Définitions et structure
Un polynôme à coefficients dans un ensemble \( A \) (par exemple \( \mathbb{Z}, \mathbb{R}, \mathbb{C} \)) est une expression de la forme :
\[ P(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \dots + a_n x^n \]
où :
- \( a_0, a_1, \dots, a_n \in A \) sont appelés les coefficients du polynôme,
- \( x \) est une indéterminée (variable formelle),
- \( n \in \mathbb{N} \) est un entier naturel représentant le plus grand exposant de \( x \).
Le polynôme est dit à une indéterminée car il dépend uniquement de la variable \( x \). Les coefficients \( a_i \) déterminent la forme du polynôme.
Degré d'un polynôme
Le degré d’un polynôme \( P(x) \) non nul est l’exposant le plus élevé de la variable \( x \) parmi les monômes ayant un coefficient non nul.
Formellement, si :
\[ P(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \dots + a_n x^n \]
où \( a_n \neq 0 \), alors le degré de \( P \) est :
\[ \deg(P) = n. \]
Propriétés :
- Le degré d’un polynôme constant \( P(x) = a_0 \) (avec \( a_0 \neq 0 \)) est \( \deg(P) = 0 \).
- Le degré du polynôme nul \( P(x) = 0 \) est \( -\infty \).
- Si \( P(x) \) et \( Q(x) \) sont deux polynômes, alors :
- \( \deg(P + Q) \leq \max(\deg(P), \deg(Q)) \),
- \( \deg(P \cdot Q) = \deg(P) + \deg(Q) \).
Exemples
1. Soit \( P(x) = 4x^3 - 2x + 7 \). Le degré de \( P \) est \( \deg(P) = 3 \).
2. Soit \( Q(x) = 5x^5 + x^2 - 8 \). Le degré de \( Q \) est \( \deg(Q) = 5 \).
3. Pour le polynôme constant \( R(x) = -3 \), son degré est \( \deg(R) = 0 \).
Application aux polynômes nuls :
Pour le polynôme nul \( P(x) = 0 \), on a :
\[ \deg(P) = -\infty. \]
Fonctions polynomiales
Une fonction polynomiale est une fonction définie par un polynôme. Autrement dit, si :
\[ P(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \dots + a_n x^n \]
alors la fonction polynomiale \( f \) associée à \( P \) est donnée par :
\[ f : x \mapsto P(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \dots + a_n x^n. \]
Ici, \( x \) est une variable réelle ou complexe, et \( f(x) \) représente l'image de \( x \) par la fonction polynomiale.
Exemple :
Soit le polynôme \( P(x) = 2x^2 - 3x + 1 \). La fonction polynomiale associée est :
\[ f(x) = 2x^2 - 3x + 1. \]
Pour \( x = 2 \), on calcule :
\[ f(2) = 2 \cdot 2^2 - 3 \cdot 2 + 1 = 8 - 6 + 1 = 3. \]
Propriétés :
- Une fonction polynomiale est définie sur tout l'ensemble des réels \( \mathbb{R} \) ou des complexes \( \mathbb{C} \).
- Les fonctions polynomiales sont continues et dérivables sur \( \mathbb{R} \).
- Une fonction polynomiale de degré \( n \) admet au plus \( n \) racines distinctes dans \( \mathbb{C} \) (théorème fondamental de l'algèbre).
Racines d'un polynôme
Une racine d'un polynôme \( P(x) \) est une valeur de \( x \) pour laquelle le polynôme s'annule, c'est-à-dire que :
\[ P(r) = 0. \]
Ici, \( r \) est appelé une solution ou une racine du polynôme.
Définition formelle :
Si \( P(x) = a_0 + a_1 x + \dots + a_n x^n \) est un polynôme et \( r \in \mathbb{C} \) est une racine, alors :
\[ P(r) = a_0 + a_1 r + a_2 r^2 + \dots + a_n r^n = 0. \]
Théorème fondamental de l'algèbre
Tout polynôme non constant de degré \( n \) à coefficients complexes admet exactement \( n \) racines (réelles ou complexes) en comptant les multiplicités.
Multiplicité d'une racine
La multiplicité d'une racine \( r \) est le nombre de fois où \( (x - r) \) apparaît comme facteur dans la décomposition du polynôme.
Propriétés des racines
- Un polynôme de degré \( n \) a au plus \( n \) racines distinctes.
- Si \( P(x) \) est un polynôme à coefficients réels, alors ses racines complexes apparaissent par paires conjuguées.
- La somme des racines d’un polynôme (avec leurs multiplicités) est liée aux coefficients via la formule de Viète.
Polynôme dérivé
Le polynôme dérivé d’un polynôme \( P(x) \) est obtenu en dérivant chaque terme du polynôme par rapport à la variable \( x \).
Si \( P(x) \) est un polynôme de degré \( n \), alors sa dérivée est donnée par :
\[ P(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \dots + a_n x^n \quad \implies \quad P'(x) = a_1 + 2a_2 x + 3a_3 x^2 + \dots + n a_n x^{n-1}. \]
Le polynôme dérivé \( P'(x) \) est donc un polynôme de degré \( n-1 \) si \( P(x) \) est non constant.
Propriétés du polynôme dérivé
- Le degré de \( P'(x) \) est égal au degré de \( P(x) \) moins 1.
- Si \( P(x) \) est constant, alors \( P'(x) = 0 \).
- Les racines du polynôme dérivé peuvent aider à localiser les extrema (maximums et minimums) du polynôme original.
Formule de Taylor
La formule de Taylor permet d'approximer une fonction polynomiale ou non polynomiale autour d’un point donné \( a \). Pour un polynôme, cette formule s’exprime de manière exacte.
Si \( P(x) \) est un polynôme, alors la formule de Taylor autour de \( x = a \) est donnée par :
\[ P(x) = P(a) + P'(a)(x - a) + \frac{P''(a)}{2!}(x - a)^2 + \dots + \frac{P^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n. \]
Ici, \( P^{(n)}(a) \) désigne la \( n \)-ième dérivée de \( P \) évaluée en \( a \).
Exemple :
Soit \( P(x) = x^2 + 3x + 2 \), et développons \( P(x) \) autour de \( x = 1 \) en utilisant la formule de Taylor.
- \( P(1) = 1^2 + 3 \cdot 1 + 2 = 6 \),
- \( P'(x) = 2x + 3 \implies P'(1) = 2 \cdot 1 + 3 = 5 \),
- \( P''(x) = 2 \implies P''(1) = 2 \).
En utilisant la formule de Taylor jusqu'à l'ordre 2, on obtient :
\[ P(x) \approx P(1) + P'(1)(x - 1) + \frac{P''(1)}{2}(x - 1)^2. \]
En remplaçant les valeurs :
\[ P(x) \approx 6 + 5(x - 1) + \frac{2}{2}(x - 1)^2. \]
Donc :
\[ P(x) \approx 6 + 5(x - 1) + (x - 1)^2. \]
Remarques
- La formule de Taylor est particulièrement utile pour approximer les fonctions complexes autour d’un point spécifique.
- Dans le cas des polynômes, la formule de Taylor est exacte.
Étude des anneaux des polynômes
Les polynômes forment un anneau, une structure algébrique particulière. L'anneau des polynômes est noté \( R[x] \), où \( R \) est un anneau commutatif (par exemple, \( \mathbb{R} \), \( \mathbb{C} \), ou \( \mathbb{Z} \)).
Propriétés de l'anneau des polynômes
- La somme et le produit de deux polynômes sont encore des polynômes.
- L'anneau des polynômes est commutatif si \( R \) est commutatif.
- L'élément neutre de la somme est le polynôme nul \( 0 \), et l'élément neutre du produit est \( 1 \) (le polynôme constant égal à 1).
Anneau des polynômes sur un corps
Si \( R \) est un corps (comme \( \mathbb{R} \) ou \( \mathbb{C} \)), alors l'anneau \( R[x] \) possède des propriétés supplémentaires :
- Il est un anneau intègre : il n'a pas de diviseurs de zéro.
- Il peut être muni d'une division euclidienne (division avec reste).
Théorème d'Alembert-Gauss
Le théorème d'Alembert-Gauss affirme que tout polynôme non constant à coefficients complexes possède au moins une racine dans l'ensemble des nombres complexes \( \mathbb{C} \).
En d'autres termes :
\[ \text{Si } P(x) \in \mathbb{C}[x] \text{ et } \deg(P) \geq 1, \text{ alors il existe } \alpha \in \mathbb{C} \text{ tel que } P(\alpha) = 0. \]
Ce résultat signifie que l'ensemble des nombres complexes \( \mathbb{C} \) est algébriquement clos.
Conséquences du théorème
- Tout polynôme \( P(x) \) de degré \( n \) sur \( \mathbb{C} \) peut être factorisé en produit de \( n \) facteurs linéaires : \[ P(x) = a_n (x - \alpha_1)(x - \alpha_2) \dots (x - \alpha_n), \] où \( \alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n \in \mathbb{C} \).
- Les racines d'un polynôme peuvent être complexes, même si les coefficients du polynôme sont réels.
Interprétation géométrique
Le théorème d'Alembert-Gauss garantit que toute courbe polynomiale (de degré \( n \)) en \( \mathbb{C} \) coupe l'axe horizontal autant de fois que son degré, en tenant compte des multiplicités.
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