Limite d’une fonction
La notion de limite est fondamentale pour comprendre le comportement des fonctions aux alentours d'un point. Elle permet d'étudier la tendance de la fonction sans nécessairement atteindre ce point.
Caractérisation séquentielle des limites
La limite d’une fonction en un point \( a \) peut être définie par les suites. Si pour toute suite \( (x_n) \) tendant vers \( a \), la suite \( (f(x_n)) \) tend vers \( L \), alors :
\[ \lim_{x \to a} f(x) = L \]
Exemple
Considérons la fonction \( f(x) = \frac{\sin x}{x} \). Bien que \( f \) ne soit pas définie en \( x = 0 \), on peut montrer que :
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \]
Opérations algébriques sur les limites
Les opérations sur les limites suivent des règles simples :
- Somme : \( \lim_{x \to a} [f(x) + g(x)] = \lim_{x \to a} f(x) + \lim_{x \to a} g(x) \)
- Produit : \( \lim_{x \to a} [f(x) \cdot g(x)] = \lim_{x \to a} f(x) \cdot \lim_{x \to a} g(x) \)
- Quotient : \( \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x \to a} f(x)}{\lim_{x \to a} g(x)} \), si \( \lim_{x \to a} g(x) \neq 0 \)
Continuité d'une fonction
La continuité d'une fonction est une propriété indiquant que la fonction ne présente pas de discontinuités en un point donné.
Définition de la continuité
Une fonction \( f \) est continue en un point \( a \) si :
\[ \lim_{x \to a} f(x) = f(a) \]
Cette propriété implique que la fonction ne présente ni "saut" ni interruption en ce point.
Exemple de fonction continue
La fonction \( f(x) = x^2 \) est continue pour tout \( x \in \mathbb{R} \) car elle satisfait la définition de la continuité pour chaque point.
Théorème des valeurs intermédiaires
Si \( f \) est une fonction continue sur un intervalle fermé \( [a, b] \), alors pour tout \( y \) compris entre \( f(a) \) et \( f(b) \), il existe un \( c \in [a, b] \) tel que :
\[ f(c) = y \]
Application du théorème
Ce théorème est essentiel pour démontrer l’existence de solutions d’équations. Par exemple, pour \( f(x) = x^3 - x \), il existe une solution dans l’intervalle \( [0, 2] \) car \( f(0) \cdot f(2) < 0 \).
Fonctions majorées, minorées et monotones
Comprendre si une fonction est majorée, minorée, ou monotone est important pour étudier son comportement et ses bornes.
Fonctions majorées et minorées
- Fonction majorée : Une fonction \( f \) est majorée sur un ensemble \( E \) si \( \exists M \in \mathbb{R} \) tel que \( f(x) \leq M \) pour tout \( x \in E \).
- Fonction minorée : Une fonction \( f \) est minorée sur un ensemble \( E \) si \( \exists m \in \mathbb{R} \) tel que \( f(x) \geq m \) pour tout \( x \in E \).
Fonctions monotones
Une fonction \( f \) est dite monotone si elle est soit croissante soit décroissante :
- Croissante : Si pour tout \( x_1 \leq x_2 \), alors \( f(x_1) \leq f(x_2) \).
- Décroissante : Si pour tout \( x_1 \leq x_2 \), alors \( f(x_1) \geq f(x_2) \).
Théorème de la limite monotone
Si une fonction est monotone et bornée, alors elle admet une limite lorsqu'elle tend vers l'infini ou vers un point de son domaine.
Application aux suites récurrentes
Les suites définies par récurrence comme \( u_{n+1} = f(u_n) \) convergent si la fonction \( f \) est monotone et continue.
Le Théorème de la Bijection
Le théorème de la bijection garantit qu’une fonction continue, strictement monotone sur un intervalle, est bijective.
Fonctions usuelles
- Fonctions puissances : \( f(x) = x^n \), pour \( n \in \mathbb{N} \).
- Fonction exponentielle : \( f(x) = e^x \).
- Fonction logarithme : \( f(x) = \ln(x) \), définie pour \( x > 0 \).
Fonctions réciproques
Les fonctions réciproques inversent l'action d'une fonction donnée. Si \( f(x) \) est bijective, alors il existe une fonction inverse \( f^{-1}(x) \) telle que \( f(f^{-1}(x)) = x \).
Exemples de fonctions réciproques
Continuité uniforme et fonctions lipschitziennes
Continuité uniforme
Une fonction \( f \) est uniformément continue si, pour tout \( \epsilon > 0 \), il existe un \( \delta > 0 \) tel que pour tout \( x, y \) :
\[ |x - y| < \delta \implies |f(x) - f(y)| < \epsilon \]
Fonctions lipschitziennes
Une fonction \( f \) est lipschitzienne s'il existe une constante \( K \) telle que :
\[ |f(x) - f(y)| \leq K |x - y| \]
Théorème de Heine
Une fonction continue sur un intervalle fermé et borné est uniformément continue.
Fonctions convexes
Une fonction \( f \) est convexe si pour tout \( x_1, x_2 \) et pour tout \( \lambda \in [0, 1] \) :
\[ f(\lambda x_1 + (1 - \lambda) x_2) \leq \lambda f(x_1) + (1 - \lambda) f(x_2) \]
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