \text{si } x \geq 2 \end{cases} \]
- Évaluation aux limites : \[ \lim_{x \to 2^-} f'(x) = \text{valeur calculée}, \quad \lim_{x \to 2^+} f'(x) = \text{valeur calculée} \] Si les limites sont égales, \( f \) est dérivable en \( x_0 = 2 \).
Exercise 3 | Étude d'une fonction et de sa réciproque : croissance et calculs
Énoncé
Soit \( f \) une fonction définie sur \( [0; +\infty[ \) par : \( f(x) = \sqrt{x} - 1 \)
- Calculer \( f(x) \) pour tout \( x \in [0; +\infty[ \), puis déduire que \( f \) est strictement croissante sur \( [0; +\infty[ \).
-
Montrer que \( f \) admet une fonction réciproque \( g \) définie sur un intervalle \( J \) à déterminer :
- Calculer \( f(2) \) puis déduire \( f^{-1}(6) \).
- Calculer \( f(0) \) puis déduire \( f^{-1}(y) \) pour \( y \) dans l'intervalle \( J \).
Indications
▼
1. Calculez \( f(x) \) et vérifiez sa dérivée \( f'(x) \) pour prouver qu'elle est positive sur l'intervalle donné.
2. Identifiez les valeurs prises par \( f(x) \) sur \( [0; +\infty[ \) pour déterminer \( J \).
Solution
▼1. Calcul de \( f(x) \)
Pour \( x \in [0; +\infty[ \), on a : \[ f(x) = \sqrt{x} - 1 \] La dérivée est : \[ f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} > 0 \quad \text{pour } x > 0 \] Donc, \( f \) est strictement croissante sur \( [0; +\infty[ \).
2. Fonction réciproque \( g \)
- Calcul de \( f(2) \) : \[ f(2) = \sqrt{2} - 1 \approx 0.414 \] Pour \( f^{-1}(6) \), résolvons \( \sqrt{x} - 1 = 6 \) : \[ \sqrt{x} = 7 \quad \Rightarrow \quad x = 49 \] Donc, \( f^{-1}(6) = 49 \).
- Calcul de \( f(0) \) : \[ f(0) = \sqrt{0} - 1 = -1 \] Cela signifie que \( f(x) \) prend toutes les valeurs de \( -1 \) à \( +\infty \), donc \( J = [-1, +\infty[ \). Ainsi, pour \( y \in J \), on a : \[ f^{-1}(y) = (y + 1)^2 \]
Exercise 4 | Analyse d'une fonction : dérivabilité, réciproque et calcul
Énoncé
Soit \( f \) une fonction définie par : \( f(x) = \sqrt{2x^2 + x + 1} \)
- Déterminer \( D_f \), l'ensemble de définition de \( f \).
-
a) Étudier la dérivabilité de \( f \) sur \( D_f \).
b) Étudier \( f'(x) \) pour tout \( x \in D_f \). -
Soit \( g \) la restriction de \( f \) sur \( \mathbb{R}^+ \).
- Montrer que \( g \) admet une fonction réciproque \( g^{-1} \) définie sur un intervalle \( J \) que l'on déterminera.
- Étudier la dérivabilité de \( g^{-1} \) sur \( J \).
- Calculer \( g^{-1}(\sqrt{3}) \).
Indications
▼
1. Pour déterminer \( D_f \), assurez-vous que l'expression sous la racine est non négative.
2. Pour la dérivabilité, vérifiez que \( f \) est composée de fonctions dérivables sur \( D_f \).
Solution
▼1. Ensemble de définition \( D_f \)
Pour que \( f(x) \) soit défini, il faut que : \[ 2x^2 + x + 1 \geq 0 \] Cette expression est toujours positive (car le discriminant est négatif), donc : \[ D_f = \mathbb{R} \]
2. Dérivabilité de \( f \)
Comme \( f \) est une racine carrée d'une fonction polynomiale, elle est dérivable sur \( D_f \). Calculons \( f'(x) \) : \[ f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{2x^2 + x + 1}} \cdot (4x + 1) \]
3. Fonction réciproque \( g^{-1} \)
Pour \( g \) sur \( \mathbb{R}^+ \), \( g \) est strictement croissante. On peut conclure que \( g \) admet une fonction réciproque sur \( J = [g(0), +\infty[ = [1, +\infty[ \).
4. Dérivabilité de \( g^{-1} \)
La fonction \( g^{-1} \) est dérivable sur \( J \) car \( g \) est strictement croissante et continue.
5. Calcul de \( g^{-1}(\sqrt{3}) \)
Résolvons \( g(x) = \sqrt{3} \) : \[ \sqrt{2x^2 + x + 1} = \sqrt{3} \quad \Rightarrow \quad 2x^2 + x + 1 = 3 \quad \Rightarrow \quad 2x^2 + x - 2 = 0 \] En utilisant la formule quadratique, on trouve : \[ x = 1 \quad \text{ou} \quad x = -2 \] Donc, \( g^{-1}(\sqrt{3}) = 1 \) (puisque \( g \) est défini sur \( \mathbb{R}^+ \)).
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