🔍 Introduction aux notions fondamentales
Comprendre les limites et la continuité des fonctions est une étape cruciale dans l'apprentissage de l’analyse. Ces concepts permettent de décrire avec précision le comportement d'une fonction autour d’un point ou sur un intervalle.
📌 Limite d’une fonction : Définition et caractérisation
👉 Qu’est-ce qu’une limite ?
La limite d’une fonction en un point exprime la tendance de ses valeurs lorsque la variable se rapproche de ce point, sans nécessairement l’atteindre :
\[\lim_{x \to a} f(x) = L\]
🔎 Caractérisation séquentielle de la limite
Soit une suite \( (x_n) \) telle que \( \lim x_n = a \). Si \( \lim f(x_n) = L \), alors la limite de la fonction est donnée par :
\[\lim_{x \to a} f(x) = L\]
📘 Exemple
La fonction \( f(x) = \frac{\sin x}{x} \) n'est pas définie en \( x = 0 \), mais on peut démontrer que :
\[\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1\]
➕ Opérations sur les limites
- Somme : \( \lim_{x \to a} [f(x) + g(x)] = \lim_{x \to a} f(x) + \lim_{x \to a} g(x) \)
- Produit : \( \lim_{x \to a} [f(x) \cdot g(x)] = \lim_{x \to a} f(x) \cdot \lim_{x \to a} g(x) \)
- Quotient : \( \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x \to a} f(x)}{\lim_{x \to a} g(x)} \), si \( \lim_{x \to a} g(x) \neq 0 \)
📈 Continuité d’une fonction
🔍 Définition
Une fonction \( f \) est continue en un point \( a \) si :
\[\lim_{x \to a} f(x) = f(a)\]
✅ Exemple
La fonction \( f(x) = x^2 \) est continue sur \( \mathbb{R} \) car pour tout \( a \in \mathbb{R} \) :
\[\lim_{x \to a} x^2 = a^2 = f(a)\]
📏 Théorème des valeurs intermédiaires
Si \( f \) est continue sur un intervalle fermé \( [a, b] \), alors pour tout \( y \) entre \( f(a) \) et \( f(b) \), il existe un \( c \in [a, b] \) tel que :
\[f(c) = y\]
🧪 Exemple d’application
Pour \( f(x) = x^3 - x \), il existe une solution de l’équation \( f(x) = 1 \) dans \( [0, 2] \) car :
\[f(0) = 0, \quad f(2) = 6 \Rightarrow f(0) < 1 < f(2)\]
📊 Fonctions majorées, minorées et monotones
🔺 Fonctions bornées
- Majorée : \( f(x) \leq M \) pour tout \( x \in E \)
- Minorée : \( f(x) \geq m \) pour tout \( x \in E \)
📈 Fonctions monotones
- Croissante : \( x_1 \leq x_2 \Rightarrow f(x_1) \leq f(x_2) \)
- Décroissante : \( x_1 \leq x_2 \Rightarrow f(x_1) \geq f(x_2) \)
📐 Théorème de la limite monotone
Si une fonction est monotone et bornée, elle admet une limite finie lorsqu’elle tend vers une borne ou vers l’infini.
🔁 Suites récurrentes et convergence
Une suite définie par \( u_{n+1} = f(u_n) \) converge si \( f \) est continue, monotone et bornée.
🔄 Théorème de la bijection
Si \( f \) est continue et strictement monotone sur un intervalle, elle est bijective et admet une fonction inverse.
🔢 Fonctions usuelles bijectives
- \( f(x) = x^n \) (pour \( n \) impair)
- \( f(x) = e^x \)
- \( f(x) = \ln(x) \), définie pour \( x > 0 \)
📚 Fonctions réciproques
Si \( f \) est bijective, il existe une fonction réciproque \( f^{-1} \) telle que :
\[f(f^{-1}(x)) = x\]
🎯 Exemples
- \( \ln(x) \) est l'inverse de \( e^x \)
- \( \arcsin(x) \) est l'inverse de \( \sin(x) \) sur \( [-\pi/2, \pi/2] \)
🔒 Continuité uniforme et fonctions lipschitziennes
✅ Continuité uniforme
Pour tout \( \epsilon > 0 \), il existe \( \delta > 0 \) tel que :
\[|x - y| < \delta \Rightarrow |f(x) - f(y)| < \epsilon\]
🧭 Fonctions lipschitziennes
Il existe \( K > 0 \) tel que :
\[|f(x) - f(y)| \leq K |x - y|\]
📜 Théorème de Heine
Une fonction continue sur un intervalle fermé et borné est uniformément continue.
📐 Fonctions convexes
Une fonction \( f \) est convexe si :
\[f(\lambda x_1 + (1 - \lambda) x_2) \leq \lambda f(x_1) + (1 - \lambda) f(x_2)\]
pour tout \( \lambda \in [0, 1] \) et tous \( x_1, x_2 \in \mathbb{R} \).
🧩 Conclusion
Les notions de limite, continuité, monotonie, convexité et fonctions réciproques constituent les fondements de l’analyse. Elles permettent d’analyser rigoureusement le comportement des fonctions et d'assurer la compréhension des phénomènes mathématiques complexes.
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