Cours Formule de Taylor et Applications

La formule de Taylor est un outil fondamental en analyse mathématique, qui permet d'approximer une fonction différentiable par un polynôme. Elle est utilisée dans de nombreux domaines, tels que la résolution d'équations différentielles, l'analyse numérique et les calculs asymptotiques. Ce cours explore en détail la définition, les applications et les propriétés liées à cette formule, en insistant sur les dérivées d'ordre supérieur, les extrema relatifs et la convexité des fonctions.

Dérivées d'ordre supérieur

Les dérivées d'ordre supérieur généralisent la notion de dérivée première. Elles permettent d'étudier les variations successives d'une fonction et de modéliser des phénomènes complexes, notamment en physique et en ingénierie.

Dérivée première (\( f'(x) \))

La dérivée première d'une fonction \( f(x) \) mesure la variation instantanée de \( f(x) \) en un point donné. Elle est définie comme la limite du taux de variation :

\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \]

Elle représente la pente de la tangente au graphe de la fonction en ce point. Si \( f'(x) > 0 \), la fonction est croissante localement, et si \( f'(x) < 0 \), elle est décroissante.

Dérivée seconde (\( f''(x) \))

La dérivée seconde est la dérivée de la dérivée première, définie comme :

\[ f''(x) = \frac{d}{dx} \left( f'(x) \right) \]

Elle mesure la variation du taux de variation, c'est-à-dire la courbure du graphe. La dérivée seconde donne des informations importantes :

• Si \( f''(x) > 0 \), le graphe est concave vers le haut (courbe convexe).
• Si \( f''(x) < 0 \), le graphe est concave vers le bas (courbe concave).
• Si \( f''(x) = 0 \), il peut y avoir un point d'inflexion.

Dérivées d'ordre \( n \) (\( f^{(n)}(x) \))

Pour une fonction \( f(x) \), la dérivée d'ordre \( n \) est obtenue en dérivant \( n \) fois successivement :

\[ f^{(n)}(x) = \frac{d^n}{dx^n} f(x) \]

Cette dérivée décrit la variation des variations jusqu'à l'ordre \( n \). Par exemple :

• \( f^{(3)}(x) \) : Variation de la courbure (taux de changement de la dérivée seconde).
• \( f^{(4)}(x) \) : Variation de la dérivée d'ordre 3, etc.

Propriétés des dérivées d'ordre supérieur

• Si \( f(x) \) est un polynôme de degré \( n \), alors \( f^{(n+1)}(x) = 0 \) (toutes les dérivées au-delà de l'ordre \( n \) sont nulles).
• Si \( f(x) \) est une fonction exponentielle comme \( e^x \), toutes les dérivées d'ordre \( n \) sont égales à \( e^x \).
• Pour \( f(x) = \sin(x) \) ou \( \cos(x) \), les dérivées suivent un cycle périodique.

Exemple détaillé

Soit \( f(x) = x^4 - 3x^3 + 2x^2 - x + 1 \). Calculons les premières dérivées :

• Dérivée première : \( f'(x) = 4x^3 - 9x^2 + 4x - 1 \)
• Dérivée seconde : \( f''(x) = 12x^2 - 18x + 4 \)
• Dérivée troisième : \( f^{(3)}(x) = 24x - 18 \)
• Dérivée quatrième : \( f^{(4)}(x) = 24 \) (constante, car le degré du polynôme est 4).
• Dérivée cinquième : \( f^{(5)}(x) = 0 \).

Formule de Taylor

La formule de Taylor est une approximation polynomiale d'une fonction différentiable. Elle permet de représenter une fonction \( f(x) \) autour d'un point donné \( a \) à l'aide d'un polynôme construit à partir des dérivées successives de \( f(x) \).

Définition de la formule de Taylor

Si \( f(x) \) est une fonction \( n \)-fois dérivable sur un intervalle contenant \( a \), le développement de Taylor d'ordre \( n \) au voisinage de \( a \) s'écrit :

\[ f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \dots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n + R_n(x) \]

Où :

• \( f^{(k)}(a) \) est la \( k \)-ième dérivée de \( f(x) \) évaluée en \( a \).
• \( R_n(x) \) est le reste de Taylor, qui mesure l'erreur d'approximation et dépend de \( n \) et \( x \).

Cas particulier : Développement limité

Si l'on néglige le reste \( R_n(x) \), on obtient une approximation polynomiale de \( f(x) \) appelée *développement limité* :

\[ P_n(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \dots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n \]

C'est une approximation locale de \( f(x) \) autour de \( a \).

Formule de Taylor avec reste de Lagrange

Lorsque \( f(x) \) est \( n+1 \)-fois dérivable, le reste \( R_n(x) \) peut être exprimé grâce à la formule de Lagrange :

\[ R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1} \]

où \( \xi \) est un point entre \( a \) et \( x \). Cela permet de quantifier l'erreur d'approximation.

Propriétés de la formule de Taylor

• Plus \( n \) est grand, plus l'approximation est précise pour \( x \) proche de \( a \).
• Si \( f(x) \) est infiniment dérivable et que le reste tend vers 0, on obtient une série de Taylor, qui peut converger vers \( f(x) \).
• La formule de Taylor est très utilisée pour approximer des fonctions complexes par des polynômes simples.

Exemple concret

Considérons la fonction \( f(x) = e^x \). Développons-la autour de \( a = 0 \) :

• \( f(0) = 1 \)
• \( f'(x) = e^x \), donc \( f'(0) = 1 \)
• \( f''(x) = e^x \), donc \( f''(0) = 1 \)
• Les dérivées successives sont toutes égales à 1 en \( 0 \).

Le développement de Taylor d'ordre \( n \) est donc :

\[ e^x \approx 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots + \frac{x^n}{n!} \]

Applications pratiques

• Calcul numérique : Approximation des fonctions transcendantes (sinus, cosinus, exponentielles, etc.) par des polynômes.
• Physique : Étude des petites perturbations dans les systèmes physiques.
• Optimisation : Approximation des fonctions pour simplifier les calculs dans les algorithmes.

Remarque importante

La convergence de la série de Taylor dépend de la fonction \( f(x) \). Certaines fonctions, comme \( e^{-\frac{1}{x^2}} \) (pour \( x \neq 0 \)), ne sont pas égales à leur série de Taylor, même si toutes les dérivées existent.

Applications de la Formule de Taylor dans les Mathématiques

En mathématiques pures, la formule de Taylor joue un rôle fondamental dans l'analyse des fonctions et le développement de théories avancées. Voici ses principales applications :

Approximation de fonctions analytiques

La formule de Taylor permet de remplacer une fonction complexe par un polynôme d'ordre \( n \) pour simplifier les calculs et l'analyse :

• Développement limité : Environner une fonction au voisinage d'un point \( a \), en utilisant les dérivées successives :

\[ f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n + R_n(x) \]

• Simplification locale : Cette approximation est très utilisée pour des calculs proches du point \( a \), en négligeant le reste \( R_n(x) \).

Étude des fonctions

La formule de Taylor est utilisée pour analyser le comportement local des fonctions autour d'un point donné :

• Caractérisation des points critiques : La dérivée seconde et les dérivées d'ordre supérieur permettent de classifier les maxima, minima et points d'inflexion.
• Analyse des asymptotes : À l'aide du reste \( R_n(x) \), on peut déterminer si une fonction tend vers l'infini ou se stabilise.

Étude de la convergence des séries

En analyse, la formule de Taylor aide à démontrer la convergence des séries infinies :

• Séries de Taylor : Les séries obtenues par sommation des termes de Taylor sont convergentes pour certaines fonctions analytiques dans des intervalles précis.
• Séries de Maclaurin : Un cas particulier des séries de Taylor, centré en \( a = 0 \).

Par exemple, pour \( \sin(x) \), nous avons :

\[ \sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots \]

Cette série converge pour tous les \( x \in \mathbb{R} \).

Résolution d'équations différentielles

La méthode de Taylor est utilisée pour trouver des solutions analytiques ou approchées des équations différentielles :

• Séries de puissances : Les solutions d'équations différentielles linéaires sont souvent exprimées sous forme de séries de Taylor.
• Méthode des termes dominants : On approxime la solution en négligeant les termes de plus haut degré.

Exemple : pour une équation différentielle linéaire, comme :

\[ y'' - y = 0 \]

On peut chercher une solution sous forme de série :

\[ y(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n x^n \]

Calcul d'intégrales

En remplaçant une fonction par son développement de Taylor, on peut calculer des intégrales complexes :

• Approximation des intégrales : Remplacer \( f(x) \) par son développement au voisinage d'un point pour simplifier les calculs.
• Intégrales impropres : Étude de la convergence en utilisant les termes de Taylor pour comprendre le comportement de la fonction.

Exemple : pour l'intégrale de \( e^{-x^2} \), on utilise un développement limité pour obtenir une approximation.

Optimisation mathématique

La formule de Taylor est utilisée pour analyser les fonctions dans les problèmes d'optimisation :

• Recherche des extrema locaux : Les dérivées successives permettent de classifier les extrema et d'estimer les valeurs optimales.
• Convexité : Une fonction est convexe si sa dérivée seconde est positive, ce qui peut être vérifié à l'aide des termes de Taylor.

Ces techniques sont utilisées en optimisation linéaire, calcul variationnel, et apprentissage automatique.

Étude des Extrema Relatifs

Les extrema relatifs (minimums et maximums) d'une fonction sont des points où la fonction atteint une valeur plus petite ou plus grande que dans un voisinage donné. Ces points jouent un rôle fondamental dans l'analyse et l'optimisation.

Définition

• Maximum relatif : Un point \( x_0 \) est un maximum relatif de \( f \) si, pour tout \( x \) dans un voisinage de \( x_0 \), \( f(x) \leq f(x_0) \).
• Minimum relatif : Un point \( x_0 \) est un minimum relatif de \( f \) si, pour tout \( x \) dans un voisinage de \( x_0 \), \( f(x) \geq f(x_0) \).

Conditions nécessaires pour les extrema relatifs

Pour qu'un point soit un extremum relatif, il doit satisfaire certaines conditions :

• Condition de dérivée : Si \( f \) est dérivable, un extremum relatif \( x_0 \) doit vérifier \( f'(x_0) = 0 \). Ces points sont appelés points critiques.
• Absence de dérivée : Si \( f'(x_0) \) n'existe pas, \( x_0 \) peut être un extremum.

Attention : Un point où \( f'(x_0) = 0 \) n'est pas forcément un extremum. Il peut s'agir d'un point d'inflexion.

Test de la dérivée seconde

Pour confirmer la nature d'un point critique :

• Si \( f''(x_0) > 0 \), \( x_0 \) est un minimum relatif.
• Si \( f''(x_0) < 0 \), \( x_0 \) est un maximum relatif.
• Si \( f''(x_0) = 0 \), le test est indéterminé. Une analyse supplémentaire est nécessaire.

Convexité des Fonctions Dérivables

La convexité et la concavité décrivent la manière dont une fonction "s’incurve". Ces notions sont fondamentales pour comprendre le comportement des fonctions, en particulier dans les études d’optimisation.

Définition

• Convexité : Une fonction \( f \) est convexe sur un intervalle \( I \) si, pour tous \( x_1, x_2 \in I \) et \( t \in [0, 1] \) :

\[ f(tx_1 + (1-t)x_2) \leq t f(x_1) + (1-t)f(x_2). \]

• Concavité : Une fonction \( f \) est concave sur un intervalle \( I \) si l'inégalité précédente est inversée.

Conditions analytiques

• Si \( f \) est dérivable, \( f \) est convexe sur un intervalle \( I \) si \( f' \) est croissante sur \( I \).
• Si \( f \) est deux fois dérivable, \( f \) est convexe si \( f''(x) \geq 0 \) pour tout \( x \in I \).

Points d'inflexion

Un point d'inflexion est un point où la fonction change de convexité (de convexe à concave ou inversement). Cela se produit lorsque \( f''(x) = 0 \).

Convexité stricte

Une fonction \( f \) est strictement convexe si \( f''(x) > 0 \) pour tout \( x \). Cela implique une courbure plus prononcée, essentielle pour garantir l’unicité des solutions dans les problèmes d’optimisation.