Cours Ordre et Opérations 3ème AC

Bienvenue dans ce cours de mathématiques dédié à l'ordre et opérations pour les élèves de 3ème année collège. Ce chapitre couvre les notions fondamentales sur la comparaison des nombres, les règles d'addition, de soustraction, de multiplication et de division des nombres rationnels. Vous apprendrez également à utiliser des propriétés comme l'encadrement et à manipuler efficacement les inégalités pour résoudre des problèmes. 

La comparaison

Notation et définition

Symboles	Signification
\(a < b\)	\(a\) est strictement inférieur à \(b\).
\(a \leq b\)	\(a\) est inférieur ou égal à \(b\).
\(a > b\)	\(a\) est strictement supérieur à \(b\).
\(a \geq b\)	\(a\) est supérieur ou égal à \(b\).

Règle

On peut connaître l'ordre de deux nombres rationnels \(a\) et \(b\) en déterminant le signe de leur différence \(a - b\).

• Si \(a - b > 0\) (est positif), alors : \(a > b\).
• Si \(a - b < 0\) (est négatif), alors : \(a < b\).
• Si \(a - b = 0\), alors : \(a = b\).

On peut connaître l'ordre de deux nombres irrationnels \(a\) et \(b\) en déterminant et comparant leurs carrés \(a^2\) et \(b^2\).

• Si \(a^2 < b^2\) (et \(a\) et \(b\) sont positifs), alors : \(a < b\).
• Si \(a^2 = b^2\) (et \(a\) et \(b\) sont positifs), alors : \(a = b\).
• Si \(a^2 > b^2\) (et \(a\) et \(b\) sont positifs), alors : \(a > b\).

Ordre et opérations

Ordre et addition et soustraction

Propriété 1 : Soient \(a, b, c\) trois nombres rationnels.

• Si \(a \leq b\) alors : \(a + c \leq b + c\).
• Si \(a \leq b\) alors : \(a - c \leq b - c\).

Propriété 2 : Soit \(a, b, c, d\) des nombres rationnels.

Si \(\frac{a}{c} \leq \frac{b}{d}\), alors : \(a + c \leq b + d\).

Ordre et multiplication

Propriété 1 : Soit \(a, b, c\) trois nombres rationnels tel que \(a \leq b\).

• Si \(a \leq b\) et \(c \geq 0\) alors : \(a \times c \leq b \times c\).
• Si \(a \leq b\) et \(c \leq 0\) alors : \(a \times c \geq b \times c\).

Remarque : Soit \(a\) et \(b\) deux nombres rationnels :

• Si \(a \leq b\), alors : \(-a \geq -b\).

Propriété 2 : Soient \(a, b, c, d\) des nombres rationnels positifs.

Si \(\frac{a}{c} \leq \frac{b}{d}\), alors : \(a \times c \leq b \times d\).

Encadrement d'un nombre rationnel

Définition

Soient \(a\), \(b\) et \(x\) des nombres rationnels tels que \(a < b\).

On appelle encadrement de \(x\) par \(a\) et \(b\) l'écriture :

\[a \leq x \leq b \quad \text{ou} \quad a < x < b.\]

L'encadrement et l'addition : \(x + y\)

1. Soient \(x\), \(a\), \(b\) et \(y\), \(c\), \(d\) des nombres rationnels :

• Si \(a \leq x \leq b\) et \(c \leq y \leq d\), alors : \[a + c \leq x + y \leq b + d.\]

L'encadrement et la soustraction : \(x - y\)

Pour encadrer le résultat d'une soustraction, on commence par remplacer par une addition (soustraire c'est ajouter l'opposé) pour appliquer la propriété précédente.

• Considérons \(x\), \(y\), \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) des nombres rationnels tels que :
• \(a \leq x \leq b\) et \(c \leq y \leq d\), alors :
• \[a - d \leq x - y \leq b - c.\]

L'encadrement et la multiplication : \(x \times y\)

1. Soient \(x\), \(a\), \(b\), \(y\), \(c\), \(d\) des nombres rationnels :

• Si \(0 \leq a \leq x \leq b\) et \(0 \leq c \leq y \leq d\), alors : \[ac \leq x \times y \leq bd.\]

L'encadrement et l'inverse : \(\frac{1}{x}\)

• Soient \(x\), \(a\), \(b\) des nombres rationnels (\(x > 0\)) :
• Si \(a \leq x \leq b\), alors : \[\frac{1}{b} \leq \frac{1}{x} \leq \frac{1}{a}.\]

L'encadrement et la division : \(\frac{x}{y}\)

Soient \(x\), \(a\), \(b\), \(y\), \(c\), \(d\) des nombres rationnels positifs :

• Si \(a \leq x \leq b\) et \(c \leq y \leq d\), alors : \[\frac{a}{d} \leq \frac{x}{y} \leq \frac{b}{c}.\]

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