Séries Numériques : Résumé de Cours

Les séries numériques sont une partie essentielle des mathématiques, notamment dans l'étude des séries infinies et de leur convergence. Dans ce cours, nous aborderons les différentes définitions des séries numériques, leur convergence, et les critères de convergence utilisés pour évaluer leur comportement. Vous apprendrez aussi à reconnaître les séries à termes positifs, les séries absolument convergentes, ainsi que les séries alternées avec les critères d'Abel. Ce cours est destiné aux étudiants souhaitant maîtriser ces concepts fondamentaux pour progresser en analyse mathématique et en calcul différentiel.

Définitions et Convergence

Une série numérique est une expression mathématique de la forme :

\[ S = \sum_{n=0}^\infty u_n \]

où \( u_n \) est le terme général de la série. La convergence d'une série dépend de la somme partielle :

\[ S_N = \sum_{n=0}^N u_n \],

appelée somme partielle. La série converge si la limite de \( S_N \) existe lorsque \( N \to \infty \), soit :

\[ \lim_{N \to \infty} S_N = S \],

où \( S \) est appelée somme de la série.

Exemple : La série géométrique \( \sum_{n=0}^\infty r^n \) converge si \( |r| < 1 \), avec somme donnée par :

\[ S = \frac{1}{1 - r} \].

Séries à termes positifs et Comparaison

Une série \( \sum u_n \) est dite à termes positifs si \( u_n \geq 0 \) pour tout \( n \geq 0 \). La convergence de ces séries peut être analysée à l'aide de la méthode de comparaison.

Théorème de comparaison

Soit deux séries \( \sum u_n \) et \( \sum v_n \) avec \( 0 \leq u_n \leq v_n \) pour tout \( n \geq N_0 \). Alors :

• Si \( \sum v_n \) converge, alors \( \sum u_n \) converge également.
• Si \( \sum u_n \) diverge, alors \( \sum v_n \) diverge aussi.

Exemple : La série \( \sum \frac{1}{n^2} \) converge, car elle est majorée par la série \( \sum \frac{1}{n^2} \), qui est une série de type p avec \( p > 1 \).

Règles de d'Alembert et de Cauchy

Règle de d'Alembert

Pour une série \( \sum u_n \), si le rapport suivant existe :

\[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{u_{n+1}}{u_n} \],

alors :

Si \( L < 1 \), la série converge.

Si \( L > 1 \) ou \( L = \infty \), la série diverge.

Si \( L = 1 \), le test est indéterminé.

Règle de Cauchy

Pour une série \( \sum u_n \), si la racine n-ième satisfait :

\[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|u_n|} \],

alors :

• Si \( L < 1 \), la série converge.
• Si \( L > 1 \), la série diverge.
• Si \( L = 1 \), le test est indéterminé.

Exemple : La série \( \sum \frac{1}{n!} \) converge selon la règle de d'Alembert, car :

\( \frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{1}{(n+1)!} \div \frac{1}{n!} = \frac{1}{n+1} \to 0 < 1. \)

Séries de Riemann

Une série de Riemann est une série numérique de la forme :

\[ S = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^p} \],

où \( p \) est un paramètre réel. La convergence de cette série dépend de la valeur de \( p \).

Critère de convergence pour les séries de Riemann :

• Si \( p > 1 \), la série converge.
• Si \( p \leq 1 \), la série diverge.

Exemple :

• Pour \( p = 2 \), la série devient \( \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} \), qui converge. Sa somme est égale à \( \frac{\pi^2}{6} \).
• Pour \( p = 1 \), la série devient \( \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} \) (la série harmonique), qui diverge.

Séries à termes quelconques

Une série à termes quelconques est une série numérique dont les termes \( u_n \) peuvent être positifs, négatifs ou nuls.

Pour étudier la convergence d'une telle série, on peut examiner :

• La convergence absolue, qui consiste à tester la convergence de \( \sum |u_n| \).
• La convergence conditionnelle, lorsque \( \sum |u_n| \) diverge mais \( \sum u_n \) converge.

Critère de convergence absolue

Si \( \sum |u_n| \) converge, alors \( \sum u_n \) converge également.

Exemple :

• La série alternée \( \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n} \) converge (convergence conditionnelle).
• La série \( \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n^2} \) converge absolument, car \( \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} \) converge.

Séries absolument convergentes

Une série \( \sum u_n \) est dite absolument convergente si la série des valeurs absolues des termes \( \sum |u_n| \) converge.

Propriété :

Si une série est absolument convergente, alors elle est également convergente. C'est-à-dire que :

\( \sum |u_n| \text{ converge } \implies \sum u_n \text{ converge.} \)

Exemple :

• La série \( \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n^2} \) est absolument convergente car \( \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} \) converge.
• En revanche, la série \( \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n} \) n'est pas absolument convergente car \( \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} \) diverge.

Séries alternées et critère d'Abel

Une série est dite alternée si les termes changent de signe de manière alternée. Elle s'écrit généralement sous la forme :

\( S = \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1} u_n, \)

où \( u_n \geq 0 \) pour tout \( n \).

Critère des séries alternées (ou critère de Leibniz)

Une série alternée \( \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1} u_n \) converge si les deux conditions suivantes sont vérifiées :

• \( u_n \) est décroissante, c'est-à-dire \( u_{n+1} \leq u_n \) pour tout \( n \geq 1 \).
• \( \lim_{n \to \infty} u_n = 0 \).

Critère d'Abel

Une série \( \sum a_n b_n \) converge si :

• La suite \( (a_n) \) est monotone et bornée.
• La série \( \sum b_n \) converge.

Exemple :

• La série alternée \( \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n} \) converge car :
  • \( u_n = \frac{1}{n} \) est décroissante.
  • \( \lim_{n \to \infty} u_n = 0 \).
• La série \( \sum_{n=1}^\infty \frac{\sin(n)}{n^2} \) converge selon le critère d'Abel, car :
  • \( a_n = \sin(n) \) est bornée.
  • \( \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} \) converge.