1. Introduction aux nombres réels
Les nombres réels, notés \( \mathbb{R} \), constituent l'ensemble de tous les nombres que l'on peut situer sur une droite numérique. Cet ensemble inclut :
- Les nombres entiers (\( \mathbb{Z} \)), qui comprennent les entiers positifs, négatifs et zéro.
- Les nombres rationnels (\( \mathbb{Q} \)), qui sont des fractions de la forme \( \frac{a}{b} \) où \( a \) et \( b \) sont des entiers et \( b \neq 0 \).
- Les nombres irrationnels, qui ne peuvent pas s'écrire sous forme de fraction (comme \( \sqrt{2} \), \( \pi \), et \( e \)).
Les nombres réels permettent une description complète et continue de la droite numérique, contrairement aux nombres rationnels qui ne couvrent pas toutes les valeurs entre deux points donnés.
2. Concepts de majorant, minorant, borne supérieure et borne inférieure
a. Majorant et minorant
Un majorant d'un ensemble \( A \subset \mathbb{R} \) est un nombre \( M \in \mathbb{R} \) tel que \( \forall x \in A, x \leq M \).
Un minorant d'un ensemble \( A \subset \mathbb{R} \) est un nombre \( m \in \mathbb{R} \) tel que \( \forall x \in A, x \geq m \).
Pour l'ensemble \( A = \{2, 4, 6, 8\} \) :
- Les nombres 8, 9, et 10 sont tous des majorants de \( A \), mais 8 est le plus petit majorant.
- Les nombres 0, 1, et 2 sont des minorants de \( A \), mais 2 est le plus grand minorant.
b. Borne supérieure et borne inférieure
La borne supérieure d'un ensemble \( A \) (si elle existe) est le plus petit des majorants de \( A \), notée \( \sup(A) \).
La borne inférieure d'un ensemble \( A \) (si elle existe) est le plus grand des minorants de \( A \), notée \( \inf(A) \).
Pour l'ensemble \( B = [0, 5) = \{x \in \mathbb{R} \ | \ 0 \leq x < 5\} \) :
- La borne supérieure est 5, même si 5 n'appartient pas à \( B \).
- La borne inférieure est 0.
3. Propriétés des bornes dans \( \mathbb{R} \)
a. Existence des bornes
L'ensemble des nombres réels est complet, ce qui signifie que tout ensemble non vide et majoré possède une borne supérieure, et tout ensemble non vide et minoré possède une borne inférieure. Cette propriété fondamentale des réels permet de garantir la présence de limites pour les suites convergentes, par exemple.
b. Caractéristiques des bornes
- Unicité : Les bornes supérieure et inférieure d'un ensemble sont uniques.
- Approximation : On peut toujours trouver des éléments de l'ensemble aussi proches que souhaité de la borne supérieure ou inférieure.
4. La propriété d'Archimède
La propriété d'Archimède est une caractéristique clé des nombres réels :
- Elle stipule que, pour tout nombre réel \( x \in \mathbb{R} \), il existe un entier naturel \( n \in \mathbb{N} \) tel que \( n > x \).
- De plus, pour tout \( \epsilon > 0 \), aussi petit soit-il, il existe un entier naturel \( n \) tel que \( \frac{1}{n} < \epsilon \).
Supposons que l'on ait un nombre \( x = 1000 \). Par la propriété d'Archimède, il existe un entier \( n \) tel que \( n > 1000 \). Un tel entier pourrait être 1001, 1002, etc.
5. La partie entière d'un nombre réel
La partie entière d'un nombre réel \( x \) est définie comme le plus grand entier inférieur ou égal à \( x \). On la note \( \lfloor x \rfloor \).
Exemples :- \( \lfloor 4.7 \rfloor = 4 \)
- \( \lfloor -3.2 \rfloor = -4 \)
6. Densité des rationnels dans \( \mathbb{R} \)
Les nombres rationnels \( \mathbb{Q} \) sont dits denses dans \( \mathbb{R} \), ce qui signifie que, pour tout couple de nombres réels \( a \) et \( b \) tels que \( a < b \), il existe toujours un rationnel \( q \in \mathbb{Q} \) tel que \( a < q < b \).
Cette densité implique que les rationnels peuvent approximer n'importe quel réel avec une précision aussi fine que souhaitée.
7. Approximation décimale des nombres réels
Chaque nombre réel peut être représenté par une approximation décimale, ce qui permet de le manipuler dans les calculs quotidiens ou scientifiques.
Exemples :- \( \pi \) peut être approximé par 3.14, 3.1416, 3.14159, etc.
- La racine carrée de 2 est approximée par 1.41, 1.414, etc.
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