I - La Racine Carrée d’un Nombre Réel Positif
Définition
La racine carrée d'un nombre réel positif \( c \) est le nombre réel positif dont le carré est égal à \( c \) noté \( \sqrt{c} \). Le symbole \( \sqrt{} \) est appelé "radical".
Résultat
Si \( a \) est un nombre réel positif :
- \( \sqrt{a^2} = a \)
- \( \sqrt{9} = 3 \)
- \( \sqrt{49} = 7 \)
- \( \sqrt{a} \cdot \sqrt{a} = a \)
Exemple
Si \( a \) (a positif) alors :
\( \sqrt{a^2} = a \)
Propriété
Si \( a \) (a positif) alors :
\( \sqrt{a} \) est le nombre positif dont le carré est \( a \).
Remarques
La racine carrée d'un nombre négatif n'est pas un réel.
La racine carrée d'un nombre n'est jamais égale à un nombre négatif.
II - Résolution de l'Équation : \( x^2 = a \)
Règle
1. Si \( a > 0 \) : L'équation admet deux solutions \( \sqrt{a} \) et \( -\sqrt{a} \).
2. Si \( a = 0 \) : L'équation admet une unique solution \( 0 \).
3. Si \( a < 0 \) : L'équation n'admet pas de solution.
Exercice d'application
Résoudre les équations suivantes :
- 1) \( x^2 = 4 \)
- 2) \( x^2 = 0 \)
- 3) \( x^2 = -1 \)
Solution
1) Pour \( x^2 = 4 \) :
Alors \( x = \pm \sqrt{4} = \pm 2 \).
2) Pour \( x^2 = 0 \) :
Alors \( x = \sqrt{0} = 0 \).
3) Pour \( x^2 = -1 \) :
Cette équation n'admet pas de solutions réelles.
III - Les Opérations sur les Racines Carrées
Racine Carrée et Produit
Propriété 1
Soient \( a \) et \( b \) deux nombres réels positifs :
\( \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab} \)
Exemples :
- \( \sqrt{125} = \sqrt{25 \times 5} = 5\sqrt{5} \)
- \( \sqrt{36} = 6 \)
- \( \sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3} \)
Propriété 2
Soient \( a \) et \( b \) deux nombres réels positifs :
\( \sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \)
Exemples :
- \( A = 96 = 4 \cdot 24 = 4 \cdot 4 \cdot 6 \) donc \( \sqrt{96} = 4 \sqrt{6} \)
- \( B = 16 \cdot 3 \cdot 6 = 4^2 \cdot 6 \) donc \( \sqrt{B} = 4 \sqrt{6} \)
- \( C = 42 \cdot 3 \cdot 6 = 3^2 \cdot 6 \) donc \( \sqrt{C} = 3 \sqrt{6} \)
Racine Carrée et Division
Propriété 1
Soient \( a \) et \( b \) deux nombres réels positifs et \( b \neq 0 \) :
\( \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \)
Exemples :
- \( \sqrt{4} = 2 \)
- \( \sqrt{16} = 4 \)
- \( \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2} \)
Attention :
Pour \( a < 0 \) : \( \sqrt{a} \) n'est pas défini dans les réels.
Racines Carrées et puissances
Propriété 2
Soit \( k \) un nombre réel positif et \( n \) un nombre entier naturel :
\( \sqrt{k^2} = k \)
Racines Carrées et Identités Remarquables
Définition
Développer une expression signifie qu'on l'écrit sous forme de somme.
Exemple : \( \sqrt{(a + b)^2} = a + b \)
Identités Remarquables
Pour tout nombre réel \( x \) et \( y \) :
- \( (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 \)
- \( (x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2 \)
- \( x^2 - y^2 = (x - y)(x + y) \)
Exemples
- \( \sqrt{(3 + 2)^2} = 5 \)
- \( \sqrt{(4 - 1)^2} = 3 \)
- \( \sqrt{(5^2 - 3^2)} = \sqrt{16} = 4 \)
IV - Rendre un Dénominateur Rationnel
Propriété 1
Soient \( a \) et \( b \) deux nombres réels positifs et \( b \neq 0 \) :
Pour rationaliser un dénominateur de la forme \( \frac{1}{\sqrt{b}} \), on utilise :
\( \frac{1}{\sqrt{b}} = \frac{\sqrt{b}}{b} \) (avec \( k \neq 0 \))
Exemples :
- \( \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \)
- \( \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} \)
- \( \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5} \)
Propriété 2 (Le Conjugué)
Pour supprimer le radical au dénominateur, on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué :
Le conjugué de \( a + b \) est \( a - b \), et le conjugué de \( a - b \) est \( a + b \).
Donc, pour deux nombres réels positifs non nuls :
\( \frac{a}{\sqrt{b} + c} \cdot \frac{\sqrt{b} - c}{\sqrt{b} - c} = \frac{a(\sqrt{b} - c)}{b - c^2} \)
Exemples :
- \( \frac{7}{\sqrt{2} + 1} \cdot \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2} - 1} = \frac{7(\sqrt{2} - 1)}{2 - 1} = 7(\sqrt{2} - 1) \)
- \( \frac{5}{\sqrt{3} + 2} \cdot \frac{\sqrt{3} - 2}{\sqrt{3} - 2} = \frac{5(\sqrt{3} - 2)}{3 - 4} = -5(\sqrt{3} - 2) \)
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