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Le Déterminant est un outil essentiel en Algèbre linéaire, utilisé pour résoudre divers problèmes mathématiques comme le calcul du rang, l'Inversion des matrices, et la Résolution des systèmes linéaires. Ce cours présente les notions de base, les propriétés fondamentales des déterminants et leurs principales applications.
1. Notions et propriétés des déterminants
1.1 Définition
Le déterminant d’une matrice carrée est un scalaire associé à cette matrice, qui joue un rôle clé en algèbre linéaire. Il permet de caractériser des propriétés fondamentales comme l'inversibilité et la singularité d'une matrice.
Pour une matrice \( A \) de dimension \( n \times n \), notée :
\[ A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix}, \]
le déterminant est une valeur scalaire notée \(\det(A)\) ou \(|A|\).
Pour les matrices \(2 \times 2\), la formule du déterminant est donnée par :
\[ \text{Si } A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}, \text{ alors } \det(A) = ad - bc. \]
Pour une matrice \(3 \times 3\), le déterminant peut être calculé en développant par rapport à une ligne ou une colonne :
\[ \det(A) = a_{11}\det(M_{11}) - a_{12}\det(M_{12}) + a_{13}\det(M_{13}), \]
où \( M_{ij} \) représente le mineur de l'élément \( a_{ij} \).
1.2 Propriétés fondamentales des déterminants
Le déterminant possède plusieurs propriétés importantes qui facilitent son calcul et son utilisation dans les applications pratiques.
- Linéarité : Le déterminant est linéaire par rapport à ses lignes ou colonnes. Par exemple, si une ligne d’une matrice est une combinaison linéaire de plusieurs vecteurs, alors : \[ \det(A) = c_1 \det(A_1) + c_2 \det(A_2) + \cdots, \] où \( c_1, c_2, \ldots \) sont les coefficients de la combinaison.
- Échange de lignes : Si deux lignes ou colonnes d'une matrice sont échangées, le déterminant change de signe : \[ \det(B) = -\det(A), \] où \( B \) est obtenu en échangeant deux lignes de \( A \).
- Multiplicativité : Le déterminant du produit de deux matrices carrées est égal au produit des déterminants : \[ \det(AB) = \det(A) \cdot \det(B). \]
- Triangularité : Si une matrice est triangulaire (supérieure ou inférieure), son déterminant est égal au produit des éléments de sa diagonale : \[ \det(A) = a_{11} \cdot a_{22} \cdot \cdots \cdot a_{nn}. \]
- Déterminant nul : Si deux lignes ou colonnes sont proportionnelles ou identiques, le déterminant de la matrice est nul : \[ \det(A) = 0. \]
1.3 Effets des opérations élémentaires
Les opérations élémentaires sur une matrice influencent son déterminant de différentes manières :
- Ajouter un multiple d'une ligne à une autre ligne ne modifie pas le déterminant.
- Multiplier une ligne ou une colonne par un scalaire \( k \) multiplie le déterminant par \( k \).
- Supprimer une ligne ou une colonne identique ou proportionnelle annule le déterminant (\(\det(A) = 0\)).
2. Applications du déterminant
2.1 Calcul du rang
Le déterminant est utilisé pour déterminer le rang d'une matrice. Le rang d'une matrice est le nombre maximal de lignes (ou colonnes) linéairement indépendantes.
Pour une matrice \( A \), le rang peut être déterminé en observant les déterminants des sous-matrices carrées. Plus précisément :
- Si le déterminant d'une sous-matrice \( k \times k \) est non nul, alors le rang de \( A \) est au moins \( k \).
- Le rang maximal est égal à l'ordre de la plus grande sous-matrice carrée dont le déterminant est non nul.
Exemple : Soit la matrice :
\[ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}. \]
Le déterminant de \( A \) est nul (\(\det(A) = 0\)), mais certaines sous-matrices \( 2 \times 2 \) ont un déterminant non nul, indiquant un rang de 2.
2.2 Inversion d'une matrice
Le déterminant permet de vérifier si une matrice carrée est inversible et de calculer son inverse. Une matrice \( A \) de dimension \( n \times n \) est inversible si et seulement si son déterminant est non nul (\(\det(A) \neq 0\)).
La formule de l'inverse d'une matrice \( A \) est donnée par :
\[ A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \text{ adj}(A), \]
où \(\text{adj}(A)\) est la matrice adjointe de \( A \), formée par les cofacteurs de \( A \).
Exemple : Calcul de l'inverse d'une matrice \( 2 \times 2 \) :
\[ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}, \quad \det(A) = (1 \cdot 4) - (2 \cdot 3) = -2. \]
L'inverse est donc :
\[ A^{-1} = \frac{1}{-2} \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 1.5 & -0.5 \end{pmatrix}. \]
2.3 Résolution des systèmes linéaires
Le déterminant est essentiel pour résoudre des systèmes d'équations linéaires en utilisant la méthode de Cramer. Cette méthode s'applique à un système linéaire carré (même nombre d'équations et d'inconnues) de la forme :
\[ A \mathbf{x} = \mathbf{b}, \]
où \( A \) est la matrice des coefficients, \(\mathbf{x}\) est le vecteur des inconnues, et \(\mathbf{b}\) est le vecteur des termes constants.
La solution est donnée par :
\[ x_i = \frac{\det(A_i)}{\det(A)}, \]
où \( A_i \) est la matrice obtenue en remplaçant la \( i^\text{ème} \) colonne de \( A \) par \(\mathbf{b}\).
Exemple : Résolution du système :
\[ \begin{cases} x + 2y = 5 \\ 3x + 4y = 6 \end{cases}. \]
La matrice des coefficients est :
\[ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}, \quad \det(A) = -2. \]
En appliquant la méthode de Cramer :
\[ x = \frac{\det(A_1)}{\det(A)}, \quad y = \frac{\det(A_2)}{\det(A)}. \]
Les matrices \( A_1 \) et \( A_2 \) sont respectivement :
\[ A_1 = \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 6 & 4 \end{pmatrix}, \quad A_2 = \begin{pmatrix} 1 & 5 \\ 3 & 6 \end{pmatrix}. \]
Après calculs, les solutions sont \( x = -4 \) et \( y = 4.5 \).
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