les Suites Numériques Exercices Corrigés 1ère BAC

Exercise 1 : Étude d'une suite définie par récurrence et démonstration de croissance

Énoncé

Soit la suite \( (u_n) \) définie par \( u_0 = 5 \) et \( u_{n+1} = 3u_n - 4 \).

1. Calculer les termes \( u_1 \), \( u_2 \) et \( u_3 \).
2. Montrer par récurrence que \( u_n > 2 \) pour tout \( n \in \mathbb{N} \).
3. Montrer que \( (u_n) \) est croissante.

Indications

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Pour la question 1, utilisez la relation de récurrence pour calculer chaque terme en fonction du précédent.

Pour la question 2, appliquez une démonstration par récurrence en posant une hypothèse pour \( u_k > 2 \) et en montrant que \( u_{k+1} > 2 \).

Pour la question 3, montrez que \( u_{n+1} > u_n \) en calculant la différence \( u_{n+1} - u_n \) et en vérifiant sa positivité.

Solution

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1. Calcul des termes \( u_1 \), \( u_2 \) et \( u_3 \)

En utilisant la relation de récurrence :

• \( u_1 = 3 \times u_0 - 4 = 3 \times 5 - 4 = 15 - 4 = 11 \)
• \( u_2 = 3 \times u_1 - 4 = 3 \times 11 - 4 = 33 - 4 = 29 \)
• \( u_3 = 3 \times u_2 - 4 = 3 \times 29 - 4 = 87 - 4 = 83 \)

Donc, les termes sont \( u_1 = 11 \), \( u_2 = 29 \) et \( u_3 = 83 \).

2. Démonstration que \( u_n > 2 \) pour tout \( n \in \mathbb{N} \)

On procède par récurrence :

• Initialisation : Pour \( n = 0 \), on a \( u_0 = 5 > 2 \), donc la propriété est vraie au rang 0.
• Hérédité : Supposons que pour un entier \( k \), \( u_k > 2 \). Montrons que \( u_{k+1} > 2 \). \[ u_{k+1} = 3u_k - 4 \] Comme \( u_k > 2 \), alors \( 3u_k > 6 \), donc \( 3u_k - 4 > 2 \). Ainsi, \( u_{k+1} > 2 \).

Par récurrence, on en déduit que \( u_n > 2 \) pour tout \( n \in \mathbb{N} \).

3. Démonstration que \( (u_n) \) est croissante

Calculons la différence \( u_{n+1} - u_n \) :

\[ u_{n+1} - u_n = 3u_n - 4 - u_n = 2u_n - 4 \]

Comme \( u_n > 2 \), alors \( 2u_n > 4 \), donc \( u_{n+1} - u_n > 0 \). Ainsi, la suite \( (u_n) \) est croissante.

Exercise 2: Étude de suites géométriques - calculs de sommes et expressions des termes

Énoncé

Soit \( (u_n) \) une suite géométrique de raison \( q = 3 \) et de premier terme \( u_1 = -2 \).

1. Calculer la somme \( S = u_1 + u_2 + \cdots + u_{10} \).
2. Soit \( (v_n) \) une suite géométrique de raison \( q = \frac{1}{2} \) telle que \( v_3 = 5 \).
• Déterminer l’expression de \( v_n \) en fonction de \( n \).
• Calculer la somme \( S' = v_3 + v_4 + \cdots + v_{15} \).

Indications

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Pour la première question, utilisez la formule de la somme des premiers termes d'une suite géométrique : \( S = u_1 \frac{1 - q^n}{1 - q} \).

Pour la deuxième question, trouvez \( v_1 \) en fonction de \( v_3 \) et utilisez la formule générale d'une suite géométrique pour exprimer \( v_n \).

Pour la somme \( S' \), utilisez également la formule de la somme des termes consécutifs d'une suite géométrique.

Solution

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1. Calcul de la somme \( S = u_1 + u_2 + \cdots + u_{10} \)

La suite \( (u_n) \) est géométrique de raison \( q = 3 \) et de premier terme \( u_1 = -2 \).

La somme des \( n \) premiers termes d'une suite géométrique est donnée par : \[ S = u_1 \frac{1 - q^n}{1 - q} \]

En remplaçant \( u_1 = -2 \), \( q = 3 \), et \( n = 10 \), on obtient : \[ S = -2 \frac{1 - 3^{10}}{1 - 3} = -2 \frac{1 - 59049}{-2} = -2 \times 29524.5 = 59049 \]

Donc, \( S = 59049 \).

2. Calcul de la somme \( S' = v_3 + v_4 + \cdots + v_{15} \)

La suite \( (v_n) \) est géométrique de raison \( q = \frac{1}{2} \) et on sait que \( v_3 = 5 \).

a) Détermination de \( v_n \) en fonction de \( n \)

La formule générale d’une suite géométrique est : \[ v_n = v_3 \cdot q^{n-3} \]

En remplaçant \( v_3 = 5 \) et \( q = \frac{1}{2} \), on obtient : \[ v_n = 5 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{n-3} \]

b) Calcul de la somme \( S' = v_3 + v_4 + \cdots + v_{15} \)

Pour calculer cette somme, nous utilisons la formule de la somme d’une suite géométrique : \[ S' = v_3 \frac{1 - q^{15-3+1}}{1 - q} \]

En remplaçant \( v_3 = 5 \), \( q = \frac{1}{2} \), et \( n = 13 \), on obtient : \[ S' = 5 \frac{1 - \left(\frac{1}{2}\right)^{13}}{1 - \frac{1}{2}} = 5 \frac{1 - \frac{1}{8192}}{\frac{1}{2}} = 5 \times 2 \times \left(1 - \frac{1}{8192}\right) \] \[ = 10 \times \left(1 - \frac{1}{8192}\right) \approx 10 \times 0.99987793 = 9.9987793 \]

Donc, \( S' \approx 9.9987793 \).

Exercise 3: Étude d'une suite numérique - termes, récurrence et somme

Énoncé

Soit \( (u_n) \) une suite numérique définie par : \[ u_0 = 2 \quad \text{et} \quad u_{n+1} = \frac{3}{2} u_n + 1 \]

On pose \( v_n = u_n + 2 \).

1. Calculer \( u_1 \) et \( v_0 \).
2. Démontrer que \( (v_n) \) est une suite géométrique.
3. Exprimer \( v_n \) en fonction de \( n \) et en déduire \( u_n \) en fonction de \( n \).
4. On pose \( S_n = v_0 + v_1 + \cdots + v_n \). Calculer \( S_n \) en fonction de \( n \).

Indications

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Pour la première question, appliquez la relation de récurrence pour obtenir \( u_1 \) et utilisez la définition de \( v_n \) pour calculer \( v_0 \).

Pour la deuxième question, vérifiez que la relation de récurrence de \( (v_n) \) est celle d'une suite géométrique.

Utilisez la formule de la suite géométrique pour exprimer \( v_n \) et en déduire \( u_n \).

Pour la somme \( S_n \), utilisez la formule de la somme des termes d'une suite géométrique.

Solution

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1. Calcul de \( u_1 \) et \( v_0 \)

En utilisant la relation de récurrence : \[ u_1 = \frac{3}{2} \times u_0 + 1 = \frac{3}{2} \times 2 + 1 = 3 + 1 = 4 \]

En utilisant la définition de \( v_n \) : \[ v_0 = u_0 + 2 = 2 + 2 = 4 \]

Donc, \( u_1 = 4 \) et \( v_0 = 4 \).

2. Démonstration que \( (v_n) \) est une suite géométrique

Nous avons \( v_n = u_n + 2 \) et \( u_{n+1} = \frac{3}{2} u_n + 1 \).

En ajoutant 2 des deux côtés de la relation de récurrence de \( (u_n) \), on obtient : \[ v_{n+1} = u_{n+1} + 2 = \frac{3}{2} u_n + 1 + 2 = \frac{3}{2} (u_n + 2) = \frac{3}{2} v_n \]

Donc, \( (v_n) \) est une suite géométrique de raison \( \frac{3}{2} \).

3. Expression de \( v_n \) en fonction de \( n \) et déduction de \( u_n \)

Comme \( (v_n) \) est une suite géométrique de premier terme \( v_0 = 4 \) et de raison \( \frac{3}{2} \), on a : \[ v_n = v_0 \left( \frac{3}{2} \right)^n = 4 \left( \frac{3}{2} \right)^n \]

Étant donné que \( v_n = u_n + 2 \), on en déduit : \[ u_n = v_n - 2 = 4 \left( \frac{3}{2} \right)^n - 2 \]

4. Calcul de \( S_n = v_0 + v_1 + \cdots + v_n \) en fonction de \( n \)

La somme des \( n+1 \) premiers termes d'une suite géométrique est donnée par : \[ S_n = v_0 \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q} \]

En remplaçant \( v_0 = 4 \) et \( q = \frac{3}{2} \), on obtient : \[ S_n = 4 \frac{1 - \left( \frac{3}{2} \right)^{n+1}}{1 - \frac{3}{2}} = 4 \frac{1 - \left( \frac{3}{2} \right)^{n+1}}{-\frac{1}{2}} = -8 \left( 1 - \left( \frac{3}{2} \right)^{n+1} \right) \] \[ = 8 \left( \left( \frac{3}{2} \right)^{n+1} - 1 \right) \]

Donc, \( S_n = 8 \left( \left( \frac{3}{2} \right)^{n+1} - 1 \right) \).

Exercise 4: Étude d'une suite numérique - calculs, récurrence et limite

Énoncé

Soit la suite \( (u_n) \) définie par \( u_0 = 1 \) et \[ u_{n+1} = \frac{u_n}{2} + 1 \]

1. Calculer les termes \( u_1 \) et \( u_2 \).
2. Montrer par récurrence que \( ( \forall n \in \mathbb{N} ) : u_n < 2 \).
3. Étudier la monotonie de la suite \( (u_n) \).
4. Soit la suite \( (v_n) \) telle que pour tout \( n \in \mathbb{N} \), \( v_n = u_n - 2 \).
   • a) Calculer \( v_0 \), \( v_1 \) et \( v_2 \).
   • b) Calculer \( v_{n+1} \) en fonction de \( v_n \). En déduire que \( (v_n) \) est une suite géométrique.
   • c) Exprimer \( v_n \) en fonction de \( n \).

5. En déduire \( u_n \) en fonction de \( n \).
6. On pose \( S_n = u_0 + u_1 + \cdots + u_n \).
   • a) Calculer la somme \( S_n \) en fonction de \( n \).

Indications

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Pour la question 1, utilisez la relation de récurrence pour obtenir \( u_1 \) et \( u_2 \).

Pour la question 2, effectuez une démonstration par récurrence pour montrer que \( u_n < 2 \).

Pour la question 3, utilisez la définition de monotonie avec la relation de récurrence.

Pour la question 4, calculez les premiers termes de \( v_n \) et vérifiez la relation géométrique.

Pour la question 5, exprimez \( u_n \) en fonction de \( v_n \) en utilisant la solution géométrique trouvée.

Pour la somme, utilisez la formule de somme d'une suite géométrique si nécessaire.

Solution

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1. Calcul de \( u_1 \) et \( u_2 \)

En utilisant la relation de récurrence : \[ u_1 = \frac{u_0}{2} + 1 = \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2} \] \[ u_2 = \frac{u_1}{2} + 1 = \frac{3}{4} + 1 = \frac{7}{4} \]

Donc, \( u_1 = \frac{3}{2} \) et \( u_2 = \frac{7}{4} \).

2. Montrer par récurrence que \( u_n < 2 \)

Initialisation : pour \( n = 0 \), on a \( u_0 = 1 < 2 \), donc la propriété est vraie au rang \( n = 0 \).

Hérédité : supposons que \( u_n < 2 \) pour un certain \( n \in \mathbb{N} \). Alors : \[ u_{n+1} = \frac{u_n}{2} + 1 < \frac{2}{2} + 1 = 2 \]

La propriété est donc vraie pour \( n+1 \). Par récurrence, on a \( \forall n \in \mathbb{N} : u_n < 2 \).

3. Étude de la monotonie de la suite \( (u_n) \)

On calcule \( u_{n+1} - u_n \) : \[ u_{n+1} - u_n = \frac{u_n}{2} + 1 - u_n = -\frac{u_n}{2} + 1 \]

Comme \( u_n < 2 \), alors \( -\frac{u_n}{2} + 1 > 0 \), donc \( u_{n+1} > u_n \) et \( (u_n) \) est croissante.

4. Étude de la suite \( (v_n) \)

a) Calcul de \( v_0 \), \( v_1 \) et \( v_2 \) : \[ v_0 = u_0 - 2 = 1 - 2 = -1 \] \[ v_1 = u_1 - 2 = \frac{3}{2} - 2 = -\frac{1}{2} \] \[ v_2 = u_2 - 2 = \frac{7}{4} - 2 = -\frac{1}{4} \]

b) Calcul de \( v_{n+1} \) : \[ v_{n+1} = u_{n+1} - 2 = \frac{u_n}{2} + 1 - 2 = \frac{u_n - 2}{2} = \frac{v_n}{2} \]

Donc, \( (v_n) \) est une suite géométrique de raison \( \frac{1}{2} \).

c) Expression de \( v_n \) en fonction de \( n \)

Comme \( v_n \) est géométrique de raison \( \frac{1}{2} \) et de premier terme \( v_0 = -1 \), on a : \[ v_n = v_0 \left( \frac{1}{2} \right)^n = -\left( \frac{1}{2} \right)^n \]

5. Expression de \( u_n \) en fonction de \( n \)

Comme \( u_n = v_n + 2 \), on a : \[ u_n = -\left( \frac{1}{2} \right)^n + 2 \]

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