Les Puissances Cours 3ème Année Collège

I- Puissance d’un nombre rationnel :

1- Puissance à exposant positif 

a- Définition 

Soit \(a\) un nombre rationnel non nul, et \(n\) est un entier naturel non nul :

\(a^n = a \times a \times a \times \dots \times a\) (n facteurs)

\(a\) est la base de la puissance et \(n\) est l’exposant de la puissance.

b- Cas particuliers 

• Si \(n = 1\), alors : \(a^1 = a\)
• Si \(n = 0\) et \(a \neq 0\), alors : \(a^0 = 1\)
• Si \(n \neq 0\) et \(a = 0\), alors : \(0^n = 0\)
• \(0^0\) n’existe pas.

\(a^2\) se lit : a exposant 2 ou a puissance 2 ou a au carré

\(a^3\) se lit : a exposant 3 ou a puissance 3 ou a au cube

c- Exemples 

• \((-5)^2 = 25\)
• \(\left(-\frac{2}{3}\right)^3 = -\frac{8}{27}\)
• \(-4^2 = -16\)
• \(\left(\frac{11}{6}\right)^0 = 1\)
• \((-2022)^1 = -2022\)

2- Puissance à exposant négatif 

a- Définition 

Soient \(x\) et \(\frac{a}{b}\) deux nombres rationnels non nuls, et \(n\) est un entier naturel non nul :

\(x^{-n} = \frac{1}{x^n}\) et \(\left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \frac{(b)}{(a)^n}\)

b- Exemples 

• \(2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}\)
• \(\left(-\frac{2}{3}\right)^{-2} = \frac{9}{4}\)

c- Exercice 

Calculer :

• \(2^3\)
• \((-5)^{-2}\)
• \(\left(\frac{4}{3}\right)^2\)
• \(\left(\frac{2}{-3}\right)^{-3}\)
• \(-7421^0\)
• \(\left(-\frac{9}{7}\right)^{-2}\)
• \(\left(-\frac{1}{2}\right)^5\)
• \(-2021^1\)
• \(\left(\frac{5}{3}\right)^{-4}\)

II- Signe d’une puissance de base négative 

a- Définition 

Le signe d’une puissance est négatif, si la base est négative et l’exposant soit un nombre impair.

Le signe d’une puissance d’un nombre décimal relatif est positif dans les autres cas.

b- Exemples 

• \(\left(-9\right)^4\) est positive car l’exposant est pair
• \(\left(\frac{8}{11}\right)^3\) est positive car la base est positive
• \(\left(-\frac{6}{13}\right)^7\) est négative car la base est négative et l’exposant est impair

c- Exercice 

Déterminer le signe de chacune des puissances suivantes :

• \(\left(-\frac{9}{5}\right)^{10}\)
• \(\left(\frac{3}{-14}\right)^9\)
• \(\left(-\frac{4}{5}\right)^{22}\)
• \(\left(-\frac{1}{8}\right)^8 \times \left(-\frac{5}{9}\right)^3\)
• \(-\left(-\frac{4}{7}\right)^{22}\)

III- Les opérations sur les puissances 

a- Définition 

Soient \(a\) et \(b\) deux nombres décimaux relatifs non nuls, et \(m\) et \(n\) deux nombres entiers naturels.

• \(a^m \times a^n = a^{m+n}\)
• \(a^m \times b^m = (a \times b)^m\)
• \(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\)
• \(\frac{a^m}{b^m} = \left(\frac{a}{b}\right)^m\)
• \((a^m)^n = a^{m \times n}\)

(Puissance de puissance)

b- Exemples 

Écrire sous forme d’une puissance :

• \(\left(-2\right)^4 \times \left(\frac{2}{9}\right)^{10} \div \left(\frac{1}{2}\right)^6\)
• \(\left(\frac{-5}{3}\right)^4\)
• \(\frac{\left(4\right)^3}{\left(-3\right)^3} = \frac{\left(-2\right)^5}{\left(\frac{4}{3}\right)^7}\)
• \(\frac{\left(3\right)^{11}}{\left(-9\right)^{2}}\)

c- Exercice 

1. Calculer les puissances suivantes :

   • \(A = \frac{-1}{2} \times \left(-\frac{1}{2}\right)^{-3}\)
   • \(B = \frac{(11)^{-4}}{(11)^4}\)
   • \(C = \frac{\left(\frac{2}{3}\right)^3}{\left(\frac{5}{8}\right)^5} \times 57^{4} = -2021^{1}\)
   • \(D = \frac{5}{3}^4\)

2. Soient \(a\) et \(b\) deux nombres rationnels non nuls, écrire sous forme d’une puissance les expressions suivantes :

   • \(A = a^{-4} \times a^3 \times \frac{1}{a^{-7}}\)
   • \(B = \frac{\left(a^5 \times a\right)^{-2}}{a^{b}}\)
   • \(C = \frac{\left(a \times b^5\right)^3 \times a^{a}}{a^{5}}\)

IV- Les puissances de 10 

1- Propriété 

Soit \(n\) un nombre entier naturel.

• \(10^n = 1\underbrace{000\ldots000}_{n \text{ de zéros}}\)
• \(10^{-n} = 0,000\ldots0001\) (n zéros après la virgule)

Exemples 

• \(10^1 = 10\)
• \(10^2 = 100\)
• \(10^6 = 1000000\)
• \(10^{-1} = 0,1\)
• \(10^{-2} = 0,01\)
• \(10^{-6} = 0,000001\)

2- L’écriture scientifique d’un nombre décimal relatif 

Soient \(a\) un nombre décimal relatif et \(n\) un entier naturel. Toute écriture sous forme \(x = a \times 10^n\) et \(x = a \times 10^n\) est appelée écriture scientifique tel que : \(1 \leq a < 10\).

Exemples 

• \(A = 57462\)
• \(B = -0,008657\)
• \(C = -642,7 \times 10^{-5}\)
• \(D = 0,00134 \times 10^{-4}\)
• \(E = -45,1 \times 10^{-3} \times 2,03 \times 10^8\)

Admin Control Panel

Theme CustomizerEdit Theme HTMLStaticsLayoutCommentsPagesPostsSettingsEdit This Post