Normes et Normes Équivalentes
Définition d'une Norme
Soit \( E \) un espace vectoriel sur le corps des réels \( \mathbb{R} \) ou des complexes \( \mathbb{C} \). Une norme sur \( E \) est une fonction \( \|\cdot\| : E \to \mathbb{R} \) satisfaisant les propriétés suivantes pour tout \( x, y \in E \) et \( \alpha \in \mathbb{R} \) ou \( \mathbb{C} \) :
Exemples courants de normes :
Propriétés d'une Norme
Les propriétés fondamentales des normes découlent directement de leur définition :
Définition des Normes Équivalentes
Deux normes \( \|\cdot\|_1 \) et \( \|\cdot\|_2 \) sur un espace vectoriel \( E \) sont dites équivalentes s'il existe deux constantes positives \( c_1 \) et \( c_2 \) telles que :
\( c_1 \|x\|_1 \leq \|x\|_2 \leq c_2 \|x\|_1 \quad \text{pour tout } x \in E. \)
Cette relation garantit que les deux normes définissent la même topologie sur \( E \), c'est-à-dire qu'elles induisent les mêmes notions de convergence et de continuité.
Exemples de Normes Équivalentes
Dans \( \mathbb{R}^n \), toutes les normes sont équivalentes. Par exemple :
- La norme euclidienne \( \|x\|_2 \) est équivalente à la norme \( \|x\|_1 = \sum_{i=1}^n |x_i| \).
- La norme infinie \( \|x\|_\infty = \max_{1 \leq i \leq n} |x_i| \) est équivalente à la norme \( \|x\|_2 \).
En effet, pour \( x \in \mathbb{R}^n \), on a :
- \( \|x\|_\infty \leq \|x\|_2 \leq \sqrt{n} \|x\|_\infty \).
- \( \|x\|_1 \leq \sqrt{n} \|x\|_2 \leq n \|x\|_\infty \).
Normes Induites par des Applications Linéaires
Si \( A : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m \) est une application linéaire, alors on peut définir une norme induite par :
\( \|A\| = \sup_{x \neq 0} \frac{\|A(x)\|}{\|x\|}, \)
où \( \|x\| \) est une norme définie sur \( \mathbb{R}^n \) et \( \|A(x)\| \) une norme définie sur \( \mathbb{R}^m \).
Applications des Normes
Les normes jouent un rôle clé dans de nombreux domaines des mathématiques appliquées, notamment :
- La définition de distances et métriques pour l'étude des espaces métriques.
- La résolution numérique d'équations, où les normes sont utilisées pour mesurer l'erreur.
- Les espaces fonctionnels, comme \( L^p \), où les normes permettent de mesurer la "taille" des fonctions.
Suites dans \( \mathbb{R}^n \)
Définition d'une Suite
Une suite dans \( \mathbb{R}^n \) est une application \( u : \mathbb{N} \to \mathbb{R}^n \), souvent notée \( (u_k)_{k \in \mathbb{N}} \), où chaque terme \( u_k \in \mathbb{R}^n \) peut être exprimé sous la forme d'un vecteur :
\( u_k = (x_k^{(1)}, x_k^{(2)}, \ldots, x_k^{(n)}) \),
avec \( x_k^{(i)} \in \mathbb{R} \) pour tout \( i = 1, 2, \ldots, n \).
Convergence d'une Suite
Soit \( (u_k)_{k \in \mathbb{N}} \) une suite dans \( \mathbb{R}^n \). On dit que \( u_k \) converge vers un vecteur \( l \in \mathbb{R}^n \) (noté \( u_k \to l \) ou \( \lim_{k \to \infty} u_k = l \)) si :
\( \forall \varepsilon > 0, \, \exists N \in \mathbb{N}, \, \forall k \geq N, \, \|u_k - l\| < \varepsilon, \)
où \( \|\cdot\| \) est une norme définie sur \( \mathbb{R}^n \).
Convergence Composante par Composante
Une suite \( (u_k) \) converge vers \( l \in \mathbb{R}^n \) si et seulement si chaque composante de \( u_k \) converge vers la composante correspondante de \( l \) :
\( \lim_{k \to \infty} u_k = l \iff \forall i \in \{1, 2, \ldots, n\}, \, \lim_{k \to \infty} x_k^{(i)} = l^{(i)}. \)
Exemple
Considérons la suite \( u_k = \left( \frac{1}{k}, \frac{1}{k^2}, \frac{1}{k^3} \right) \) dans \( \mathbb{R}^3 \). On montre que :
- \( \lim_{k \to \infty} u_k^{(1)} = \lim_{k \to \infty} \frac{1}{k} = 0 \),
- \( \lim_{k \to \infty} u_k^{(2)} = \lim_{k \to \infty} \frac{1}{k^2} = 0 \),
- \( \lim_{k \to \infty} u_k^{(3)} = \lim_{k \to \infty} \frac{1}{k^3} = 0 \).
Ainsi, \( \lim_{k \to \infty} u_k = (0, 0, 0) \).
Suites Bornées
Une suite \( (u_k)_{k \in \mathbb{N}} \) dans \( \mathbb{R}^n \) est dite bornée s'il existe une constante \( M > 0 \) telle que :
\( \|u_k\| \leq M \quad \text{pour tout } k \in \mathbb{N}. \)
Suites de Cauchy
Une suite \( (u_k) \) dans \( \mathbb{R}^n \) est dite de Cauchy si :
\( \forall \varepsilon > 0, \, \exists N \in \mathbb{N}, \, \forall k, m \geq N, \, \|u_k - u_m\| < \varepsilon. \)
Dans \( \mathbb{R}^n \), toute suite de Cauchy est convergente (par complétude de \( \mathbb{R}^n \)).
Exemples de Suites dans \( \mathbb{R}^n \)
Voici quelques exemples de suites dans \( \mathbb{R}^n \) :
- \( u_k = \left( \frac{1}{k}, \frac{1}{k^2}, \ldots, \frac{1}{k^n} \right) \) converge vers le vecteur nul \( (0, 0, \ldots, 0) \).
- \( v_k = \left( \sin(k), \cos(k) \right) \) dans \( \mathbb{R}^2 \) n'est pas convergente car ses composantes oscillent.
Distance et Suites
La distance entre deux termes d'une suite dans \( \mathbb{R}^n \) est donnée par :
\( d(u_k, u_m) = \|u_k - u_m\|. \)
Cette distance permet de vérifier la convergence et la nature de Cauchy d'une suite.
Application des Suites dans \( \mathbb{R}^n \)
Les suites dans \( \mathbb{R}^n \) sont utilisées dans plusieurs domaines des mathématiques :
- Optimisation : Les méthodes itératives utilisent des suites pour approcher les solutions.
- Analyse numérique : Les suites permettent de mesurer l'erreur dans les méthodes numériques.
- Topologie : Les suites servent à étudier les propriétés des espaces métriques, comme la compacité.
Ensembles Ouverts et Fermés
Définition d'un Ensemble Ouvert
Un sous-ensemble \( U \subseteq \mathbb{R}^n \) est dit ouvert si, pour tout point \( x \in U \), il existe un rayon \( \varepsilon > 0 \) tel que la boule ouverte centrée en \( x \), notée \( B(x, \varepsilon) \), soit entièrement contenue dans \( U \) :
\( B(x, \varepsilon) = \{y \in \mathbb{R}^n \mid \|x - y\| < \varepsilon\} \subseteq U. \)
Exemples d'Ensembles Ouverts
- La boule ouverte \( B(0, 1) = \{x \in \mathbb{R}^n \mid \|x\| < 1\} \) est un ensemble ouvert.
- L'ensemble \( \mathbb{R}^n \) est un ensemble ouvert (la boule ouverte peut être choisie de rayon infini).
- L'ensemble vide \( \varnothing \) est également un ensemble ouvert.
Définition d'un Ensemble Fermé
Un sous-ensemble \( F \subseteq \mathbb{R}^n \) est dit **fermé** si son complémentaire \( \mathbb{R}^n \setminus F \) est un ensemble ouvert.
Une autre définition équivalente : Un ensemble \( F \) est fermé si toute suite \( (x_k) \) dans \( F \) qui converge vers une limite \( l \in \mathbb{R}^n \) a sa limite \( l \) appartenant à \( F \).
Exemples d'Ensembles Fermés
- La boule fermée \( \overline{B}(0, 1) = \{x \in \mathbb{R}^n \mid \|x\| \leq 1\} \) est un ensemble fermé.
- L'ensemble \( \mathbb{R}^n \) est un ensemble fermé (car son complémentaire est vide).
- L'ensemble vide \( \varnothing \) est aussi un ensemble fermé.
Propriétés des Ensembles Ouverts
- L'union arbitraire d'ensembles ouverts est un ensemble ouvert.
- L'intersection finie d'ensembles ouverts est un ensemble ouvert.
Propriétés des Ensembles Fermés
- L'intersection arbitraire d'ensembles fermés est un ensemble fermé.
- L'union finie d'ensembles fermés est un ensemble fermé.
- Un ensemble fermé contient tous ses points adhérents (c'est-à-dire les limites de suites convergentes de l'ensemble).
Relations entre Ensembles Ouverts et Fermés
Dans l'espace \( \mathbb{R}^n \), les notions d'ouvert et de fermé sont complémentaires :
- Le complémentaire d'un ensemble ouvert est un ensemble fermé.
- Le complémentaire d'un ensemble fermé est un ensemble ouvert.
Frontière d'un Ensemble
La frontière d'un ensemble \( A \subseteq \mathbb{R}^n \), notée \( \partial A \), est l'ensemble des points qui peuvent être approchés à la fois par des points de \( A \) et de son complémentaire :
\( \partial A = \overline{A} \setminus \mathring{A}, \)
où \( \overline{A} \) est l'adhérence de \( A \) (ensemble fermé contenant \( A \)) et \( \mathring{A} \) est l'intérieur de \( A \) (ensemble ouvert maximal contenu dans \( A \)).
Ensembles à la Fois Ouverts et Fermés
Un ensemble est dit **clopen** (ouvert et fermé) s'il satisfait les deux propriétés. Dans \( \mathbb{R}^n \), les seuls ensembles clopens sont :
- L'ensemble vide \( \varnothing \).
- L'ensemble \( \mathbb{R}^n \).
Exemple d'Application
Considérons l'ensemble \( A = [0, 1[ \subset \mathbb{R} \). On a :
- Il n'est pas ouvert car \( 0 \) n'est pas un point intérieur (il n'existe pas de boule ouverte centrée en \( 0 \) contenue dans \( A \)).
- Il n'est pas fermé car \( 1 \), limite de suites de \( A \), n'appartient pas à \( A \).
Ensembles Compacts
Définition d'un Ensemble Compact
Un sous-ensemble \( K \subseteq \mathbb{R}^n \) est dit "compact" si l'une des deux conditions suivantes équivalentes est satisfaite :
- Tout recouvrement ouvert de \( K \) admet une sous-famille finie qui le recouvre encore.
- De manière équivalente, \( K \) est compact si toute suite \( (x_k) \) dans \( K \) admet une sous-suite convergente dont la limite appartient à \( K \).
Critères de Compacité dans \( \mathbb{R}^n \)
Dans l'espace euclidien \( \mathbb{R}^n \), un ensemble \( K \subseteq \mathbb{R}^n \) est compact si et seulement si les deux conditions suivantes sont vérifiées :
- \( K \) est "fermé".
- \( K \) est "borné" (c'est-à-dire qu'il existe une constante \( M > 0 \) telle que \( \|x\| \leq M \) pour tout \( x \in K \)).
Exemples d'Ensembles Compacts
Contre-Exemples : Ensembles Non Compacts
Propriétés des Ensembles Compacts
Illustration avec le Théorème de Weierstrass
Une application importante des ensembles compacts est donnée par le **théorème de Weierstrass** :
Toute fonction continue \( f : K \to \mathbb{R} \), où \( K \) est un ensemble compact, atteint ses bornes supérieure et inférieure sur \( K \).
En d'autres termes, il existe \( x_{\min}, x_{\max} \in K \) tels que :
\( f(x_{\min}) = \inf_{x \in K} f(x) \quad \text{et} \quad f(x_{\max}) = \sup_{x \in K} f(x). \)
Compacité et Topologie
Dans des espaces topologiques plus généraux, la définition de la compacité peut être plus subtile :
- Un ensemble est compact si tout recouvrement ouvert possède une sous-famille finie qui le recouvre.
- En général, la compacité n'implique pas nécessairement la fermeture et la bornitude (comme dans \( \mathbb{R}^n \)).
Connexité et Connexité par Arcs
Définition : Connexité
Un ensemble \( E \subseteq \mathbb{R}^n \) est dit **connexe** si, pour toute paire de parties ouvertes non vides \( U \) et \( V \) telles que :
- \( E \subseteq U \cup V \),
- \( U \cap V \cap E = \varnothing \),
- \( U \cap E \neq \varnothing \quad \text{et} \quad V \cap E \neq \varnothing \),
alors il s'ensuit que \( E \) ne peut pas être séparé en deux sous-ensembles disjoints non vides. En d'autres termes, \( E \) est "indivisible par des parties ouvertes".
Exemples d'Ensembles Connexes
- Un intervalle \( [a, b] \subset \mathbb{R} \) est connexe.
- La boule \( B(0, r) = \{x \in \mathbb{R}^n \mid \|x\| < r\} \) est connexe.
- L'ensemble \( \mathbb{R}^n \) est connexe.
Connexité et Fonctions Continues
Si \( E \subseteq \mathbb{R}^n \) est un ensemble connexe et si \( f : E \to \mathbb{R} \) est une fonction continue, alors l'image \( f(E) \subseteq \mathbb{R} \) est également connexe.
Dans \( \mathbb{R} \), un ensemble connexe est un intervalle.
Définition : Connexité par Arcs
Un ensemble \( E \subseteq \mathbb{R}^n \) est dit **connexe par arcs** si, pour toute paire de points \( x, y \in E \), il existe une fonction continue (appelée **arc**) :
\( \gamma : [0, 1] \to E \),
telle que \( \gamma(0) = x \) et \( \gamma(1) = y \).
En d'autres termes, tout point de \( E \) peut être relié à un autre point par un chemin continu à l'intérieur de \( E \).
Relation entre Connexité et Connexité par Arcs
- Tout ensemble connexe par arcs est connexe.
- La réciproque n'est pas toujours vraie : un ensemble connexe n'est pas nécessairement connexe par arcs dans des espaces topologiques plus généraux. Cependant, dans \( \mathbb{R}^n \), connexité et connexité par arcs sont équivalentes.
Exemples d'Ensembles Connexes par Arcs
- Un segment \( [a, b] \subset \mathbb{R} \) est connexe par arcs.
- Un disque fermé \( \overline{B}(0, r) = \{x \in \mathbb{R}^n \mid \|x\| \leq r\} \) est connexe par arcs.
- Le plan \( \mathbb{R}^2 \) sans un point central reste connexe, mais il n'est pas connexe par arcs.
Connexité et Topologie
La connexité et la connexité par arcs sont des notions centrales en topologie. Elles permettent de décrire la structure interne d'un espace, ainsi que ses propriétés de continuité. Ces concepts sont particulièrement utiles en analyse et géométrie différentielle.
Propriétés Importantes
- Un ensemble convexe \( C \subset \mathbb{R}^n \) est toujours connexe par arcs.
- Un ensemble connexe par arcs reste connexe par toute fonction continue.
- Si \( E_1 \) et \( E_2 \) sont deux ensembles connexes dans \( \mathbb{R}^n \) tels que \( E_1 \cap E_2 \neq \varnothing \), alors \( E_1 \cup E_2 \) est connexe.
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