Suites numériques : Cours Niveau Sup

Définition des suites numériques

Une suite numérique est une fonction définie sur l'ensemble des entiers naturels \( \mathbb{N} \) (ou une partie de \( \mathbb{N} \)) et à valeurs dans \( \mathbb{R} \). Elle peut être notée \( (u_n)_{n \in \mathbb{N}} \), où chaque terme \( u_n \) est un réel associé à un indice \( n \in \mathbb{N} \).

En d'autres termes, une suite \( u_n \) est une séquence ordonnée de nombres réels, souvent définie par une expression explicite ou récurrente.

Exemple :

\( u_n = \frac{1}{n+1}, \quad \text{pour tout } n \in \mathbb{N}. \)

Les premiers termes de cette suite sont : \( u_0 = 1, u_1 = \frac{1}{2}, u_2 = \frac{1}{3}, \dots \).

Convergence et divergence des suites

Une suite \( (u_n) \) converge vers un réel \( L \) si, pour tout \( \epsilon > 0 \), il existe un entier \( N \) tel que, pour tout \( n \geq N \), on ait :

\( |u_n - L| < \epsilon. \)

En d'autres termes, plus \( n \) devient grand, plus \( u_n \) devient proche de \( L \). Si une suite converge, son terme limite est \( L \).

Si une suite n'a pas de limite, elle est dite divergente. Par exemple, la suite \( u_n = (-1)^n \) diverge car elle oscille entre \( 1 \) et \( -1 \).

Exemple de suite convergente :

\( u_n = \frac{1}{n+1}, \quad \text{avec } L = 0 \text{ pour tout } n \to \infty. \)

Limites des suites : limites usuelles et limites séquentielles

La notion de limite d'une suite est fondamentale en analyse. Une suite peut tendre vers une valeur finie ou infinie. Nous distinguons deux types de limites :

• Limites usuelles : Ce sont des limites que l'on rencontre fréquemment dans les suites. Par exemple : \[ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n+1} = 0. \]
• Limites séquentielles : Une suite peut aussi avoir une limite séquentielle qui est souvent liée à un comportement plus complexe. Par exemple, la suite \( u_n = (-1)^n \) n'a pas de limite, mais elle peut être étudiée sous l'angle des suites alternées.

Exemple de suite avec une limite infinie :

\( \lim_{n \to \infty} n = +\infty. \)

Suites monotones

Une suite est dite monotone si elle est soit croissante, soit décroissante.

• Suite croissante : Une suite \( (u_n) \) est croissante si, pour tout \( n \in \mathbb{N} \), on a \( u_{n+1} \geq u_n \).
• Suite décroissante : Une suite \( (u_n) \) est décroissante si, pour tout \( n \in \mathbb{N} \), on a \( u_{n+1} \leq u_n \).

Une suite croissante qui est bornée supérieurement converge vers une limite finie, et de même pour une suite décroissante qui est bornée inférieurement.

Exemple de suite croissante :

\( u_n = 1 + \frac{n}{n+1}, \quad \text{avec } u_n \text{ croissante.} \)

Exemple de suite décroissante :

\( u_n = \frac{1}{n+1}, \quad \text{avec } u_n \text{ décroissante.} \)

Suites adjacentes et erreur d'approximation

Une suite adjacente est une suite de réels \( (u_n) \) qui est composée de deux suites, l’une croissante et l’autre décroissante, qui se rapprochent l’une de l’autre. Plus précisément, une suite \( (u_n) \) est dite adjacente si elle est encadrée par deux suites :

\( v_n \leq u_n \leq w_n \), \quad pour tout \( n \in \mathbb{N} \),

où \( (v_n) \) est une suite croissante et \( (w_n) \) est une suite décroissante, et ces suites \( (v_n) \) et \( (w_n) \) convergent toutes deux vers la même limite \( L \).

Par exemple, si nous avons \( v_n = \frac{1}{n+1} \) et \( w_n = \frac{1}{n} \), alors la suite \( (u_n) = \frac{1}{n+2} \) est encadrée par ces deux suites, et on peut conclure que \( u_n \) converge vers 0.

L' erreur d'approximation d’une suite numérique est la différence entre le terme \( u_n \) et sa limite \( L \). Si la suite converge, l'erreur diminue à mesure que \( n \) augmente, c'est-à-dire que :

\(\epsilon_n = |u_n - L| \to 0 \text{ lorsque } n \to \infty.\)

L'erreur d'approximation est importante dans le cadre des calculs numériques pour estimer à quel point une approximation est proche de la valeur réelle.

Critères de convergence

Les critères de convergence sont des outils permettant de déterminer si une suite converge ou non, sans avoir à calculer directement sa limite. Il existe plusieurs critères de convergence en fonction des propriétés spécifiques des suites.

Critère de la suite monotone et bornée :

Si une suite \( (u_n) \) est monotone (croissante ou décroissante) et bornée, alors elle converge. Plus précisément :

• Si \( (u_n) \) est croissante et bornée supérieurement, alors \( u_n \) converge.
• Si \( (u_n) \) est décroissante et bornée inférieurement, alors \( u_n \) converge.

Ce critère repose sur le fait qu'une suite croissante (ou décroissante) bornée est convergente, ce qui permet de déterminer que la suite a une limite sans connaître sa valeur exacte.

Exemple :

Soit \( u_n = \frac{1}{n+1} \). Cette suite est croissante et bornée, donc elle converge vers 0.

Critère de Cauchy :

Une suite \( (u_n) \) est convergente si et seulement si elle est de Cauchy. Autrement dit, pour tout \( \epsilon > 0 \), il existe un entier \( N \) tel que, pour tous \( m, n \geq N \), on a :

\( |u_m - u_n| < \epsilon. \)

Ce critère est particulièrement utile pour déterminer la convergence d’une suite sans avoir à connaître sa limite. Une suite de Cauchy a la propriété que ses termes deviennent arbitrairement proches à mesure que \( n \) augmente.

Critère de comparaison :

Le critère de comparaison permet de conclure à la convergence d'une suite en la comparant à une suite déjà connue. Si \( u_n \leq v_n \) pour tout \( n \), et si \( (v_n) \) est convergente, alors \( (u_n) \) est également convergente.

Par exemple, si \( u_n = \frac{1}{n+1} \) et \( v_n = \frac{2}{n+1} \), et que \( v_n \) converge vers 0, on peut conclure que \( u_n \) converge également vers 0.

Critère de la racine :

Si une suite \( (u_n) \) vérifie la condition :

\( \limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|u_n|} = L < 1, \)

alors \( u_n \) converge vers 0. Ce critère est souvent utilisé pour étudier les suites définies par des puissances successives ou des suites définies récursivement.

Suites extraites et valeurs d’adhérence

Une suites extraite d'une suite \( (u_n) \) est une suite formée à partir des termes de \( (u_n) \), mais en sélectionnant certains indices particuliers. Plus précisément, si \( (v_n) \) est une suite extraite de \( (u_n) \), alors il existe une suite croissante d'indices \( (n_k) \) tels que :

\( v_n = u_{n_k} \), pour tout \( k \in \mathbb{N} \).

Une suite extraite peut être utilisée pour étudier le comportement de la suite initiale en observant seulement une sous-séquence de ses termes.

La valeur d’adhérence d'une suite est une valeur vers laquelle une sous-suite de cette suite converge. En d'autres termes, une valeur \( L \) est une valeur d’adhérence de la suite \( (u_n) \) si il existe une sous-suite \( (v_n) \) telle que \( v_n \to L \) lorsque \( n \to \infty \).

Par exemple, si la suite \( (u_n) \) alterne entre deux valeurs, alors ces deux valeurs seront des valeurs d’adhérence de la suite.

Théorème de Bolzano-Weierstrass

Le théorème de Bolzano-Weierstrass est un théorème fondamental en analyse réelle qui établit que toute suite bornée dans \( \mathbb{R} \) admet une sous-suite convergente.

Formulation précise : Si \( (u_n) \) est une suite de réels telle que \( |u_n| \leq M \) pour tout \( n \in \mathbb{N} \) (c'est-à-dire que la suite est bornée), alors il existe une sous-suite \( (u_{n_k}) \) de \( (u_n) \) qui converge vers une limite \( L \), c'est-à-dire :

\( \lim_{k \to \infty} u_{n_k} = L \).

Ce théorème est très utile pour montrer que dans tout espace métrique complet (comme \( \mathbb{R} \)), toute suite bornée possède au moins une sous-suite convergente.

Suites de Cauchy

Une série de Cauchy est une suite pour laquelle les termes de la suite deviennent arbitrairement proches les uns des autres à partir d'un certain rang. Plus précisément, une suite \( (u_n) \) est dite de Cauchy si, pour tout \( \epsilon > 0 \), il existe un entier \( N \) tel que pour tous \( m, n \geq N \), on a :

\( |u_m - u_n| < \epsilon \).

Cela signifie que, passé un certain rang, tous les termes de la suite sont suffisamment proches les uns des autres, ce qui implique que la suite converge dans un espace complet, comme \( \mathbb{R} \).

Le critère de Cauchy est utilisé pour déterminer la convergence des suites dans les espaces métriques complets. En effet, une suite dans \( \mathbb{R} \) est convergente si et seulement si elle est de Cauchy.

Exemple :

Soit \( u_n = \frac{1}{n} \). La suite \( (u_n) \) est de Cauchy car, pour tout \( \epsilon > 0 \), on peut choisir \( N \) tel que pour \( n, m \geq N \), on ait \( |u_m - u_n| = |\frac{1}{m} - \frac{1}{n}| < \epsilon \).