Définition de la dérivée
La dérivée d'une fonction \( f \) en un point \( a \) est définie comme la limite du taux de variation de \( f \) entre \( a \) et un point voisin \( a + h \), lorsque \( h \) tend vers zéro :
\[ f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} \]
Cette limite, si elle existe, représente la pente de la tangente à la courbe de \( f \) au point \( (a, f(a)) \).
Dérivée à gauche et à droite
Pour analyser la continuité et la régularité locale d'une fonction, on introduit les dérivées latérales :
- Dérivée à gauche : \[ f'_g(a) = \lim_{h \to 0^-} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} \]
- Dérivée à droite : \[ f'_d(a) = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} \]
La fonction \( f \) est dérivable en \( a \) si et seulement si \( f'_g(a) = f'_d(a) \).
Interprétation géométrique
La dérivée \( f'(a) \) correspond à la pente de la tangente à la courbe représentant \( f \) au point \( (a, f(a)) \). Cette pente peut être positive, négative, ou nulle selon la forme de la courbe :
- Pente positive : la courbe monte lorsque \( x \) augmente.
- Pente négative : la courbe descend lorsque \( x \) augmente.
- Pente nulle : la tangente est horizontale (point d'inflexion, sommet, etc.).
Par exemple, pour \( f(x) = x^2 \), \( f'(x) = 2x \). Au point \( x = 1 \), la pente est \( 2 \), ce qui montre une montée rapide.
Opérations sur les dérivées
Les dérivées obéissent à plusieurs règles fondamentales :
- \((u+v)' = u' + v'\) (dérivée d'une somme).
- \((u \cdot v)' = u'v + uv'\) (dérivée d'un produit).
- \((\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}\), si \( v \neq 0 \) (dérivée d'un quotient).
- \((u \circ v)' = u'(v(x)) \cdot v'(x)\) (dérivée d'une composition).
Exemple
Soit \( f(x) = (x^2 + 1) \cdot e^x \). La dérivée de \( f \) est :
\[ f'(x) = (2x) \cdot e^x + (x^2 + 1) \cdot e^x \]
Théorème de Rolle
Soit une fonction \( f \) continue sur \([a, b]\), dérivable sur \( ]a, b[\), et telle que \( f(a) = f(b) \). Alors, il existe au moins un point \( c \in ]a, b[ \) tel que :
\[ f'(c) = 0 \]
Application
Si \( f(x) = x^2 - 4x + 4 \), sur \([2, 4]\), alors \( f(2) = f(4) = 0 \). Par le théorème de Rolle, il existe un \( c \in ]2, 4[ \) tel que \( f'(c) = 0 \). Ici, \( f'(x) = 2x - 4 \), donc \( c = 2 \).
Théorème des accroissements finis
Soit une fonction \( f \) continue sur \([a, b]\) et dérivable sur \( ]a, b[\). Alors, il existe \( c \in ]a, b[ \) tel que :
\[ f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a} \]
Dérivation des fonctions composées
Si \( f \) et \( g \) sont deux fonctions dérivables, alors la dérivée de leur composition est donnée par :
\[ (f \circ g)'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x) \]
Exemple
Si \( f(x) = e^x \) et \( g(x) = x^2 \), alors :
\[ (f \circ g)'(x) = e^{x^2} \cdot 2x \]
Dérivation de la fonction réciproque
Si \( f \) est une fonction bijective dérivable et si \( g \) est la réciproque de \( f \), alors :
\[ g'(y) = \frac{1}{f'(g(y))} \]
Exemple
Si \( f(x) = e^x \), alors sa réciproque est \( g(x) = \ln(x) \), et :
\[ g'(x) = \frac{1}{e^{\ln(x)}} = \frac{1}{x} \]
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