Développement limité et applications Cours

Les développements limités permettent de représenter des fonctions sous forme de polynômes lorsqu'elles sont étudiées au voisinage d'un point donné. Ils sont fondamentaux en analyse mathématique, notamment dans le calcul des limites, les études asymptotiques et les approximations numériques.

Les développements limités sont particulièrement utiles en physique et en ingénierie, où les approximations simplifient les calculs complexes.

Définitions et concepts fondamentaux

Un développement limité d'une fonction \( f(x) \) autour d'un point \( a \) est donné par :

\[ f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \dots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n + o((x-a)^n), \]

où :

• \( f^{(k)}(a) \) représente la dérivée \( k \)-ième de \( f \) évaluée en \( a \).
• \( o((x-a)^n) \) est un terme négligeable devant \((x-a)^n\) lorsque \(x \to a\).

Exemple :

Pour \( f(x) = e^x \), au voisinage de \( 0 \), on a :

\[ e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + o(x^3). \]

Propriétés des développements limités

• Les développements limités sont uniques pour une fonction donnée au voisinage d’un point \( a \).
• Ils permettent de simplifier les calculs de limites et d'intégrales.
• Ils peuvent être utilisés pour approximer les fonctions dans des calculs pratiques.

Remarque

Les termes négligeables \( o((x-a)^n) \) sont toujours spécifiques au contexte et à l’ordre du développement limité.

Notation de Landau

La notation de Landau est utilisée pour quantifier la rapidité de décroissance ou de croissance d'un terme par rapport à un autre.

• \( f(x) = O(g(x)) \) : \( f(x) \) est de l'ordre de \( g(x) \) si \(|f(x)| \leq C|g(x)|\) pour \(x\) grand et une constante \(C > 0\).
• \( f(x) = o(g(x)) \) : \( f(x) \) est négligeable devant \( g(x) \) si \(\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{g(x)} = 0\).

Comparaison locale des fonctions

Deux fonctions \( f(x) \) et \( g(x) \) sont dites équivalentes si :

\[ \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = 1. \]

Cette relation est notée \( f(x) \sim g(x) \) au voisinage de \( a \).

Exemple

Lorsque \( x \to 0 \), on a \( \sin(x) \sim x \).

Développements limités usuels

• \( e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + o(x^2) \).
• \( \ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + o(x^2) \), pour \(|x| < 1\).
• \( \sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + o(x^3) \).
• \( \cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2!} + o(x^2) \).

Applications et calculs pratiques

Calcul des limites

Les développements limités facilitent le calcul des limites en remplaçant les fonctions par leur approximation. Par exemple :

\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1, \] car \( \sin(x) \sim x \) lorsque \( x \to 0 \).

Approximation des fonctions

En physique, on utilise fréquemment des approximations comme :

\[ (1+x)^n \approx 1 + nx, \, \text{pour \( |x| \ll 1 \)}. \]

Exercices corrigés

Exercice

Développer \( \ln(1+x) \) à l'ordre \( 3 \) au voisinage de \( 0 \).

Solution

\[ \ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + o(x^3). \]