Calcul Trigonométrique 3eme année Collège

Définitions

Dans un triangle rectangle, les rapports trigonométriques de l'angle aigu \( \text{A} \) sont définis comme suit :

• Cosinus : \( \cos \text{A} = \frac{\text{côté adjacent à A}}{\text{hypoténuse}} \)
• Sinus : \( \sin \text{A} = \frac{\text{côté opposé à A}}{\text{hypoténuse}} \)
• Tangente : \( \tan \text{A} = \frac{\text{côté opposé à A}}{\text{côté adjacent à A}} \)

Ces définitions sont essentielles pour résoudre les problèmes de trigonométrie dans un triangle rectangle.

Exemple : Calcul d'un rapport trigonométrique

Considérons un triangle rectangle où :

• \( \text{côté adjacent à A} = 3 \)
• \( \text{côté opposé à A} = 4 \)
• \( \text{hypoténuse} = 5 \)

Calculons \( \cos \text{A} \), \( \sin \text{A} \), et \( \tan \text{A} \) :

• \( \cos \text{A} = \frac{3}{5} \)
• \( \sin \text{A} = \frac{4}{5} \)
• \( \tan \text{A} = \frac{4}{3} \)

Rapport Trigonométrique des Angles Particuliers

\(x\)	\(0^\circ\)	\(30^\circ\)	\(45^\circ\)	\(60^\circ\)	\(90^\circ\)
\(\sin x\)	0	\(\frac{1}{2}\)	\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)	\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)	1
\(\cos x\)	1	\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)	\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)	\(\frac{1}{2}\)	0
\(\tan x\)	0	\(\frac{1}{\sqrt{3}}\)	1	\(\sqrt{3}\)	\(\text{indéfini}\)

Relations entre \(\cos x\), \(\sin x\), et \(\tan x\)

Les relations fondamentales incluent :

• \(\cos^2 x + \sin^2 x = 1\)
• \(\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}\), \(\cos x \neq 0\)
• \(1 + \tan^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}\)

Ces relations permettent de simplifier et résoudre des équations trigonométriques.

Exercice : Utilisation des Relations

Soit \(\sin x = \frac{3}{5}\). Trouvez \(\cos x\) et \(\tan x\).

Solution :

• \(\cos^2 x = 1 - \sin^2 x = 1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2 = \frac{16}{25}\)
• \(\cos x = \pm \frac{4}{5}\). Ici, \(\cos x > 0\), donc \(\cos x = \frac{4}{5}\).
• \(\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}} = \frac{3}{4}\).

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